16.1 二次根式 (1)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、了解二次根式的概念，能判斷一個(gè)式子是不是二次根式, 掌握二次根式有意義的條件。2、掌握二次根式的基本性質(zhì)：a0(a0) 和 (a )2a(a0)預(yù)習(xí)案（一）復(fù)習(xí)回顧：（ 1）已知 x2a ，那么 a 是 x 的 _ _;x 是 a 的 _ _,記為 _ _,a 一定是 _ _ 數(shù)。（ 2） 4 的算術(shù)平方根為 2，用式子表示為4=_ ；正數(shù) a 的算術(shù)平方根為 _，0 的算術(shù)平方根為 _；式子a0(a0) 的意義是。思考：16，s , b 3 等式子 . 說一說他們的共同特征 .定義 :一般地我們把形如a （ a0 ）叫做二次根式，a 叫做 _?！啊狈Q為。1、判斷下列各式，哪些是二次根式在后面“”，哪些不是在后面“”？為什么？3 （），16 （）， 3 4 （），5 （），a (a0) （）， x 21 （）32、當(dāng) a 為正數(shù)時(shí)a 指 a 的，而 0 的算術(shù)平方根是，負(fù)數(shù)，只有非負(fù)數(shù) a 才有算術(shù)平方根。所以，在二次根式a 中，字母 a 必須滿足,a 才有意義。3、根據(jù)算術(shù)平方根意義計(jì)算：(1) (4) 2=(2)(3) 2=（ 3） (0.5)2=（4） ( 1 ) 2 =3根據(jù)計(jì)算結(jié)果，你能得出結(jié)論：(a)2_ （ a0）4、由公式 (a )2a(a0) ，我們可以得到公式 a =( a) 2, 利用此公式可以把任意 一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方 的形式。如 (5 ) 2=5 或 5=(5 ) 2.練習(xí)： (1) 把下列非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式：6=0.35=合 作 探 究例 ：當(dāng) x 是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？1練習(xí) 1: x 取何值時(shí)，下列各二次根式有意義？ 3 x22 x1 4x3212x例 2：在式子中， x 的取值范圍是什么？1x練習(xí) 2: x 取何值時(shí)，下列各二次根式有意義？1x3x3 x 45 x2xx5x5訓(xùn)練案1、計(jì)算： ( 3) 2=(0.5)2=( 1 )2 =(a )2=32、二次根式a1中，字母 a 的取值范圍是（）A 、 alB、a1C、a1D、a1、已知x30則x 的值為（）3、 x>-3B、x<-3C、x=-3D、 x 的值不能確定A4、若 a3312xa 有意義，則 a 的值為 _若有意義，x 的取值范圍是 _.1x、當(dāng) x=時(shí)，代數(shù)式4x5有最小值，其最小值是。56、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（ ）x29 x2( )2x+）y- )（ ）23 x2( )2 （ x+）y- )1=（(2 x=(16.2 二次根式的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握二次根式的基本性質(zhì)：a 2a，能利用上述性質(zhì)對二次根式進(jìn)行化簡.預(yù)習(xí)案一、復(fù)習(xí)引入：1、定義:一般地我們把形如a （ a0）叫，a叫做 _。“”稱為。2、二次根式2有意義，則 x =。5x3、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x 26x2()2 =（ x +）( y )（二）自主學(xué)習(xí)1、計(jì)算：420.22(4) 22025觀察其結(jié)果與根號內(nèi)冪底數(shù)的關(guān)系，歸納得到：當(dāng)a0時(shí) ,a 22、計(jì)算：(4) 2(0.2) 2(4) 2(20)25觀察其結(jié)果與根號內(nèi)冪底數(shù)的關(guān)系，歸納得到：當(dāng)a0時(shí),a23、計(jì)算：02當(dāng) a0時(shí) ,a 2aa 0歸納總結(jié) ： a2a00aa0練習(xí) 1、化簡下列各式：（ 1）、 0.32（2）、( 0.5)2（3）、( 6)2（ 4）、2（ a0）2a =4、討論二次根式的性質(zhì) (a) 2a(a0) 與 a2a 有什么區(qū)別與聯(lián)系。