2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性,考綱要求:1.了解函數(shù)奇偶性的含義. 2.會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的奇偶性. 3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義,會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性.,1.函數(shù)的奇偶性 (1)奇函數(shù):圖像關于原點對稱的函數(shù)叫作奇函數(shù),即對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=-f(x); (2)偶函數(shù):圖像關于y軸對稱的函數(shù)叫作偶函數(shù),即對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=f(x). 2.奇(偶)函數(shù)的性質 (1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同,偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相反(填“相同”或“相反”). (2)在公共定義域內 兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù),兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù). 兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù). 一個奇函數(shù),一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù). (3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有定義,則f(0)=0.,3.周期性 (1)周期函數(shù):對于函數(shù)y=f(x),如果存在非零常數(shù)T,對定義域內的任意一個x值,都有f(x+T)=f(x),就把f(x)稱為周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期. (2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期.,4.函數(shù)周期性三個常用結論 對f(x)定義域內任一自變量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a;,2,3,4,1,5,1.下列結論正確的打“”,錯誤的打“”. (1)“a+b=0”是“函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b(ab)上具有奇偶性”的必要條件. ( ) (2)偶函數(shù)圖像不一定過原點,奇函數(shù)的圖像一定過原點. ( ) (3)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱;若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖像關于點(b,0)中心對稱. ( ) (4)如果函數(shù)f(x),g(x)為定義域相同的偶函數(shù),則F(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù). ( ) (5)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),若在(-,0)上是減少的,則在(0,+)上是增加的. ( ) (6)若T為y=f(x)的一個周期,則nT(nZ)是函數(shù)f(x)的周期. ( ),2,3,4,1,5,2.(2015福建,文3)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( ) A.y= B. y=ex C.y=cos x D.y=ex-e-x,答案,解析,2,3,4,1,5,3.已知f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,則g(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1,答案,解析,2,3,4,1,5,4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x0時,f(x)=x(1+x),則x0時,f(x)= .,答案,解析,2,3,4,1,5,5.設f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),當x-1,1)時, 則 = .,答案,解析,2,3,4,1,5,自測點評 1.判斷函數(shù)的奇偶性應首先考察函數(shù)的定義域是否關于原點對稱,如果不對稱,則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù).定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件. 2.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在x=0處有定義,則有f(0)=0. 3.根據(jù)周期函數(shù)的定義,函數(shù)的周期應是一個非零常數(shù).,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點1函數(shù)的奇偶性的判斷 例1(1)設函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結論中正確的是( ) A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(2)(2015廣東,文3)下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:判斷函數(shù)的奇偶性要注意什么? 解題心得:判斷函數(shù)的奇偶性要注意兩點: (1)定義域關于原點對稱,這是函數(shù)具有奇偶性的前提. (2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關系,在判斷奇偶性的運算中,可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))是否成立.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,對點訓練1 (2015北京,文3)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是( ) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點2函數(shù)奇偶性的應用 例2(1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x0時,f(x)=x2-3x,則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點的集合為( ) A.1,3 B.-3,-1,1,3 C.2- ,1,3 D.-2- ,1,3,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(2)若函數(shù)f(x)=xln(x+ )為偶函數(shù),則a= .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(3)設函數(shù) 的最大值為M,最小值為m,則M+m= .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(4)定義在-2,2上的偶函數(shù)g(x),當x0時,g(x)單調遞減,若g(1-m)g(m),求m的取值范圍.,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:函數(shù)的奇偶性有哪幾個方面的應用? 解題心得:1.函數(shù)奇偶性的應用主要有:利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式;利用函數(shù)的奇偶性研究函數(shù)的單調性;利用函數(shù)的奇偶性解不等式;利用函數(shù)的奇偶性求最值等. 2.已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式,往往要抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式,或充分利用奇偶性產(chǎn)生關于f(x)的方程,從而可得f(x)的解析式.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,對點訓練2 (1)已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)-g(x)=x3+x2+1,則f(1)+g(1)等于( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(2)定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(0,+)上是增加的,又f(-3)=0,則不等式xf(x)0的解集為( ) A.(-3,0)(0,3) B.(-,-3)(3,+) C.(-3,0)(3,+) D.(-,-3)(0,3),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(3)已知偶函數(shù)f(x)在0,+)上是減少的,f(2)=0,若f(x-1)0,則x的取值范圍是 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(4)設a,bR,且a2,若定義在區(qū)間(-b,b)內的函數(shù) 是奇函數(shù),則a+b的取值范圍為 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點3函數(shù)的周期性及其應用 例3(1)奇函數(shù)f(x)的定義域為R.若f(x+2)為偶函數(shù),且f(1)=1,則f(8)+f(9)=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:函數(shù)的周期性主要的應用是什么? 解題心得:利用函數(shù)的周期性,可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題,轉化為已知區(qū)間上的相應問題,進而求解.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,對點訓練3 已知f(x)是R上的奇函數(shù),f(1)=2,且對任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,則f(3)= ;f(2 019)= .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,考點4函數(shù)性質的綜合應用 例4(1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間0,2上是增加的,則( ) A.f(-25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(-25) C.f(11)f(80)f(-25) D.f(-25)f(80)f(11),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(2)若函數(shù) 的圖像如圖所示,則m的范圍為( ) A.(-,-1) B.(-1,2) C.(0,2) D.(1,2),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,思考:解有關函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性綜合問題的策略有哪些? 解題心得:函數(shù)性質綜合應用問題的常見類型及解題策略: (1)函數(shù)單調性與奇偶性結合.注意函數(shù)單調性及奇偶性的定義,以及奇、偶函數(shù)圖像的對稱性. (2)周期性與奇偶性結合.此類問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進行轉換,將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解. (3)周期性、奇偶性與單調性結合.解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調性求解.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,對點訓練4 (1)(2015甘肅天水一模)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),g(x)是R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,則f(2 014)的值為( ) A.2 B.0 C.-2 D.2,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,(2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),滿足 .當 x 時,f(x)=ln(x2-x+1),則函數(shù)f(x)在區(qū)間0,6上的零點個數(shù)是( ) A.3 B.5 C.7 D.9,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,1.正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,必須把握好兩個問題:(1)“定義域關于原點對稱”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)”的必要不充分條件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式. 2.奇、偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù).為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時需要先將函數(shù)進行化簡,或應用定義的等價形式: 3.單調性是函數(shù)在其定義域上的局部性質,函數(shù)的單調性使得自變量的不等關系和函數(shù)值之間的不等關系可以“正逆互推”;奇偶性和周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質. 4.函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性,知二斷一.特別注意“奇函數(shù)若在x=0處有定義,則一定有f(0)=0,偶函數(shù)一定有f(|x|)=f(x)”在解題中的應用.,考點1,考點2,考點3,考點4,知識方法,易錯易混,1.判斷函數(shù)的奇偶性不可忽視函數(shù)定義域. 2.函數(shù)f(x)是奇函數(shù),必須滿足對定義域內的每一個x,都有f(-x)=-f(x),而不能說存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同樣偶函數(shù)也是如此.,