第七節(jié) 隨機(jī)事件的概率,1.事件的分類 (1)必然事件:在條件S下,一定會發(fā)生的事件,叫做相對于S的必然事件. (2)不可能事件:在條件S下,一定不會發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的不可能事件. (3)確定事件:必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件. (4)隨機(jī)事件:在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的隨機(jī)事件.確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件,一般用大寫字母A,B,C表示.,3.事件的關(guān)系與運(yùn)算,4.概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍為0P(A)1. (2)必然事件的概率為 1 . (3)不可能事件的概率為 0 . (4)概率的加法公式:如果事件A與事件B互斥,則P(AB)= P(A)+P(B) . (5)對立事件的概率:若事件A與事件B互為對立事件,則AB為必然事件,P(AB)= 1 ,P(A)= 1-P(B) . 5.常用的數(shù)學(xué)方法與思想 轉(zhuǎn)化化歸思想、正難則反思想、數(shù)形結(jié)合思想,1.某班級共49人,在必修1的學(xué)分考試中,有7人沒通過,若用A表示參加補(bǔ)考這一事件,則下列關(guān)于事件A的說法正確的是 ( ),2.從整數(shù)中任取兩數(shù),其中是對立事件的是 ( ) A.恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù) B.至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù) C.至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù) D.至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù) 2.C 【解析】由對立事件的定義可知,必有一個發(fā)生的互斥事件只有C.,3.一個骰子連續(xù)投2次,則兩次點數(shù)之積為5的倍數(shù)的概率是 ( ),4.給出下列事件:從10個玻璃杯(其中8個正品,2個次品)中,任取3個,3個都是次品;同一門炮向同一個目標(biāo)發(fā)射多 發(fā)炮彈,其中60%的炮彈擊中目標(biāo);某人給其朋友打電話,卻忘記了朋友電話號碼的最后一個數(shù)字,就隨意在鍵盤上按了一個數(shù)字,恰巧是朋友的電話號碼;同性電荷,相互排斥;某著名運(yùn)動員將在2016年奧運(yùn)會上奪得冠軍;某人購買體育彩票獲獎.其中是隨機(jī)事件的是 .(填上所有你認(rèn)為正確的序號) 4. 【解析】按照事件的分類和概念判斷,是不可能事件;是隨機(jī)事件;是隨機(jī)事件;是必然事件;是隨機(jī)事件;是隨機(jī)事件,所以是隨機(jī)事件的是.,5.洞庭湖地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示: 5.0.29 【解析】年降水量在150,250)(mm)范圍內(nèi)包含年降水量在150,200)和200,250)(mm)范圍內(nèi)兩個事件,所以估計年降水量在150,250)(mm)范圍內(nèi)的概率為0.16+0.13=0.29.,典例1 李老師在某大學(xué)連續(xù)3年主講經(jīng)濟(jì)學(xué)院的高等數(shù)學(xué),下表是3年來學(xué)生在這門課上的考試成績分布(滿分100分):,經(jīng)濟(jì)學(xué)院一年級的學(xué)生小王下學(xué)期將修李老師的高等數(shù)學(xué)課,用已有的信息估計他得以下分?jǐn)?shù)的概率:60,90);及格(及格線是60分).(精確到0.001),典例2 某研究小組有3名男性研究員和2名女性研究員,從中任選2名研究員去參加一次課題活動,判斷下列各組事件是否是互斥事件,是否是對立事件,并說明理由. 恰有1名男性研究員和恰有2名男性研究員; 至少有1名男性研究員和至少有1名女性研究員; 至少有1名男性研究員和全部是男性研究員; 至少有1名男性研究員和全部是女性研究員.,【解題思路】利用互斥事件和對立事件的概念逐一判斷.記“恰有1名男性研究員”為事件A,“恰有2名男性研究員”為事件B,則AB=,所以是互斥事件,但也可能是2名女性研究員,所以不是對立事件;當(dāng)研究員為一男一女時,“至少有1名男性研究員”與“至少有1名女性研究員”同時成立,所以不是互斥事件,也不是對立事件;記“至少有1名男性研究員”為事件C,“全是男性研究員”為事件D,則CD=D,所以不是互斥事件,也不是對立事件;記“全是女生”為事件E,則CF=,且P(CF)=1,所以是互斥事件,也是對立事件. 【參考答案】是互斥事件,不是對立事件;不是互斥事件,也不是對立事件;不是互斥事件,也不是對立事件;是互斥事件,也是對立事件,典例4 某河流上的一座水力發(fā)電站,每年六月份的發(fā)電量Y(單位:萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量X(單位:毫米)有關(guān).據(jù)統(tǒng)計,當(dāng)X=70時,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的頻率分布表: 近20年六月份降雨量頻率分布表,(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同,并將頻率視為概率,求今年六月份該水力發(fā)電站的 發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率. 【解題思路】將復(fù)雜事件分解,利用互斥事件的概率公式求解. 【參考答案】(1)在所給數(shù)據(jù)中,降雨量為110毫米的有3個,160毫米的有7個,200毫米的有3個.故近20年六月份降雨量頻率分布表為 近20年六月份降雨量頻率分布表,【變式訓(xùn)練】,隨機(jī)事件概率的三種求法 求解隨機(jī)事件的概率問題時,要根據(jù)隨機(jī)事件的類型以及基本事件度量的難易程度,靈活選用不同的方法將其轉(zhuǎn)化為簡單的概率問題,常用方法有公式法、并集法與補(bǔ)集法. 1.公式法(直接法) 對于比較簡單的隨機(jī)事件的概率,可以直接求出相應(yīng)事件的度量,代入公式求解. 2.并集法(互斥加法) 對于比較復(fù)雜的隨機(jī)事件的概率,可以根據(jù)事件的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為兩個或多個彼此互斥的比較簡單的隨機(jī)事件,然后利用互斥事件的概率求解.這種方法適用于隨機(jī)事件中包含的對象種類較多,所求事件較復(fù)雜,如含有“至少”、“至多”等字眼的事件概率的求解等.在分解轉(zhuǎn)化的過程中,要注意事件之間的互斥性,分類標(biāo)準(zhǔn)要清楚,不能有重復(fù)或遺漏.,3.補(bǔ)集法(對立減法) 對于正面求解比較復(fù)雜的隨機(jī)事件的概率問題,可以根據(jù)事件的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為其對立事件的概率,然后利用對立事件的概率公式求解.這種方法適用于所求事件含互斥事件種類較多,而其對立事件含種類較少,解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定所求事件的對立事件.,【針對訓(xùn)練】,