練習(xí) 2：化簡：（1） 42=(2)x2 (x p 0) =2（3） (4)2=(4)(a 3)2 (a 3) =注：利用 a2a 可將二次根式被開方數(shù)中的 完全平方式 “開方”出來，達(dá)到化簡的目的，進(jìn)行化簡的關(guān)鍵是準(zhǔn)確 確定“ a”的取值。探究案例 1：化簡：（ 1）2x 3 2 （x-2 ）（2）若 0 x 1，化簡： ( x1 )24 ( x1 )24xx（ 3）24（ ， ）（ ）、 為三角形的邊，則化簡22x xy2y(a b c)b a cxx0 y 04 a b c練習(xí) 3：(2x1)2-( 2 x 3) 2( x 2)練習(xí)：若 ，化簡： (x 2)2x 342 x3例 2：5、已知x24 +2 xy 0，求 xy 的值13練習(xí) 5：若 2x 1y 4 0 ，求22 的值。xy訓(xùn)練案1、把 2 x12 x 適當(dāng)變形后移入根號內(nèi)，得（）的根號外的x 2A、 2x B、 x 2C 、2 x D 、x 22、已知實(shí)數(shù) a、b 在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡：b0a16.2 二次根式的乘法學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解a b ab （ a 0，b0），ab =a b （a0，b0），并利用其進(jìn)行計(jì)算化簡預(yù)習(xí)案（一）復(fù)習(xí)引入（1）4 9 =_ _，4 9=_；4 9 _ 49（2）16 25=_，1625 =_；16 25_ _16 25（二）、探索新知交流總結(jié)規(guī)律：一般地，對 二次根式的乘法 規(guī)定為乘法法則：a b ab （a0，b0 積的算術(shù)平方根 :ab =a b （a0，b0）練習(xí) 1：（1） 5 7 =（2） 1 9 =（3） x g y g z =（4）27 g 4 =343（5）9 16 =（6） 1681 =（7） 81100 =（8） 9 27 =探究案例 1、計(jì)算（應(yīng)用a b ab （a0，b 0（1）3 6 2 10（2） 5a 1 ay（3） xyg2 y g(y2)5x練習(xí) 1：計(jì)算： 5 5 2 15x g y3 gz 12a3 1ay 2zyx3例 2、化簡 ( 逆用乘法法則ab =a b （ a0，b0） )（1）9x2y2=（ ）54=g=(3)125=g=22:20=18=24=8=22練習(xí)：化簡12a b=總結(jié)： 1、當(dāng)二次根式 前面有系數(shù) 時(shí)，可類比 單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式 法則進(jìn)行計(jì)算：即系數(shù)之積作為積的系數(shù)，被開方數(shù)之積為被開方數(shù)。2、化簡二次根式達(dá)到的要求：（ 1）被開方數(shù)進(jìn)行 因數(shù)或因式分解 。（2）分解后把 能開盡方的開出來 。例 3、 判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：（1）( 4)( 9)49（2）4 12 25 =412 25 =4 12 25 =4 12 =8 3252525訓(xùn)練案1、等式x1 ?x1x 21成立的條件是（）A x 1Bx-1C-1 x1D x 1 或 x-12、二次根式(2) 26 的計(jì)算結(jié)果是（）A 2 6B -26C 6 D 123、若 a 2 b24b 4c2c1024，則 b ? a ? c =（ ）A 4B2C-2 D 12、化簡：（ 1） 360 =（2）2000=（3）5 10 =（4） 3a15 a =（5） 32x4=3、計(jì)算：（ 1） 1830；（ 2）2（ ）33；8 （ -2 6）；（4） 8ab 6ab；753 64、不改變式子的值，把根號外的非負(fù)因式適當(dāng)變形后移入根號內(nèi)。2(2)1(1) -32a32a16.4 二次根式的除法學(xué)習(xí)目標(biāo) :掌握二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)。能熟練進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算及化簡。