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1、6.4 平 面 及 其 方 程 6.4.1 平 面 方 程6.4.2 兩 平 面 間 的 夾 角6.4.3 點(diǎn) 到 平 面 的 距 離 一 個(gè) 平 面 的 法 向 量 有 無 窮多 個(gè) , 它 們 之 間 都 是 相 互 平 行的 6.4.1 平 面 方 程 如 果 一 非 零 向 量 垂 直 于 一 平 面 ， 這 向 量 就 叫 做該 平 面 的 法 線 向 量 設(shè) 平 面 的 一 個(gè) 法 向 量),( CBAn且 平 面 過 點(diǎn) M0(x0, y0, z0).下 面 建 立 平 面 有 的 方 程 x yzo 0M M n1 平 面 的 點(diǎn) 法 式 方 程 0 0 0 0( , , )M

2、 M x x y y z z 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z 平 面 的 點(diǎn) 法 式 方 程 平 面 上 任 一 點(diǎn) M (x, y, z)的 坐 標(biāo) 都 滿 足 上 面 的方 程 , 而 當(dāng) 點(diǎn) M (x, y, z) 不 在 平 面 上 時(shí) , 點(diǎn) M (x, y, z)的 坐 標(biāo) 不 滿 足 該 方 程 設(shè) M (x, y, z)是 平 面 上 的 任 一 點(diǎn)nMM 0 00 nMM (6.15)x yzo 0M M n 例 1 設(shè) 一 平 面 過 點(diǎn) M0(1, 0, 2)平 面 的 法 向 量 為求 此 平 面 方 程 .解 根 據(jù) 平 面 的

3、 點(diǎn) 法 式 方 程 ， 得 所 求 平 面 方 程 為( 1) 2( 0) 3( 2) 0, x y z即 2 3 5 0. x y z(1,2,3),n 2 平 面 的 一 般 方 程 由 平 面 的 點(diǎn) 法 式 方 程 0)()()( 000 zzCyyBxxA 0)( 000 CzByAxCzByAx 0 DCzByAx反 之 ， 三 元 一 次 方 程 0 DCzByAx 表 示 一 平 面 。這 是 因 為 ： 以 上 兩 式 相 減 , 得 平 面 的 點(diǎn) 法 式 方 程為 平 面 的 一 般 方 程 .任 取 一 組 滿 足 上 述 方 程 的 數(shù) , 000 zyx 則0)(

4、)()( 000 zzCyyBxxA 0000 DzCyBxA顯 然 方 程 與 此 點(diǎn) 法 式 方 程 等 價(jià) , ),( CBAn 的 平 面 ,此 方 程 稱因 此 方 程 的圖 形 是 法 向 量 為 平 面 方 程 的 幾 種 特 殊 情 況 ：(1) D = 0, 平 面 通 過 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ；(2) A = 0, 平 面 平 行 于 x 軸 ；(3) A = B = 0, 平 面 平 行 于 xoy 面 或 垂直 于 z 軸 ；(4) A = D = 0, 平 面 通 過 x 軸 . ox yzAx+By+Cz = 0o x yzBy+Cz+D = 0ox yzCz +D =

5、 0 ox yzBy+Cz = 0 解 1 2 (1,1,3) ，M M所 求 平 面 方 程 為化 簡(jiǎn) 得例 2 求 過 三 點(diǎn) 1(1,0, 1),M 2(2,1,2)和M 3( 1,1, 4) M的 平 面 方 程 .取 ( 6, 3,3) ，-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=02x+ 3y- 3z- 3=0. 1 3 ( 2,1, 3) ，M M1 2 1 3 n M M M M 例 3 一 平 面 過 兩 個(gè) 點(diǎn) M1(1,-5,1)及 M2(3,2,-2),且 平 行 于 y 軸 ,求 其 方 程 . .52DC ,53DA 解 由 于 所 求 平 面 與 y 軸 平 行

6、 ,故 其 方 程 的 形 式設(shè) 為 Ax+Cz+D=0, 因 為 點(diǎn) M1 和 M2 都 在 上 , 其 坐 標(biāo)應(yīng) 當(dāng) 滿 足 的 方 程 ,將 這 兩 個(gè) 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 代 入 到 這 個(gè) 方方 程 中 ,得 到 , A+C+D=0,3A-2C+D=0,解 這 個(gè) 方 程 組 ,得將 這 個(gè) 結(jié) 果 代 入 到 平 面 方 程 中 ,得3x+2z- 5 = 0. 3 平 面 的 截 距 式 方 程設(shè) 平 面 為 ,0 DCzByAx將 三 點(diǎn) 坐 標(biāo) 代 入 得 ,0,0,0DcC DbB DaA ,aDA ,bDB .cDC ,aDA ,bDB ,cDC 將代 入 所 設(shè) 方 程 得

7、1 czbyax x yzo （ 通 常 取 銳 角 ）兩 平 面 法 向 量 之 間 的 夾 角 稱 為 兩 平 面 的 夾 角 . ,0: 11111 DzCyBxA ,0: 22222 DzCyBxA ),( 1111 CBAn ),( 2222 CBAn 6.4.2 兩 平 面 間 的 夾 角11n 22n 設(shè) 由 兩 向 量 夾 角 余 弦 公 式 有1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2| |cos AA BB CCA B C A B C 特 殊 的 ： 21)1( ;0212121 CCBBAA21)2( / .212121 CCBBAA 例 4 解

