第三節(jié) 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、 全稱(chēng)量詞與存在量詞,【知識(shí)梳理】 1.命題pq,pq,p的真假判斷,真,真,假,假,真,假,假,真,真,假,假,真,2.全稱(chēng)量詞和存在量詞,3.全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題,xM,p(x),x0M,p(x0),x0M,xM,【特別提醒】 1.pq一真則真,pq全真才真;pq一假則假,pq全假才假;p與p的真假相反. 2.有些全稱(chēng)命題常省略全稱(chēng)量詞,如對(duì)頂角相等. 3.對(duì)含有量詞的命題否定時(shí),不要忽略量詞的改寫(xiě).,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(選修2-1P18習(xí)題1.3A組T1(3)改編) 已知p:2是偶數(shù),q:2是質(zhì)數(shù),則命題p,q,pq,pq中真命題的個(gè)數(shù)為 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】選B. p和q顯然都是真命題,所以p,q都是假命題,pq, pq都是真命題.,2.(選修2-1P27習(xí)題1.4A組T3(2)改編)命題“所有可以被5整除的整數(shù),末位數(shù)字都是5”的否定為 .,【解析】全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題,其否定為“有些可以被5整除的整數(shù),末位數(shù)字不是5”. 答案:“有些可以被5整除的整數(shù),末位數(shù)字不是5”,感悟考題 試一試 3.(2015湖北高考)命題“x0(0,+),lnx0=x0-1”的否定是 ( ) A.x(0,+),lnxx-1 B.x(0,+),lnx=x-1 C.x0(0,+),lnx0x0-1 D.x0(0,+),lnx0=x0-1,【解析】選A.由特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題可知,所求命題的否定為x(0,+),lnxx-1.,4.(2014湖南高考)設(shè)命題p:xR,x2+10,則p 為 ( ) A.x0R,x02+10 B.x0R,x02+10 C.x0R,x02+10 D.xR,x2+10 【解析】選B.p:x0R,x02+10.,5.(2016汾陽(yáng)模擬)已知命題p:xR,x2-5x+60,命題q:,R,使sin(+)=sin+sin,則下列命題為真命題的是 ( ) A.pq B.p(q) C.(p)q D.p(q),【解析】選C.當(dāng)2x3時(shí),x2-5x+60,所以命題p假.當(dāng)=0,R時(shí),sin(+)=sin+sin成立,所以命題q真,即p為真,q為假.,考向一 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的判斷 【典例1】(1)(2014重慶高考)已知命題p:對(duì)任意xR,總有2x0;q:“x1”是“x2”的充分不必要條件,則下列命題為真命題的是 ( ) A.pq B.pq C.pq D.pq,(2)若命題“pq”為假命題,且“p”為假命題, 則 ( ) A.“p或q”為假 B.q假 C.q真 D.p假,【解題導(dǎo)引】(1)先判斷命題p,q的真假,再根據(jù)真值表求解. (2)根據(jù)真值表判斷.,【規(guī)范解答】(1)選D.易知命題p為真命題,因?yàn)閤1無(wú)法推出x2成立,所以命題q為假命題,故pq為假命題,pq為假命題,pq為假命題,pq為真命題. (2)選B.由“p”為假,知“p”為真,又“pq”為假命題,從而q為假命題.,【規(guī)律方法】 1.判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的步驟 (1)先判斷簡(jiǎn)單命題p,q的真假. (2)再根據(jù)真值表判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假.,2.含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的等價(jià)關(guān)系 (1)pq真p,q至少一個(gè)真(p)(q)假. (2)pq假p,q均假(p)(q)真. (3)pq真p,q均真(p)(q)假. (4)pq假p,q至少一個(gè)假(p)(q)真. (5)p真p假;p假p真.,【變式訓(xùn)練】(2016太原模擬)設(shè)命題p:函數(shù)y=sin2x 的最小正周期為 ;命題q:在銳角三角形ABC中,sinA cosB,在命題p;pq;pq;p(q)中,真命 題的個(gè)數(shù)是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)y=sin2x的最小正周期為T(mén)= =,所以命題p假;在銳角三角形ABC中,A+B , 即A -B0,又因?yàn)锳sin ,即sinAcosB,所以命題q真,所以p 真,q假,pq真,pq真,p(q)假.,【加固訓(xùn)練】 1.