2.1.2 離散型隨機變量的分布列,1.離散型隨機變量的分布列 (1)定義:一般地,若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2, xi,xn,X取每一個值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格 的形式表示如下: 則稱上表為離散型隨機變量X的_,簡稱為X的分布列.,概率分布列,(2)表示:離散型隨機變量可以用_、_、解析式表示. (3)性質(zhì):_; _.,表格,圖象,pi0,i=1,2,3,n,2.兩個特殊分布 (1)兩點分布 隨機變量X的分布列是: 其中0p1,q=1-p,則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)p的_ _.稱p=P(X=1)為_.,兩點分,布,成功概率,(2)超幾何分布 一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次 品,則事件X=k發(fā)生的概率 P(X=k)=_,k=0,1,2,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*,稱分布列 為超幾何分布列.如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列,則稱離散型隨機變量X服從超幾何分布.,1判一判 (正確的打“”，錯誤的打“”) (1)在離散型隨機變量分布列中，每一個可能值對應(yīng)的概率可以為任意的實數(shù).( ) (2)在離散型隨機變量分布列中，在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各值的概率之積.( ) (3)超幾何分布的總體里只有兩類物品.( ),【解析】(1)錯誤.每一個可能值對應(yīng)的概率為0,1中的實數(shù). (2)錯誤.在離散型隨機變量分布列中,在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各值的概率之和. (3)正確.結(jié)合定義知,總體中只有正品和次品之分. 答案:(1) (2) (3),2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)在射擊試驗中,令 如果射中的概率是0.9,則 隨機變量的分布列為 . (2)設(shè)隨機變量X的分布列為P(X=k)= ,k=0,1,2,3,則C= . (3)若隨機變量X服從兩點分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2. 令Y=3X-2,則P(Y=-2)= .,【解析】(1)由題意知X服從兩點分布,故隨機變量X的分布列為 答案:,(2)由分布列的性質(zhì)得C（ ）=1,所以C= . 答案: (3)由Y=-2,且Y=3X-2,得X=0,所以P(Y=-2)=0.8. 答案:0.8,【要點探究】 知識點1 離散型隨機變量的分布列 對離散型隨機變量分布列的三點說明 (1)離散型隨機變量的分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且也能看出取每一個值的概率的大小,從而反映出隨機變量在隨機試驗中取值的分布情況,是進一步研究隨機試驗數(shù)量特征的基礎(chǔ).,(2)離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各值的概率之和. (3)離散型隨機變量可以用分布列、解析式、圖象表示.,【微思考】 離散型隨機變量分布列有什么作用? 提示:(1)根據(jù)分布列列含參數(shù)的方程或不等式,求參數(shù). (2)求隨機變量取某個值時的概率.,【即時練】 若離散型隨機變量X的分布列為 ,則a的值為( ) 【解析】選A.由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可知2a+3a=1, 解得a= .,知識點2 兩點分布與超幾何分布 1.兩點分布的適用范圍 (1)研究只有兩個結(jié)果的隨機試驗的概率分布規(guī)律. (2)研究某一隨機事件是否發(fā)生的概率分布規(guī)律. 如抽取的彩券是否中獎;買回的一件產(chǎn)品是否為正品;新生嬰兒的性別;投籃是否命中等,都可以用兩點分布列來研究.,2.