第 5 章 對 函 數 的 再 探 索5 .2 一 次 函 數 教 學 目 標1 .結 合 具 體 情 境 ， 體 會 一 次 函 數 的 意 義 ， 理 解 一 次 函 數 和 正 比 例 函 數 的 概 念 .2 .初 步 滲 透 待 定 系 數 的 方 法 ， 根 據 具 體 問 題 的 條 件 ， 確 定 正 比 例 函 數 和 一 次 函 數 關 系 式 中 的 未 知 系 數 .3 .會 作 出 一 次 函 數 和 正 比 例 函 數 的 圖 像 . 一 般 地 ， 在 某 個 變 化 過 程 中 ,有 兩 個 變 量x和 y,如 果 給 定 一 個 x值 ,相 應 地 就 確 定 一 個 y值 ,那 么 我 們 稱 y是 x的 函 數 .其 中 x是 自 變 量 ,y是 因 變 量 .什 么 叫 函 數 ?函 數 的 表 示方 法列 表 法 圖 象 法表 達 式 法 S=10+300t 一 列 高 鐵 列 車 自 北 京 站出 發(fā) ， 運 行 10km 后 ， 便 以300kmh的 速 度 勻 速 行 駛 。如 果 從 運 行 10km后 開 始 計時 ， 你 能 寫 出 該 列 車 離 開 浦東 機 場 站 的 距 離 s（ 單 位 ：米 ） 與 時 間 t（ 單 位 ： 秒 ）之 間 的 函 數 關 系 式 嗎 ？ 做一做 這 些 函 數 的 形 式 都 是 自 變 量 的 常 數 倍 與 一 個 常 數的 和 。 (表 達 式 都 是 自 變 量 的 一 次 式 ) 當 b=0時 ， 稱 y是 x的 正 比 例 函 數一 次 函 數 ： 形 如 y=kx+b(k 0） 的 函 數 叫做 x的 一 次 函 數 ， 其 中 k、 b為 常 數 (x為 自 變 量 ， y因 變 量 ）實 際 問 題 中 ， 自 變 量 的取 值 往 往 是 有 限 制 的 ！ 一次函數和正比例函數的關系正 比 例 函 數 是 一 種 特 殊 的 一 次 函 數一 次 函 數 正 比 例 函 數 是 一 次 函 數 ， 也 是 正 比 例 函 數 。是 一 次 函 數 ， 不 是 正 比 例 函 數 。不 是 一 次 函 數 ， 也 不 是 正 比 例 函 數 。是 一 次 函 數 ， 不 是 正 比 例 函 數 。不 是 一 次 函 數 ， 也 不 是 正 比 例 函 數是 一 次 函 數 ， 不 是 正 比 例 函 數 。例 1.下 列 函 數 中 ， 哪 些 是 一 次 函 數 ， 哪 些 是 正 比 例 函 數 ？ 例 2. 寫 出 下 列 各 題 中 y與 x之 間 的 關 系 式 ， 并 判斷 ： y是 否 為 x的 一 次 函 數 ？ 是 否 為 正 比 例 函 數 ？（1）汽車以60千米/時的速度勻速行駛,行駛路程為y(千米)與行駛時間x(時)之間的關系;（ 2） 圓 的 面 積 y (厘 米 2 )與 它 的 半 徑 x ( 厘 米 ）之 間 的 關 系 .（ 3） 一 棵 樹 現 在 高 5 0 厘 米 ， 每 個 月 長 高 2 厘 米 ， x 月 后 這 棵 樹 的 高 度 為 y 厘 米 . (2) 解 ： 由 圓 的 面 積 公 式 ， 得 y= x2, y不 是 x的 正比 例 函 數 ， 也 不 是 x的 一 次 函 數 . (3) 解 ： 這 棵 樹 每 月 長 高 2厘 米 ， x個 月 長 高 了2x厘 米 ， 因 而 y=50+2x,y是 x的 一 次 函 數 ， 但 不 是x的 正 比 例 函 數 .（ 1） 解 ： 由 路 程 =速 度 時 間 ， 得 y=60 x ， y是 x的 一 次 函 數 ,也 是 x的 正 比 例 函 數 . 根 據 實 際 問 題 寫 出 一 次 函 數 關 系 式 ， 要 注 意以 下 幾 點 ：（ 1） 盡 可 能 多 地 取 一 些 符 合 要 求 的 有 序 數 對 ； （ 2） 觀 察 這 些 數 對 中 數 值 的 變 化 規(guī) 律 ；（ 3） 寫 出 關 系 式 并 驗 證 。 應 用 拓 展 若 x=5,y=1， 則 函 數 關 系 式 。13 若 比 例 系 數 為 , 則 函 數 關 系 式 為 ； （ 2） 已 知 函 數 y=(m-3)xm-1，當 m 時 ， y是 x的 正 比 例 函 數 ；=21.(1)正 比 例 函 數 y=kx(k0) 15y x 13y x 2.已 知 函 數 y=(2-m)x+2m-3.求 當 m為 何 值 時 , (1)此 函 數 為 正 比 例 函 數 (2)此 函 數 為 一 次 函 數解 :(1)由 題 意 , 得 2m-3=0,m= ,所 以 當 m= 時 ,函 數 為 正 比 例 函 數 y= x23 23 23(2)由 題 意 得 2-m0, m2,所 以 m2時 ,此 函 數 為 一 次 函 數 解：y=80 x+100 ，y是x的一次函數。