已知命題p:x0R,使tanx0=1,命題q:x2-3x+20的解集是x|1x2,給出下列結(jié)論: 命題“pq”是真命題;命題“p(q)”是假命題;命題“(p)q”是真命題;命題“(p) (q)”是假命題.其中正確的是 ( ) A. B. C. D.,【解析】選D.命題p真,q真,所以正確;正確;正確;正確.,2.如果命題“非p或非q”是假命題,給出下列結(jié)論: 命題“p且q”是真命題;命題“p且q”是假命題;命題“p或q”是真命題;命題“p或q”是假命題.其中正確的結(jié)論是 ( ) A. B. C. D.,【解析】選A.“非p或非q”是假命題,則“p且q”為真命題,“p或q”為真命題,從而正確.,考向二 全稱(chēng)命題、特稱(chēng)命題 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:全稱(chēng)命題、特稱(chēng)命題的真假判斷 【典例2】(2014全國(guó)卷)不等式組 的解 集記為D.有下面四個(gè)命題: p1:(x,y)D,x+2y-2, p2:(x0,y0)D,x0+2y02,p3:(x,y)D,x+2y3, p4:(x0,y0)D,x0+2y0-1. 其中真命題是 ( ) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3,【解題導(dǎo)引】先畫(huà)出不等式組表示的可行域,再轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的取值范圍,并由此判斷四個(gè)命題的真假.,【規(guī)范解答】選B.畫(huà)出可行域如圖所示,設(shè)x+2y=z,則y= 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1)時(shí)z取得最小值, zmin=2+2(-1)=0,即z0, 所以命題p1,p2是真命題.,命題方向2:全稱(chēng)命題、特稱(chēng)命題的否定 【典例3】(1)(2015全國(guó)卷)設(shè)命題p:n0N, n02 ,則p為 ( ) A.nN,n22n B.n0N,n02 C.nN,n22n D.n0N,n02= (本題源自A版選修2-1P27習(xí)題1.4A組T3(3),(2)(2015浙江高考)命題“nN*,f(n)N*且f(n)n”的否定形式是 ( ) A.nN*,f(n)N*且f(n)n B.nN*,f(n)N*或f(n)n C.n0N*,f(n0)N*且f(n0)n0 D.n0N*,f(n0)N*或f(n0)n0,【解題導(dǎo)引】(1)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題,“”的否定是“”. (2)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題,“且”的否定是“或”.,【規(guī)范解答】(1)選C.p:nN,n22n. (2)選D.根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題,否定結(jié)論,“且”要換為“或”,“”換為“”,可知選D.,【技法感悟】 1.全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題真假的判斷方法,2.全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的否定 (1)改寫(xiě)量詞:確定命題所含量詞的類(lèi)型,省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞,再對(duì)量詞進(jìn)行改寫(xiě). (2)否定結(jié)論:對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.,【題組通關(guān)】 1.(2016黃山模擬)命題“xR,2x0”的否定 是 ( ) A.xR,2x0 B.xR,2x0 C.x0R, 0 D.x0R, 0,【解析】選D.全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題,故命題 “xR,2x0”的否定是“x0R, 0”.,2.(2016唐山模擬)設(shè)p:“x0Z,x031”,則p 為( ) A.x0Z,x031 D.xZ,x31 【解析】選D.特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題,故p為“xZ,x31”.,3.(2013全國(guó)卷)已知命題p:xR,2x3x;命題 q:x0R,x03=1-x02,則下列命題中為真命題的是 ( ) A.pq B.pq C.pq D.pq,【解析】選B.