對超幾何分布的三點說明 (1)超幾何分布的模型是不放回抽樣. (2)超幾何分布中的參數(shù)是M,N,n. (3)超幾何分布可解決產(chǎn)品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同學(xué)中的男和女等問題,往往由差異明顯的兩部分組成.,【知識拓展】 的推導(dǎo) 從N件產(chǎn)品中任取n件產(chǎn)品的基本事件有 個；事件X=k表示 “在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有k 件次 品，則必有(n-k)件正品，因此事件X=k中含有 個基 本事件，由古典概型概率計算公式可知P(X=k)=,【微思考】 (1)分布列P(X=-1)=0.5，P(X=1)=0.5是否為兩點分布？ 提示：不是，因為兩點分布中隨機變量只有0和1兩個不同取值. (2)在超幾何分布中，隨機變量X取值的最大值是M嗎？ 提示：不一定，當nM時，隨機變量X取值的最大值為M，當nM時，最大值為n.,【即時練】 袋內(nèi)有5個白球，6個紅球，從中摸出兩球，記 求X的分布列. 【解析】顯然，P(X=0)= ，所以P(X=1)=1- ， 所以X的分布列是,【題型示范】 類型一 離散型隨機變量的分布列 【典例1】 (1)將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中，一個杯子中球的最多個數(shù)記為X，則X的分布列是_. (2)從裝有6個白球、4個黑球和2個黃球的箱中隨機地取出兩個球，規(guī)定每取出一個黑球贏2元，而每取出一個白球輸1元，取出黃球無輸贏，以X表示贏得的錢數(shù)，隨機變量X可以取哪些值呢？求X的分布列.,【解題探究】1.題(1)中的隨機變量X的可能取值是什么？ 2.題(2)中的隨機變量X的最小值和最大值各是多少？ 【探究提示】1.X的所有可能取值為1，2，3. 2.X的最小值為-2，最大值為4.,【自主解答】(1)依題意可知，一個杯子中球的最多個數(shù)X的所 有可能取值為1，2，3. 當X=1時，對應(yīng)于4個杯子中恰有三個杯子各放一球的情形； 當X=2時，對應(yīng)于4個杯子中恰有一個杯子放兩球的情形； 當X=3時，對應(yīng)于4個杯子中恰有一個杯子放三個球的情形. P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=,可得X的分布列為 答案：,(2)從箱中取出兩個球的情形有以下六種：2白，1白1黃， 1白1黑，2黃，1黑1黃，2黑.當取到2白時，結(jié)果輸 2元，隨機變量X=-2；當取到1白1黃時，輸1元，隨機變量X= -1；當取到1白1黑時，隨機變量X=1；當取到2黃時，X=0；當 取到1黑1黃時，X=2；當取到2黑時，X=4.則X的可能取值為 -2，-1，0，1，2，4. 因為,從而得到X的分布列如下：,【延伸探究】題(2)中贏錢的概率,即X0時的概率是多少? 【解析】 所以贏錢概率為 .,【方法技巧】 1.求離散型隨機變量的分布列的步驟 (1)找出隨機變量的所有可能的取值xi(i=1,2,). (2)求出取每一個值的概率P(=xi)=pi. (3)列出表格.,2.求離散型隨機變量分布列時應(yīng)注意的問題 (1)確定離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是要搞清取每一個值對應(yīng)的隨機事件,進一步利用排列、組合知識求出取每一個值的概率. (2)在求離散型隨機變量的分布列時,要充分利用分布列的性質(zhì),這樣不但可以減少運算量,還可驗證分布列是否正確.,【變式訓(xùn)練】某商店試銷某種商品20天,獲得如下數(shù)據(jù): 試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變),設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件,當天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨,若發(fā)現(xiàn)存量少于2件,則當天進貨補充至3件,否則不進貨,將頻率視為概率. (1)求當天商店不進貨的概率. (2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù),求X的分布列.,【解題指南】(1)先分析不進貨包括哪些情況,再運用互斥事件的概率加法公式求出概率. (2)分析確定出X的可能取值,再用概率加法公式求出對應(yīng)的概率.,【解析】(1)P(“當天商店不進貨”)=P(“當天商品銷售量為 0件”)+P(“當天商品銷售量為1件”)= (2)由題意知,X的可能取值為2,3. P(X=2)=P(“當天商品銷售量為1件”)= ; P(X=3)=P(“當天商品銷售量為0件”)+P(“當天商品銷售量為 2件”)+P(“當天商品銷售量為3件”)= 故X的分布列為,【補償訓(xùn)練】設(shè)隨機變量X的分布列為P(X=i)= (i=1,2,3,4), 求: (1)P(X=1或X=2). 