8、由 兩 平 面 夾 角 的 余 弦 公 式 得2 2 2 2 2 2|1 2 ( 4) 2 1 1 | 2cos 21 ( 4) 1 2 2 1 （ ） （ ）（ ） （ ）.4因 此 ， 所 求 角 求 兩 平 面 x-4y+z-2=0與 2x-2y-z-5=0的 夾 角 . 6.4.3 點(diǎn) 到 平 面 的 距 離 |Pr| 01PPjd n Nn 0P),( 10101001 zzyyxxPP 1P 設(shè) P0(x0, y0, z0)是 平 面 Ax+By+Cz+D = 0外 一 點(diǎn) , 求P0到 平 面 的 距 離 .在 平 面 上 任 取 P1(x1, y1, z1), 則 p | |

9、| | cos | nd Prj p p | | | | | .| | | | |p n p np p n n 0 0 02 2 2| |.Ax By Cz Dd A B C 于 是 得 到 點(diǎn) 到 平 面 距 離 公 式 由 于 P1(x1, y1, z1)在 平 面 上 , 故 Ax1+By1+Cz1+D = 0p n A(x1 x0)+B(y1 y0) +C(z1 z0)= Ax1 + By1 + Cz1 A x0 By0 Cz0= A x0 By0 Cz0 D 例 5 求 點(diǎn) P0 (-1,2,3)到 平 面 x+2y-2z-6= 0的 距 離 .解 由 點(diǎn) 到 平 面 的 距 離 公

10、 式 得d 222 )2(21 |63222)1(1| = 3 求 過 點(diǎn) )1,1,1( ， 且 垂 直 于 平 面7 zyx 和 051223 zyx 的 平 面 方 程 . 練 習(xí) 1練 習(xí) 2 求 通 過 x軸 和 點(diǎn) )1,3,4( 的 平 面 方 程 . 設(shè) 平 面 過 原 點(diǎn) 及 點(diǎn) )2,3,6( ， 且 與 平 面824 zyx 垂 直 ， 求 此 平 面 方 程 . 練 習(xí) 3練 習(xí) 4 1 21 1 1 0 1 10 .M Mx y z一 平 面 通 過 兩 點(diǎn) （ ， ， ） 和 （ ， ， ）且 垂 直 于 平 面 ， 求 它 的 方 程 練 習(xí) 5 求 平 行 于

11、平 面 0566 zyx 而 與 三 個(gè) 坐標(biāo) 面 所 圍 成 的 四 面 體 體 積 為 一 個(gè) 單 位 的 平 面 方 程 . 求 過 點(diǎn) )1,1,1( ， 且 垂 直 于 平 面7 zyx 和 051223 zyx 的 平 面 方 程 . ),1,1,1(1 n )12,2,3(2 n取 法 向 量 21 nnn ),5,15,10( ,0)1(5)1(15)1(10 zyx化 簡(jiǎn) 得 .0632 zyx所 求 平 面 方 程 為解 練 習(xí) 1 練 習(xí) 2 求 通 過 x 軸 和 點(diǎn) )1,3,4( 的 平 面 方 程 .解 由 于 平 面 通 過 x 軸 ， 從 而 它 的 法 線

12、向 量 垂 直軸 ，于 x 于 是 法 線 向 量 在 x軸 上 的 投 影 為 零 ， ；即 0A又 由 平 面 通 過 x軸 ， 它 必 須 通 過 原 點(diǎn) ， .0D于 是因 此 可 設(shè) 這 平 面 的 方 程 為 .0CzBy， 得代 入 點(diǎn) )1,3,4( .3BC 代 入 所 設(shè) 方 程 并 除 以 ）（ 0BB 得 所 求 方 程 為.03 zy 由 平 面 過 點(diǎn) (6, 3, 2)知 設(shè) 平 面 過 原 點(diǎn) 及 點(diǎn) )2,3,6( ， 且 與 平 面824 zyx 垂 直 ， 求 此 平 面 方 程 . 練 習(xí) 3設(shè) 平 面 為 ,0 DCzByAx由 平 面 過 原 點(diǎn) 知

13、 D =0 0236 CBA(4, 1,2),n 4 2 0A B C 2 ,3A B C .0322 zyx所 求 平 面 方 程 為解于 是 求 平 行 于 平 面 0566 zyx 而 與 三 個(gè) 坐 標(biāo) 面 所 圍 成 的 四 面 體 體 積 為 一 個(gè) 單 位 的 平 面 方 程 . 練 習(xí) 4設(shè) 平 面 為 ,1 czbyax1,V 1 1 1,3 2abc得 由 所 求 平 面 與 已 知 平 面 平 行 得,611161 cba 解 ox yza bc ,61161 cba 化 簡(jiǎn) 得 令 tcba 611611 ,6a t ,1tb ,61tc1 1 1 11 6 6 6t

14、t t 1 ,6t 1, 6, 1,a b c .666 zyx所 求 平 面 方 程 為代 入 體 積于 是 .0 110111 21， 求 它 的 方 程且 垂 直 于 平 面 ），（） 和，（一 平 面 通 過 兩 點(diǎn) zyx MM練 習(xí) 5 解 設(shè) 所 求 平 面 得 一 個(gè) 法 線 向 量 為).,( CBAn 2 0. (1)A C 又 因 所 求 的 平 面 垂 直 于 已 知 平 面 ,0 zyx所 以 有 0 (2)A B C ， 1 2 ( 1,0, 2)M M n因 在 所 求 平 面 上 ， 它 必 與 垂 直 ，所 以 有 得 到、由 )2()1( . ,2CB CA由 平 面 的 點(diǎn) 法 式 方 程 0)()()( 000 zzCyyBxxA 可 知 ， 所 求 平 面 方 程 為.0)1()1()1( zCyBxA ,02 ）（代 入 上 式 ， 并 約 去及將 CCCBCA .0)1()1()1(2 zyx得所 以 ， 所 求 的 平 面 方 程 為 ：.02 zyx