一 、 問(wèn) 題 的 提 出 有 限 個(gè) 連 續(xù) 函 數(shù) 的 和 仍 是 連 續(xù) 函 數(shù) ， 有 限 個(gè) 函 數(shù) 的 和 的 導(dǎo) 數(shù) 及 積 分 也 分 別 等 于 他 們 的 導(dǎo) 數(shù) 及 積 分 的 和 對(duì) 于 無(wú) 限 個(gè) 函 數(shù) 的 和 是 否 具 有 這 些 性 質(zhì) 呢 ？ 對(duì) 于 冪 函 數(shù) 是 這 樣 的 ， 那 么 對(duì) 于 一 般 的 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 是 否 如 此 ？ 問(wèn) 題 : 解 ,)( nn xxs 且 得 和 函 數(shù) ：因 為 該 級(jí) 數(shù) 每 一 項(xiàng) 都 在 0,1是 連 續(xù) 的 ， .1,1 ,10,0)(lim)( x xxsxs nn .1)( 處 間 斷在和 函 數(shù) xxs例 1 考 察 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) )()()( 1232 nn xxxxxxx和 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 的 每 一 項(xiàng) 在 , ba 上 連 續(xù) ， 并 且 級(jí) 數(shù) 在 , ba 上 收 斂 ， 其 和 函 數(shù) 不 一 定 在 , ba 上 收 斂 同 樣 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 的 每 一 項(xiàng) 的 導(dǎo) 數(shù) 及 積 分 所 成 的 級(jí) 數(shù) 的 和 也 不 一 定 等 于 他 們 和 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 及 積 分 結(jié) 論 對(duì) 什 么 級(jí) 數(shù) ， 能 從 每 一 項(xiàng) 的 連 續(xù) 性 得 出 和 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 ， 從 每 一 項(xiàng) 的 導(dǎo) 數(shù) 及 積 分 所 成 的 級(jí) 數(shù) 之 和 得 出 原 來(lái) 級(jí) 數(shù) 的 和 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 及 積 分 呢 ？ 問(wèn) 題 二 、 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 的 一 致 收 斂 性 設(shè) 有 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 1 )(n n xu 如 果 對(duì) 于 任 意 給 定 的 正 數(shù) ， 都 存 在 著 一 個(gè) 只 依 賴 于 的 自 然 數(shù) N ， 使 得 當(dāng) Nn 時(shí) ， 對(duì) 區(qū) 間 I上 的 一 切x ， 都 有 不 等 式 )()()( xsxsxr nn 成 立 ， 則 成 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 1 )(n n xu 在 區(qū) 間 I上 一 致 收 斂 于 和 )(xs ， 也 稱 函 數(shù) 序 列 )(xsn 在 區(qū) 間 I上 一 致 收 斂 于 )(xs 定 義 只 要 n充 分 大 )( Nn ,在 區(qū) 間 I上 所 有 曲 線 )(xsy n 將 位 于 曲 線 )(xsy 與 )(xsy 之 間 .xyo I )(xsy )(xsy )(xsy )(xsy n 幾 何 解 釋 : 研 究 級(jí) 數(shù) 111112111 nxnxxxx 在 區(qū) 間 ),0 上 的 一 致 收 斂 性 . 例 2解 ,1)( nxxsn )0(01lim)(lim)( xnxxsxs nnn余 項(xiàng) 的 絕 對(duì) 值 )0(11)()( xnnxxsxsr nn 對(duì) 于 任 給 0 ， 取 自 然 數(shù) 1N ， 則 當(dāng) Nn 時(shí) ， 對(duì) 于 區(qū) 間 ,0 上 的 一 切 x，有 )(xrn 根 據(jù) 定 義 ，所 給 級(jí) 數(shù) 在 區(qū) 間 ,0 上 一 致 收 斂 于 .0)( xs 例 3 研 究 例 1中 的 級(jí) 數(shù) )()()( 1232 nn xxxxxxx在 區(qū) 間 ( 0 , 1內(nèi) 的 一 致 收 斂 性 .