甲乙丙 （ 1） 一 次 函 數 y=kx+b(k 0） 的 圖 象 是 什 么 形 狀 ？ 與 同 學 交 流 .（ 2 ） 你 能 說 出 一 次 函 數 y=x+1 的 圖 象 是 什么 形 狀 嗎 ？ 畫 一 次 函 數 y=kx+b(k 0） 的 圖象 有 什 么 簡 單 方 法 嗎 ？ 一 次 函 數 y=kx+b(k 0） 的 圖 象是 一 條 直 線 ， 通 常 叫 做 直 線 y=kx+b. 例 1.你 會 畫 出 函 數 y=2x-1與 y=x+1 的 圖 象 嗎 ？ y xo2 1 y=2x -1的 圖 象 是 經 過 點(0， -1)和 點 (1， 1)的 直 線 ； y=x+1 是 經 過 點 (0， 1 ) 和 點 (1， 2)的 直 線 . y=2x-1 y=x+1 x 0 1y=2x-1y=x+1 -1 11 2 . . . . . . . . . . . . . . . .o y x-1-2-3-4 -1-2-3 1 2 31234 例 2 畫 出 函 數 的 圖 象 .42 xy AB取 y =0 ， 得 x =-2 直 線 AB就 是 函 數 y=2 x+4 的 圖 象 .解 ： 取 x =0 ， 得 y=4 ； 過 A（ 0 ,4 ） 與 B（ -2 ,0 ）兩 點 畫 一 條 直 線 ， y=2 x+4 y=2 x取 （ 0， b） 、 （ - b k ， 0） 兩 點 ， 作 直 線 即 可 .取 （ 0,0） 、 （ 1， k） 兩 點 ， 作 直 線 即 可 . 直 線 y=kx+b(k 0)的 一 般 畫 法 ：1 正 比 例 函 數 y=kx (k 0)的 一 般 畫 法 ：2 當 x=0 的 時 候 ， 圖 像 與 y軸 的 交 點 為 b當 y=0 的 時 候 ， 圖 像 與 x軸 的 交 點 為正 比 例 函 數 ： 經 過 原 點一 次 函 數 與 x軸 、 y軸 所 圍 成 的 三 角 形 的 面 積 為注 意 ： 圖 像 與 y軸 交 于 （ 0， b)， b就 是 與 y軸 交 點的 縱 坐 標 ， 正 在 原 點 上 ， 負 在 原 點 下 。 bk |2 2kb 例 3 已 知 一 次 函 數 的 圖 象 如 圖 10-10所 示 ， 寫 出 這 個函 數 的 表 達 式 .解 ： 設 所 求 函 數 的 表 達 式 為 y=kx+b.由 圖 10-10可 知 ， 該 函 數 的 圖 象 與 x軸 、 y軸 的 交 點 坐標 分 別 為 (0， -2)， (3， 0)， 將 它 們 分 別 代 入y=kx+b， 得-2=0k+b，0=3k+b.解 這 個 關 于 k， b的 二 元 一 次 方 程 組 ， 得2 3k ，b=-2.再 將 和 b=-2代 入 y=kx+b， 得 所 求 的 一 次 函 數 的表 達 式 為 . 23k 2 23y x 在 本 節(jié) 例 3中 ， 通 過 先 設 出 表 達 式 中 的 未 知系 數 ， 再 根 據 所 給 條 件 ， 利 用 解 方 程 或 方 程 組確 定 這 些 未 知 系 數 .這 種 方 法 叫 做 待 定 系 數 法 . 一、根據定義求解析式 已 知 y與 x成 正 比 例 ， 且 當 x=-1時 ，y=-6， 求 y與 x之 間 的 函 數 關 系 式解 ： 由 題 意 可 設 y=kx(k0) 當 x=-1時 ， y=-6， -k=-6 k=6 y=6x 解疑合探 變式訓練 已 知 y-2與 x成 正 比 例 ， 當 x=-2時 ，y=8， 求 y與 x之 間 的 函 數 關 系 式解 ： 根 據 題 意 設 ：y-2=kx -2k=8-2 k=-3y-2=-3x y=-3x+2 解 ： 解 得 , k 3b 2二、已知兩點坐標求函數解析式 三、根據圖象求解析式例 3： 一 次 函 數的 圖 象 如 圖 所 示 ，求 這 個 一 次 函 數的 解 析 式 y xo-3 2 解 ： 設 一 次 函 數 解 析 式 為 y=kx+b根 據 題 意 得 ：-3k+b=0k 0+b=2解 得 ： k= 23b=2 y= x+2 y xo-3 223 通 過 本 節(jié) 課 的 學 習 ,你 有 什 么 收 獲 ？ 結 束 寄 語 時 間 是 一 個 常 數 ,但 對 勤 奮 者 來 說 ,是 一 個 “ 變 數 ” . 你 在 學 業(yè) 上 的 收獲 與 你 平 時 的 付出 是 成 正 比 的 .收獲時間