第 5 講,直線、平面垂直的判定與性質(zhì),1以空間直線、平面的位置關(guān)系及四個(gè)公理為出發(fā)點(diǎn)認(rèn)識(shí),和理解空間中的垂直關(guān)系,2理解直線和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理 3理解并能證明直線和平面垂直、平面和平面垂直的性質(zhì),定理,4能用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位,置關(guān)系的簡單命題,1線面垂直與面面垂直,垂直,（續(xù)表）,2.直線與平面所成的角,(1)如果直線與平面平行或者在平面內(nèi)，那么直線與平面所,成的角等于 0.,(2)如果直線和平面垂直，那么直線與平面所成的角等 于,90.,(3)平面的斜線與它在平面上的射影所成的銳角叫做這條 斜線與平面所成的角，其范圍是(0，90)斜線與平面所成 的線面角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中 最小的角 3二面角 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖象叫做二面角從 二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的 兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角平面角,是直角的二面角叫做_,直二面角,),D,1垂直于同一條直線的兩條直線一定( A平行 B相交 C異面 D以上都有可能,2給定空間中的直線 l 及平面，條件“直線 l 與平面內(nèi),無數(shù)條直線都垂直”是“直線 l 與平面垂直”的(,),C,A充要條件 C必要非充分條件,B充分非必要條件 D既非充分又非必要條件,3如圖 8-5-1，在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，下列結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)是(,),D,圖 8-5-1 BD1AC；BD1A1C1；BD1B1C.,A0 個(gè),B1 個(gè),C2 個(gè),D3 個(gè),4已知三條直線 m，n，l,三個(gè)平面，.下面四個(gè)命,題中，正確的是(,),D,考點(diǎn) 1,直線與平面垂直的判定與性質(zhì),例 1：(2014 年山東)如圖 8-5-2，在四棱錐 P-ABCD 中，AP E，F(xiàn) 分別為線段 AD，PC 的中點(diǎn) (1)求證：AP平面 BEF； (2)求證：BE平面 PAC. 圖 8-5-2,(2)由題意知，EDBC，EDBC， 四邊形 BCDE 為平行四邊形 因此 BECD.,又 AP平面 PCD，,APCD，因此 APBE. 四邊形 ABCE 為菱形， BEAC.,又 APACA，AP，AC平面 PAC， BE平面 PAC.,【規(guī)律方法】直線與直線垂直直線與平面垂直平面與 平面垂直直線與平面垂直直線與直線垂直，通過直線與平 面位置關(guān)系的不斷轉(zhuǎn)化來處理有關(guān)垂直的問題.出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，平 行要聯(lián)想到三角形中位線，垂直要聯(lián)想到三角形的高；出現(xiàn)圓 周上的點(diǎn)時(shí)，聯(lián)想到直徑所對(duì)的圓周角為直角.,【互動(dòng)探究】 1如圖 8-5-3，PA O 所在的平面，AB 是O 的直徑， C 是O 上的一點(diǎn)，E，F(xiàn) 分別是 A 在 PB，PC 上的射影，則下,列結(jié)論中正確命題的個(gè)數(shù)是(,) 圖 8-5-3,AFPB；EFPC；AFBC；AE平面 PBC.,A1 個(gè) C3 個(gè),B2 個(gè) D4 個(gè),解析：正確，又AF平面 PBC，假設(shè)AE平面PBC， AFAE，顯然不成立，故錯(cuò)誤 答案：C,考點(diǎn) 2,平面與平面垂直的判定與性質(zhì),例 2：(2014 年江蘇)如圖 8-5-4，在三棱錐 P-ABC 中，D， E，F(xiàn) 分別為棱 PC，AC，AB 的中點(diǎn)，已知 PA AC，PA 6， BC8，DF5，求證： (1)直線 PA 平面 DEF； (2)平面 BDE平面 ABC.,圖 8-5-4,證明：(1)D，E 分別是 PC，AC 的中點(diǎn)， PADE.,又 DE平面 DEF，且 PA 平面 DEF， 直線 PA平面 DEF. (2)由(1)知，PADE.,又 PAAC，DEAC. 