預(yù)習(xí)案（一）復(fù)習(xí)回顧1 二次根式的乘法法則：積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：2、計(jì)算： （1）3 8 （ -46 ）（2） 12ab 6ab33、填空：（1）9 =_， 9 =_； 規(guī)律：1616（2）16 =_， 16 =_；3636一般地，對二次根式的除法規(guī)定除法法則：a =a （ a0，b>0） 商的算術(shù)平方根：b b9 _9；161616 _16；3636a = a （a0，b>0）b b練習(xí) 1、計(jì)算：（1） 12 =（2）24 =（3） 25 =（4） 225 =368149探究案問題： 對于二次根式運(yùn)算的結(jié)果有什么要求?最簡二次根式 （化簡二次根式的要求） ：1被開方數(shù) 中不含能因數(shù)或因式（如：8=，27=）2bb cbc112. 分母中不含有根式（由aa g aa 與ag(c0) ，則2g）a cac2（注：分子分母 同時(shí)乘以的二次根式，化簡1=）273. 根號內(nèi)不能是數(shù)或式（如：3.2 =1）a=a3 =練習(xí) 2：化簡 :(1) 35 =(2)x2 y4x4 y2=(3)8x2 y3 =(4)8 =1220例 1：化簡：（ 1）540（2）64b2（ 3）54m3 n（ ）5x9a26mn(m f0,n f0)4169 y2練習(xí) 3：化簡 （1） 2 48（2）2x3（3） 3 2（4）9x8x2764 y2例 2：計(jì)算（ 1） 327（2） 125（3） 112 11 25125354335練習(xí) 4：計(jì)算（ 1）3(2)11（ 3） 1212125201()23152635（ 4） 1 371(5)3 3 1(11 4)15 144228742（ 6）2ab5 ? ( 3a3b)3 b （ a>0, b>0）b2a總結(jié)： 1、靈活變形，大小根號可以互換.2、除法變成（除數(shù)變成）3 、帶分?jǐn)?shù)要變成（注意帶分?jǐn)?shù) 與分?jǐn)?shù)與根式乘法的區(qū)別） 4 、注意結(jié)果符號 （同號得，異號得。）16.5 二次根式的加減學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解同類二次根式，并能判定哪些是同類二次根式，理解和掌握二次根式加減的方法預(yù)習(xí)案（一）、復(fù)習(xí)引入1、計(jì)算（1） 2x3x ；（2） 2x 23x25x2 ；（3） x2x3y ；（4） 3a 22a2a 2（二）計(jì)算下列各式（1）22+32=（ ）8-38+58=（ ）7+27+37=2 23二次根式的 被開方數(shù)相同 也是可以 合并，如 22 與8表面上看不相同，但它們也可以合并（與同類項(xiàng)類似 把 3 3 與 23 ，2 a 與4 a 稱為同類二次根式 （化簡之后，被開方數(shù)）練習(xí) 1以下二次根式： 12 ；22 ；2 ；27 中，與3 是同類二次根式的是 （）3A 和B和C和D 和練習(xí) 若最簡二次根式32x1 與3x1 是同類二次根式，則x2_3 2 + 8 =32 +=33 + 27 =3 3 + =所以，二次根式加減 時(shí)，先將二次根式化成，?再將同類二次根式進(jìn)行探究案例 計(jì)算 （ ） 16 x+64x（ ）48-91+312（ ）（ 48+20）（ 12-5）112 333+歸納： 將不是最簡二次根式的項(xiàng)化為二次根式；將的最簡二次根式進(jìn)行練習(xí) 3：計(jì)算 (1) 12 (11 )(2)( 4820) ( 125 )327(3)x1x1（ ） 2 x 9x( x 2 16xx )4 y2y4x4xy322，求（2x） - （ x21 -5xy ）的值例 2已知 4x+y -4x-6y+10=02 x 9 x +y3y3xx練習(xí) 4. 