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,常系數(shù)非齊次線性微分方程,第八節(jié),一、,二、,第七章,二階常系數(shù)非齊次線性方程,對應(yīng)齊次方程,通解結(jié)構(gòu),常見類型,難點(diǎn)：如何求特解？,方法：待定系數(shù)法.,設(shè)非齊方程特解為,代入原方程,,,一、 型,綜上討論,注意,上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.,特別地,例1.求方程 的一個特解,解: 本題,而特征方程為,不是特征方程的根 .,設(shè)所求特解為,代入方程 :,比較系數(shù), 得,于是所求特解為,,解,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解為,例２,例３,例. 求解定解問題,解: 本題,特征方程為,其根為,設(shè)非齊次方程特解為,代入方程得,故,故對應(yīng)齊次方程通解為,原方程通解為,由初始條件得,,,,,于是所求解為,解得,利用歐拉公式,注意,上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.,解,對應(yīng)齊次方程特征方程,代入方程得,解,對應(yīng)齊次方程通解,代入上式,所求非齊方程特解為,原方程通解為,例5,例6,解,對應(yīng)齊方通解,用常數(shù)變易法求非齊方程通解,原方程通解為,例7,例8.,解: (1) 特征方程,有二重根,所以設(shè)非齊次方程特解為,(2) 特征方程,有根,利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為,,,,設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:,三、小結(jié),(待定系數(shù)法),只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程,求特解, 取特解的實(shí)部或虛部, 得原非齊方程特解.,思考題,寫出微分方程,的待定特解的形式.,思考題解答,設(shè) 的特解為,設(shè) 的特解為,則所求特解為,特征根,（重根）,思考與練習(xí),時可設(shè)特解為,時可設(shè)特解為,,,提示:,1 . (填空) 設(shè),2. 求微分方程,的通解 (其中,為實(shí)數(shù) ) .,解: 特征方程,特征根:,對應(yīng)齊次方程通解:,時,,代入原方程得,故原方程通解為,時,,代入原方程得,故原方程通解為,3. 已知二階常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 將特解代入方程得恒等式,比較系數(shù)得,,,,故原方程為,對應(yīng)齊次方程通解:,,,,,,原方程通解為,,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,