解 該 級(jí) 數(shù) 在 區(qū) 間 (0,1)內(nèi) 處 處 收 斂 于 和 0)( xs ， 但 并 不 一 致 收 斂 對(duì) 于 任 意 一 個(gè) 自 然 數(shù) ,n 取 nnx 21 ， 于 是,21)( nnnn xxs ,0)( nxs但 .21)()()( nnnnn xsxsxr從 而 只 要 取 21 ， 不 論 n多 么 大 ， 在 (0,1)總 存 在 點(diǎn) nx ， ,)( nn xr使 得因 此 級(jí) 數(shù) 在 ( 0, 1 )內(nèi) 不 一 致 連 續(xù) 說(shuō) 明 :從 下 圖 可 以 看 出 : 但雖 然 函 數(shù) 序 列 nn xxs )( 在 ( 0, 1 )內(nèi) 處 處,0)( xs )(xsn 在 ( 0, 1 )內(nèi) 各 點(diǎn) 處 收收 斂 于斂 于 零 的 “ 快 慢 ” 程 度 是 不 一 致 的 o xy (1,1)nn xxsy )( 1n 2n 4n 10n 30n 1一 致 收 斂 上， 這 級(jí) 數(shù) 在注 意 ： 對(duì) 于 任 意 正 數(shù) ,01 rr 小 結(jié) 一 致 收 斂 性 與 所 討 論 的 區(qū) 間 有 關(guān) 定 理 （ 魏 爾 斯 特 拉 斯 (Weierstrass)判 別 法 ） 如 果 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 1 )(n n xu 在 區(qū) 間 I 上 滿 足 條 件 : (1) )3,2,1()( naxu nn ; (2) 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 1n na 收 斂 , 則 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 1 )(n n xu 在 區(qū) 間 I 上 一 致 收 斂 . 一 致 收 斂 性 簡(jiǎn) 便 的 判 別 法 ： 證 由 條 件 (2)， 對(duì) 任 意 給 定 的 0 ， 根 據(jù) 柯 西 審 斂 原 理 存 在 自 然 數(shù) N ， 使 得 當(dāng) Nn 時(shí) ， 對(duì) 于 任 意 的 自 然 數(shù) p 都 有 .221 pnnn aaa 由 條 件 (1)， 對(duì) 任 何 Ix ， 都 有 )()()( 21 xuxuxu pnnn )()()( 21 xuxuxu pnnn ,221 pnnn aaa 令 p ,則 由 上 式 得 2)(xrn . 因 此 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 1 )(n n xu 在 區(qū) 間 I 上 一 致 收 斂 .例 4 證 明 級(jí) 數(shù) 2 22 22 sin22sin1sin n xnxx 在 ),( 上 一 致 收 斂 . 證 在 ),( 內(nèi) ),3,2,1(1sin 22 2 nnn xn 級(jí) 數(shù) 1 21n n 收 斂 ， 由 魏 爾 斯 特 拉 斯 判 別 法 ， 所 給 級(jí) 數(shù) 在 ),( 內(nèi) 一 致 收 斂 三 、 一 致 收 斂 級(jí) 數(shù) 的 基 本 性 質(zhì)定 理 1 如 果 級(jí) 數(shù) 1 )(n n xu 的 各 項(xiàng) )(xun 在 區(qū) 間 ba, 上 都 連 續(xù) ,且 1 )(n n xu 在 區(qū) 間 ba, 上 一 致 收 斂 于 )(xs ,則 )(xs 在 ba, 上 也 連 續(xù) .證 設(shè) xx ,0 為 ba, 上 任 意 點(diǎn) 由 )()()(),()()( 000 xrxsxsxrxsxs nnnn )()()()( 00 xrxrxsxs nnnn (1)()()()()()( 000 xrxrxsxsxsxs nnnn 級(jí) 數(shù) 1 )(n n xu 一 致 收 斂 于 )(xs ， 對(duì) 0 ， 必 自 然 數(shù) )(NN ， 使 得 當(dāng) Nn 時(shí) , 對(duì) ba, 上 的 一 切 x 都 有 3)( xrn (2).3)( 0 xrn同 樣 有 故 )(xsn ( Nn )在 點(diǎn) 0 x 連 續(xù) ， (3)0 當(dāng) 0 xx 時(shí) 總 有 3)()( 0 xsxs nn由 (1)、 (2)、 (3)可 見(jiàn) , 對(duì) 任 給 0 ， 必 有 0 ， 當(dāng) 0 xx 時(shí) ， 有 .)