對(duì)于命題p:取x=-1,可知為假命題,p為真命題;對(duì)于命題q:令f(x)=x3+x2-1,則f(0)f(1)0,故f(x)有零點(diǎn),即方程x3+x2-1=0有解,所以q:x0R, x03=1-x02為真命題,q為假命題,從而pq為真命題.,4.(2016偃師模擬)已知命題p:x0R,log2( +1) 0,則 ( ) A.p是假命題,p:xR,log2(3x+1)0 B.p是假命題,p:xR,log2(3x+1)0 C.p是真命題,p:xR,log2(3x+1)0 D.p是真命題,p:xR,log2(3x+1)0,【解析】選B.因?yàn)?x+11,所以log2(3x+1)0恒成立,則命題p是假命題;又p:xR,log2(3x+1)0.,考向三 根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍 【典例4】(1)(2015山東高考)若 “x ,tanxm”是真命題, 則實(shí)數(shù)m的最小值為 .,(2)設(shè)命題p:x0R,x02-x00,若pq為真,pq為假,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .,【解題導(dǎo)引】(1)轉(zhuǎn)化為求tanx的最大值,然后求實(shí)數(shù)m的最小值. (2)分別求命題p和q為真時(shí)a的取值范圍,再由題意列關(guān)于a的不等式(組)求解.,【規(guī)范解答】(1)由0x ,可得0tanx1. 由tanxm恒成立可知m1,即m的最小值是1. 答案:1,(2)因?yàn)閤2-x= 所以(x2-x)min= 由題意,若p為真,則- - , 若q為真,則=4a2-40, 解得-1a1.,由pq為真,pq為假知p與q一真一假, 當(dāng)p真q假時(shí), 解得a1. 當(dāng)p假q真時(shí), 解得-1a- .,綜上所述,a的取值范圍是 1,+). 答案: 1,+),【母題變式】1.若本例(1)條件“x ”變?yōu)?“x0 ”,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】當(dāng)x 時(shí),(tanx)min=tan0=0, 由題意,得0m,即m0, 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是0,+).,2.若本例(1)條件“x ,tanxm”變?yōu)?“x ,sinx+cosxm”,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.,【解析】因?yàn)閟inx+cosx= 所以(sinx+cosx)max= 所以 m,即m , 即實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ,+).,【規(guī)律方法】根據(jù)命題的真假求參數(shù)取值范圍的策略 (1)全稱(chēng)命題:可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題,特稱(chēng)命題轉(zhuǎn)化為存在性問(wèn)題.,(2)含邏輯聯(lián)結(jié)詞問(wèn)題: 求出每個(gè)命題是真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍; 根據(jù)題意確定每個(gè)命題的真假; 由各個(gè)命題的真假列關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.,【變式訓(xùn)練】已知命題p:“x0,1,aex”;命題q:“x0R,使得x02+4x0+a=0”.若命題“pq”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .,【解析】若命題“pq”是真命題,那么命題p,q都是真命題.由x0,1,aex,得ae;由x0R,使x02+4x0+a=0,知=16-4a0,a4,因此ea4. 答案:e,4,【加固訓(xùn)練】 1.命題“x0R,2x02-3ax0+90”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .,【解析】因題中的命題為假命題,則它的否定“x R,2x2-3ax+90”為真命題,也就是常見(jiàn)的“恒成立” 問(wèn)題,因此只需=9a2-4290,即-2 a2 . 答案:-2 ,2 ,2.已知命題p:關(guān)于x的不等式ax1(a0,a1)的解集是x|x0,命題q:函數(shù)y=lg(ax2-x+a)的定義域?yàn)镽,如果pq為真命題,pq為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,【解析】由關(guān)于x的不等式ax1(a0,a1)的解集是x|x0的解集為R, 則,解得a . 因?yàn)閜q為真命題,pq為假命題, 所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”, 故 解得a1或0a , 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是 1,+).,