【解析】(1)因為 所以a=10. 則P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2)= . (2)由a=10,可得 =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=,類型二 超幾何分布 【典例2】 (1)在15個村莊中有7個村莊交通不方便,現(xiàn)從中任意選10個村莊,用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù),下列概率中等于 的是 ( ) A.P(X=2) B.P(X2) C.P(X=4) D.P(X4) (2)10件產(chǎn)品中有3件次品,7件正品,現(xiàn)從中抽取5件,求抽取次品件數(shù)的分布列.,【解題探究】1.題(1)中, 表示的含義是什么? 2.題(2)中的取值有哪些? 【探究提示】1. 表示選出的10個村莊中恰有4個交通不方便,6個交通方便的村莊. 2.=0,1,2,3.,【自主解答】(1)選C.15個村莊中，7個村莊交通不方便，8個 村莊交通方便， 表示選出的10個村莊中恰有4個交通不方 便、6個交通方便的村莊，故P(X=4)= . (2)可能取值為0,1,2,3. =0表示取出5件全是正品. P(=0)= =1表示取出5件產(chǎn)品中有1件次品，4件正品. P(=1)=,=2表示取出5件產(chǎn)品中有2件次品，3件正品. P(=2)= =3表示取出5件產(chǎn)品中有3件次品，2件正品. P(=3)= 所以的分布列為,【方法技巧】求解超幾何分布問題的注意事項 (1)在產(chǎn)品抽樣檢驗中，如果采用的是不放回抽樣，則抽到的 次品數(shù)服從超幾何分布 (2)在超幾何分布公式中，P(X=k)= ，k=0,1,2，m, 其中，m=minM，n.這里的N是產(chǎn)品總數(shù)，M是產(chǎn)品中的次品 數(shù)，n是抽樣的樣品數(shù)，且0nN,0kn,0kM,0n-k N-M.,(3)如果隨機變量X服從超幾何分布，只要代入公式即可求得相應(yīng)概率，關(guān)鍵是明確隨機變量X的所有取值 (4)當超幾何分布用表格表示較繁雜時，可用解析式法表示.,【變式訓(xùn)練】從一副不含大小王的52張撲克牌中任意抽出5張，求至少抽到3張A的概率. 【解題指南】本題為超幾何分布問題，其中N=52，M=4，n=5.可利用超幾何分布概率公式求解.,【解析】因為一副撲克牌中有4張A，則取到撲克牌A的張數(shù)X服 從參數(shù)為N=52，M=4，n=5的超幾何分布，它的可能取值為0， 1，2，3，4，根據(jù)超幾何分布的公式得至少抽到3張A的概率為 P(X3)=P(X=3)+P(X=4)= 0.001 8. 即至少抽到三張A的概率約為0.001 8.,【補償訓(xùn)練】袋子里有大小相同但標有不同號碼的3個紅球和4個黑球，從袋子里隨機取出4個球. (1)求取出的紅球數(shù)的分布列. (2)若取到每個紅球得2分，取到每個黑球得1分，求得分不超過5分的概率.,【解析】(1)因為的可能取值為0，1，2，3，且的分布列 是一個超幾何分布列. 所以的分布列為 (2)因為得分=2+4-=+45, 所以1. 因為P(1)=P(=0)+P(=1)= , 所以,得分不超過5分的概率為 .,【易錯誤區(qū)】對分布列性質(zhì)把握不準確致誤 【典例】(2014晉江高二檢測)若離散型隨機變量X的分布列為: 則常數(shù)c= .,【解析】由隨機變量分布列的性質(zhì)可知： 整理得 解得c= . 答案：,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 強化離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的記憶 離散型隨機變量的分布列具有以下兩條性質(zhì): (1)pi0,i=1,2,n. (2)p1+p2+pn=1. 只要有一條不滿足,就不可能為離散型隨機變量的分布列,這一點要牢記,如本例陰影處若忘記了限制條件,可能會擴大c的范圍,【類題試解】離散型隨機變量X的分布列為 ,則常數(shù)a= .,【解析】由分布列的性質(zhì)，得 且 0a21,0 1,整理得50a2+15a-27=0. 解得a=- (舍去)或a= ，故a= . 答案：,