()( 0 xsxs )(xsn 是 有 限 項(xiàng) 連 續(xù) 函 數(shù) 之 和 ， 所 以 )(xs 在 點(diǎn) 0 x 處 連 續(xù) ， 而 0 x 在 ba, 上 是 任 意 的 ， 因 此 )(xs 在 ba, 上 連 續(xù) 定 理 2 如 果 級(jí) 數(shù) 1 )(n n xu 的 各 項(xiàng) )(xun 在 區(qū) 間 ba, 上 都 連 續(xù) ,且 1 )(n n xu 在 區(qū) 間 ba, 上 一 致 收 斂 于 )(xs ,則 )(xs 在 ba, 上 可 以 逐 項(xiàng) 積 分 , 即 xxxxxx dxxudxxu dxxs 000 )()()( 21 xx n dxxu0 )( 其 中 bxxa 0 ,并 且 上 式 右 端 的 級(jí) 數(shù) 在 ba, 上 也 一 致 收 斂 . (4) 證 級(jí) 數(shù) 1 )(n n xu 在 ba, 一 致 收 斂 于 )(xs , 由 定 理 1, )(xs ， )(xrn 都 在 ba, 上 連 續(xù) ， 所 以 積 分 xx dxxs0 )( ， xx n dxxr0 )( 存 在 ,從 而 有 xx nxx dxxsdxxs 00 )()( xx n dxxr0 )( .)(0 xx n dxxr 又 由 級(jí) 數(shù) 的 一 致 收 斂 性 , 對(duì) 任 給 正 數(shù) 必 有)(NN 使 得 當(dāng) Nn 時(shí) ,對(duì) ba, 上 的 一 切 x ,都 有 .)( abxrn xx nxx dxxsdxxs 00 )()( xx n dxxr0 )(.)( 0 xxqb 根 據(jù) 極 限 定 義 ， 有 ni xx nnxx nnxx dxxudxxsdxxs 1 000 )(lim)(lim)(即 1 00 )()( i xx ixx dxxudxxs 由 于 N只 依 賴 于 而 于 xx ,0 無(wú) 關(guān) ， 所 以 級(jí) 數(shù) 1 0 )(i xx i dxxu 在 ba, 上 一 致 收 斂 . 于 是 ， 當(dāng) Nn 時(shí) 有 定 理 3 如 果 級(jí) 數(shù) 1 )(n n xu 在 區(qū) 間 ba, 上 收 斂 于 和 )(xs ， 它 的 各 項(xiàng) )(xun 都 具 有 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù))(xun ， 并 且 級(jí) 數(shù) 1 )(n n xu 在 ba, 上 一 致 收 斂 ， 則 級(jí) 數(shù) 1 )(n n xu 在 ba, 上 也 一 致 收 斂 ， 且 可 逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) ， 即 )()()()( 21 xuxuxuxs n (5) 注 意 :級(jí) 數(shù) 一 致 收 斂 并 不 能 保 證 可 以 逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) .例 如 ， 級(jí) 數(shù) 2 22 22 sin22sin1sin n xnxx 在 任 何 區(qū) 間 , ba 上 都 是 一 致 收 斂 的 .逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) 后 得 級(jí) 數(shù) ,cos2coscos 22 xnxx. ,發(fā) 散 的 都 是所 以 對(duì) 于 任 意 值因 其 一 般 項(xiàng) 不 趨 于 零 x所 以 原 級(jí) 數(shù) 不 可 以 逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) 定 理 4 如 果 冪 級(jí) 數(shù) 1n nn xa 的 收 斂 半 徑 為 0R , 則 其 級(jí) 數(shù) 在 ),( RR 內(nèi) 的 任 意 閉 區(qū) 間 ba, 上 一 致 收 斂 .