9.8 直線與圓錐曲線,考綱要求:1.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用. 2.理解數(shù)形結(jié)合思想.,1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 (1)從幾何角度看,可分為三類:沒有公共點(diǎn),僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)不同的公共點(diǎn). (2)從代數(shù)角度看,可通過將表示直線的方程代入圓錐 曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷.設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線方程為f(x,y)=0. 如消去y后得ax2+bx+c=0. 若a=0,當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí),直線l與雙曲線的漸近線平行;當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí),直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行(或重合).,若a0,設(shè)=b2-4ac. 當(dāng) 0時(shí),直線和圓錐曲線相交于不同的兩點(diǎn); 當(dāng)= 0時(shí),直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn); 當(dāng) 0時(shí),直線和圓錐曲線沒有公共點(diǎn). 2.直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長問題 (2)當(dāng)斜率k不存在時(shí),可求出交點(diǎn)坐標(biāo),直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間的距離公式).,3.圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題,1,2,3,4,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)直線l與橢圓C相切的充要條件是:直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn). ( ) (2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是:直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn). ( ) (3)直線l與拋物線C相切的充要條件是:直線l與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn). ( ) (4)如果直線x=ty+a與圓錐曲線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則弦長 . ( ) (5)若拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn),則需滿足直線l與拋物線C的方程聯(lián)立消元得到的一元二次方程的判別式0. ( ),1,2,3,4,5,A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,自測點(diǎn)評(píng),1.弦長公式使用時(shí)要注意直線的斜率情況,對(duì)于斜率不存在的直線要單獨(dú)處理,對(duì)于拋物線中的過焦點(diǎn)的弦要使用其特定的公式. 2.直線與雙曲線或與拋物線的交點(diǎn)問題比直線與橢圓的交點(diǎn)問題更為復(fù)雜,除了可以利用方程分析,還可以結(jié)合圖像分析.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得:直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法: 用直線方程與圓錐曲線方程組成方程組,研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,只需判斷這個(gè)方程組的解的個(gè)數(shù),即用代數(shù)法研究幾何問題,這是解析幾何的重要思想方法.直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)問題,實(shí)際上是研究方程組解的個(gè)數(shù)問題.,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1 過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于1,則這樣的直線( ) A.有且只有一條 B.有且只有兩條 C.有且只有三條 D.有且只有四條,答案,解析,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)2圓錐曲線中的弦長與中點(diǎn)弦問題(多維探究) 類型一 弦長問題,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,類型二 中點(diǎn)弦問題 例3過點(diǎn)M(1,1)作斜率為 的直線與橢圓C: (ab0)相交于A,B兩點(diǎn),若M是弦長AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率等 . 思考:解中點(diǎn)弦問題常用的求解方法是什么?,答案,解析,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2 (1)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為P(如圖). 求點(diǎn)P的坐標(biāo); 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過點(diǎn)P,且與直線l:y=x+ 交于A,B兩點(diǎn).若PAB的面積為2,求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(2)已知點(diǎn)(4,2)是直線l被橢圓 所截得的弦長的中點(diǎn),則l的方程是 .,答案,解析,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,類型二 定值問題 例5如圖,已知拋物線C:x2=4y,過點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)). (1)證明:動(dòng)點(diǎn)D在定直線上; (2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點(diǎn)N1,與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2.證明:|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值. 思考:求圓錐曲線中定值問題常見的方法有哪些?,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得:1.求定值問題常見的方法有兩種 (1)從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān). (2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值. 2.定點(diǎn)的探索與證明問題 (1)探索直線過定點(diǎn)時(shí),可先設(shè)出直線方程為y=kx+b,然后利用條件建立b,k等量關(guān)系進(jìn)行消元,借助于直線系的思想找出定點(diǎn). (2)從特殊情況入手,先探求定點(diǎn),再證明與變量無關(guān).,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3 (1)(2015江西南昌三模)已知拋物線C:x2=y,直線l與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A,B,且 =(p,6). 設(shè)直線m為線段AB的中垂線,請(qǐng)判斷直線m是否恒過定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由. 記點(diǎn)A,B在x軸上的射影分別為A1,B1,記曲線E是以A1B1為直徑的圓,當(dāng)直線l與曲線E相離時(shí),求p的取值范圍.,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得:圓錐曲線中常見的最值問題及其解法 (1)兩類最值問題:涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題;求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題. (2)兩種常見解法:幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決;代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,1.涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷有兩種方法: (1)代數(shù)法,即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,組成方程組,通過方程組的解來判斷; (2)幾何法,即利用數(shù)形結(jié)合思想并找出關(guān)鍵點(diǎn)或關(guān)鍵線. 2.弦長問題 (1)弦長公式: 設(shè)直線與圓錐曲線相交于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn),則可結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到如下弦長公式: (2)常用點(diǎn)差法解決弦的中點(diǎn)問題.,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,1.直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn),則直線與橢圓相切;直線與雙曲線或直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn),則直線與雙曲線或直線與拋物線不一定相切. 2.利用圓錐曲線中的弦長公式時(shí)要注意直線斜率情況,還要注意在拋物線中的焦點(diǎn)弦及其特殊的結(jié)論.,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,