先化簡，再求值y3xy3 )( 4x36xy) ，其中 x3，y=27(6xyx=xy2訓(xùn)練案1下列： 3 3 +3=63 ； 1；2+6=8 =22；24=22 ，其中錯(cuò)誤有（）77 =13A3 個(gè)B 2 個(gè) C1 個(gè)D 0 個(gè)2在下列各組根式中，是同類二次根式的是()(A) 3 和 18(B)3 和1(C)2b 和 ab2(D)a1 和 a 13a3下列各式的計(jì)算中，成立的是()A 2 5 2 5B.4 53 5 1C.x2y 2x yD.452054計(jì)算二次根式 5 a -3b -7a +9 b 的最后結(jié)果是 _若最簡二次根式3ab 與 ab2b是同類二次根式，則a，b5_6計(jì)算：（1） 127a 3a 2 33aaa 108a3a3416.6 二次根式的混合運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo) :熟練應(yīng)用二次根式的加減乘除法法則及乘法公式進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算。預(yù)習(xí)案（一）復(fù)習(xí)回顧（ 1）整式混合運(yùn)算的順序是：。（ 2）二次根式的乘除法法則是：。（ 3）二次根式的加減法法則是：。（ 4）寫出已經(jīng)學(xué)過的乘法公式：5、計(jì)算：（ 1）63a1b（ 2）11（ ）1134163238125025探究案例 1、計(jì)算：（ 1）（83）6(4 2 3 6) 2 2( 2 3)( 2 5)（4）(2 32)2（ 2）（ 3）練習(xí) 1：計(jì)算： （1）12 ) 12（ ） (2 35)( 23)( 2724 3323注：整式的 運(yùn)算法則 和乘法公式 適用于二次根式的運(yùn)算 。例 2：計(jì)算（ 1） (7 4 3)(7 4 3) (3 5 1)2(2)132377(3)223) 1021313(4)(13.1423總結(jié)： 1、先確定運(yùn)算順序，再逐步計(jì)算2、分母帶跟號：，若分母能構(gòu)成平方直接3，（如 1213 ）、整體平方開根號等于整體的3練習(xí) 2：（1） (7 2 3)(72 3) (2 3 1)2(2)133377(3)22105353(4)(12)3.1422)(522)(5例 3：觀察：( 2 1)2( 2) 22 12 122 2 2 13 2 2反之， 3 2 2 2 2 2 1 ( 2 1)23 2 2 ( 2 1)232 2 = 2 -1仿上求：（1）； 423 =（ 2） 412 =訓(xùn)練案1、計(jì)算：（ 1）( 8090)5（ 2）243623（ 3） (333) () （）a babababa>0, b>016.7 二次根式復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、了解二次根式的定義，掌握二次根式有意義的條件和性質(zhì)。2、熟練進(jìn)行二次根式的乘除法運(yùn)算，熟練進(jìn)行二次根式的加減法運(yùn)算和化簡。自主復(fù)習(xí)1若a ，a的平方根可表示為_，a的算術(shù)平方根可表示_0當(dāng) a時(shí)， 12a有意義，當(dāng) a時(shí)， 3a5 沒有意義。2_3 (3)2_( 32)2_41448_;7218_51227_;12520_6、計(jì)算： (1)2 1213 52(2)125x3(3)( 3 2 2 3) 249y27、精講點(diǎn)撥 ：在二次根式的計(jì)算、化簡及求值等問題中，常運(yùn)用以下幾個(gè)式子：（ 1）二次根式性質(zhì)： ( a )2a(a0)與 a( a ) 2 (a0)aa0（ 2）二次根式性質(zhì)：a 2a0a0aa0（ 3）二次根式的乘法法則：a ?bab (a0, b0)與 aba ?b (a0,b 0)（ 4）二次根式除法法則aa ( a0,b0)與 aa (a 0,b0)bbbb（ 5）完全平方公式與平方差公式：(ab)2a22abb2與 (a b)( ab)a2b2探究案（兩類式子簡算）例 1：（ 1）1131L L1198(2)( 3) 2009(1 ) 2010221693練習(xí) 1：（1）111L L1（ 2） (310) 2009 (3 10) 2009353121119總結(jié)：第一類：先將分母，再消掉部分，最后檢查可否簡化。第二類：先觀察底數(shù)能否相乘是否為，再根據(jù)乘方的性質(zhì)把 指數(shù)轉(zhuǎn)變成，底數(shù)先相乘，最后檢查是否可簡化。訓(xùn)練案1、化簡5 2的結(jié)果是（）A 5B -5 C士 5D 252、代數(shù)式x4 中， x 的取值范圍是（）x2A x 4 Bx 2 Cx 4且 x 2Dx4且 x 23、化簡32 的結(jié)果是（）272B2C6D2A3334、計(jì)算(1) 272345(2)1625(3)( a2)( a 2)645 、已知 a32 , b32 求 11 的值22ab