進(jìn) 一 步 還 可 以 證 明 ， 如 果 冪 級(jí) 數(shù) 1n nnxa 在 收 斂 區(qū) 間 的 端 點(diǎn) 收 斂 ， 則 一 致 收 斂 的 區(qū) 間 可 擴(kuò) 大 到 包含 端 點(diǎn) 冪 級(jí) 數(shù) 的 一 致 收 斂 性 定 理 5 如 果 冪 級(jí) 數(shù) 1n nnxa 的 收 斂 半 徑 為0R ， 則 其 和 函 數(shù) )(xs 在 ),( RR 內(nèi) 可 導(dǎo) ， 且 有 逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) 公 式 1 11)( n nnn nn xnaxaxs , 逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) 后 所 得 到 的 冪 級(jí) 數(shù) 與 原 級(jí) 數(shù) 有 相 同 的 收 斂 半 徑 證 在 ),( RR 內(nèi) 任 意 取 定 x ， 在 限 定 1x ， 使 得Rxx 1 記 11 xxq ， 則 先 證 級(jí) 數(shù) 1 1n nnxna 在 ),( RR 內(nèi) 收 斂 ,11 11111111 nnnnnnnn xaxnqxaxxxnxna 由 比 值 審 斂 法 可 知 級(jí) 數(shù) 1 1n nnq 收 斂 ，),(01 nnqn于 是 故 數(shù) 列 1nnq 有 界 ， 必 有 0M ， 使 得 ),2,1(111 nMxnqn 又 Rx 10 ， 級(jí) 數(shù) 1 1n nnxa 收 斂 ， 由 比 較 審 斂 法 即 得 級(jí) 數(shù) 1 1n nnxna 收 斂 由 定 理 4， 級(jí) 數(shù) 1 1n nnxna 在 ),( RR 內(nèi) 的 任 意 閉 區(qū) 間 ba, 上 一 致 連 續(xù) ， 故 冪 級(jí) 數(shù) 1n nnxa 在 ba, 上 適 合 定 理 3 條 件 ， 從 而 可 以 逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) 即 得 冪 級(jí) 數(shù) 1n nnxa 在 ),( RR 內(nèi) 可 逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) . 設(shè) 冪 級(jí) 數(shù) 1 1n nnxna 的 收 斂 半 徑 為 R ,RR 由 ba, 在 ),( RR 內(nèi) 的 任 意 性 ， 將 此 冪 級(jí) 數(shù) 1 1n nnxna 在 x,0 )( Rx 上 逐 項(xiàng) 積 分 即 得 ,1n nnxa 因 逐 項(xiàng) 積 分 所 得 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 半 徑 不 會(huì) 縮 小 ，,RR 所 以 .RR 于 是 即 1 1n nnxna 與 1n nnxa 的 收 斂 半 徑 相 同 四 、 小 結(jié)1、 函 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 一 致 收 斂 的 定 義 ；2、 一 致 收 斂 級(jí) 數(shù) 的 判 別 法 魏 爾 斯 特 拉 斯判 別 法 ；4、 冪 級(jí) 數(shù) 的 一 致 收 斂 性 3、 一 致 收 斂 級(jí) 數(shù) 的 基 本 性 質(zhì) ； 練 習(xí) 題 上 一 致 收 斂 在 任 一 有 限 區(qū) 間證 明之 差 的 絕 對(duì) 值 小 于 正 數(shù) 與 其 極 限時(shí)能 使 當(dāng)取 多 大問(wèn) 上 收 斂 于 在一 、 已 知 函 數(shù) 序 列 ,)(.2 ; )(,),(.1 0 ),(),3,2,1(sin baxs xsNnxN nnxsn nn 上 的 一 致 收 斂 性 在 區(qū) 間二 、 按 定 義 討 論 級(jí) 數(shù) ),()1()1( 221 1 nn n xx .0,.2 ;,2cos.1 1 21 xex xnxn nxn n區(qū) 間 上 的 一 致 收 斂 性 所 給判 別 法 證 明 下 列 級(jí) 數(shù) 在三 、 利 用 魏 爾 斯 特 拉 斯 練 習(xí) 題 答 案取 自 然 數(shù)一 、 xN .1二 、 一 致 收 斂