又 F 是 AB 的中點(diǎn)，,又 DF5，DE2EF2DF2，即 DEEF. 又 EFACE，DE平面 ABC.,又 DE平面 BDE，故平面 BDE平面 ABC.,【規(guī)律方法】證明兩個(gè)平面互相垂直，就是證明一個(gè)平面 經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，從而將面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為線 面垂直的問題.,【互動(dòng)探究】 2如圖 8-5-5，在立體圖形 D-ABC 中，若 ABCB，AD,),CD，E 是 AC 的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( A平面 ABC平面 ABD B平面 ABD平面 BDC C平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC 平面 BDE D平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC 平面 BDE,圖 8-5-5,解析：要判斷兩個(gè)平面的垂直關(guān)系，就需找一個(gè)平面內(nèi)的 一條直線與另一個(gè)平面垂直因?yàn)锳BCB，且E 是AC 的中點(diǎn)， 所以 BEAC，同理有 DEAC，于是AC平面BDE.因?yàn)锳C 在平面 ABC 內(nèi)，所以平面 ABC平面 BDE.又由于AC平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE.故選 C.,答案：C,考點(diǎn) 3,線面所成的角,例 3：如圖 8-5-6，在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 與 平面 A1B1CD 所成的角 圖 8-5-6 解：如圖 8-5-6，連接 BC1，交 B1C 于點(diǎn)O，連接A1O，設(shè) 正方體的棱長為 a.,又BA1O 為銳角，BA1O30. 故 A1B 與平面 A1B1CD 所成的角為 30.,【規(guī)律方法】求直線和平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問題是： 先判斷直線和平面的位置關(guān)系；當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常 有以下步驟：作作出或找到斜線與平面所成的角；證 論證所作或找到的角為所求的角；算常用解三角形 的方法求角；結(jié)論點(diǎn)明斜線和平面所成角的值,解析：如圖 D38，連接AC交BD 于點(diǎn)O， 連接 C1O，過點(diǎn) C 作 CHC1O 于點(diǎn) H. 圖 D38,【互動(dòng)探究】 3(2013 年大綱)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1,2AB，則 CD 與平面 BDC1 所成角的正弦值等于(,),難點(diǎn)突破,立體幾何中的探究性問題,例題：已知四棱錐 P-ABCD 的直觀圖及三視圖如圖 8-5-7. (1)求四棱錐 P-ABCD 的體積；,(2)若點(diǎn) E 是側(cè)棱 PC 的中點(diǎn)，求證：PA 平面 BDE； (3)若點(diǎn) E 是側(cè)棱 PC 上的動(dòng)點(diǎn)，是否無論點(diǎn) E 在什么位置，,都有 BDAE？并證明你的結(jié)論,圖 8-5-7,思維點(diǎn)撥：(1)由直觀圖三視圖確定棱錐的底面和高，再求,體積,(2)欲證 PA 平面 BDE，需找一個(gè)經(jīng)過PA 與平面BDE 相 交的平面，結(jié)合 E 為 PC 的中點(diǎn)，AC 與BD 的交點(diǎn)為AC 的中 點(diǎn)，故取平面 PAC.,(3)“無論點(diǎn) E 在 PC 上的什么位置，都有 BDAE”的含,義是 BD平面 PAC.,(2)證明：如圖 8-5-8，連接 AC，交BD 于點(diǎn) F，則F 為AC,的中點(diǎn),圖 8-5-8,又E 為 PC 的中點(diǎn)，PAEF. 又 PA平面 BDE，EF平面 BDE， PA平面 BDE.,(3)解：無論點(diǎn) E 在什么位置，都有 BDAE.證明如下： 四邊形 ABCD 是正方形， BDAC.,PC底面 ABCD，且 BD平面 ABCD， BDPC.,又 ACPCC，BD平面 PAC.,無論點(diǎn) E 在 PC 上什么位置，都有 AE平面 PAC， 無論點(diǎn) E 在 PC 上什么位置，都有 BDAE.,