4.6 慣性定律與正定二次型1.慣性定律2.正定二次型1.1.慣性定律慣性定律 化二次型為標準形，所用可逆線性變換不同，化成的標準化二次型為標準形，所用可逆線性變換不同，化成的標準形一般也不同那么，形一般也不同那么，標準形中哪些量是由二次型本身唯一確標準形中哪些量是由二次型本身唯一確定的，而不依賴所作的變換？定的，而不依賴所作的變換？定理定理1 (1 (慣性定律慣性定律)實二次型經(jīng)過任何可逆線性變換化為標準實二次型經(jīng)過任何可逆線性變換化為標準形，不但非零項的項數(shù)一定形，不但非零項的項數(shù)一定(它等于二次型的秩它等于二次型的秩)，而且正項、負，而且正項、負項的項數(shù)也分別相同項的項數(shù)也分別相同 標準形的正項項數(shù)標準形的正項項數(shù) p 叫做二次型的叫做二次型的正慣性指正慣性指(數(shù)數(shù))標標；負項項數(shù)負項項數(shù) q 叫做二次型的叫做二次型的負慣性指負慣性指(數(shù)數(shù))標標 這里，這里，p+q=r(r 為二次型的秩為二次型的秩).定義定義1 1 若二次型若二次型f=X TAX對于任意非零的對于任意非零的n 維向量維向量X，恒有，恒有 f=XTAX 0,則稱則稱f=XTAX為為正定二次型正定二次型，并稱，并稱A為為正定矩陣正定矩陣.若二次型若二次型f=X TAX對于任意非零的對于任意非零的n 維向量維向量X，恒有，恒有 f=XTAX 0,則稱則稱f=XTAX為為半正定二次型半正定二次型，并稱，并稱A為為半正定矩陣半正定矩陣.2 2 正定二次型正定二次型若二次型若二次型f=X TAX對于任意非零的對于任意非零的n 維向量維向量X，恒有，恒有 f=XTAX 0,則稱則稱f=XTAX為為正定二次型正定二次型，并稱，并稱A為為正定矩陣正定矩陣.如如是是正定正定二次型；二次型；是是半正定半正定二次型；二次型；是是不定不定二次型二次型.例例1.1.判定二次型判定二次型 的正定性的正定性解：解：二次型的矩陣為二次型的矩陣為因因A的特征值都大于零，故的特征值都大于零，故A正定，即該二次型正定正定，即該二次型正定.正定二次型的判定（正定二次型的判定（3種方法）種方法）定理定理1 1 n元實二次型正定的充要條件是正慣性指標等于元實二次型正定的充要條件是正慣性指標等于n.定理定理2 2 n元實二次型正定的充要條件是其矩陣的元實二次型正定的充要條件是其矩陣的n個特征值個特征值都是正數(shù)都是正數(shù).定理定理3 3 n 階實對稱矩陣階實對稱矩陣A正定的充要條件是正定的充要條件是A的各階的各階順序順序主子式主子式都大于零都大于零，即，即 例例2.2.判定下列二次型的正定性判定下列二次型的正定性(1)(2)解：解：(1)的系數(shù)矩陣為的系數(shù)矩陣為各階順序主子式為各階順序主子式為(2)的系數(shù)矩陣為的系數(shù)矩陣為階順序主子式為階順序主子式為所以所以(1)是正定二次型是正定二次型.所以所以(2)不是正定二次型不是正定二次型.解：解：二次型二次型 f 的矩陣為的矩陣為由定理由定理3知知,應有應有例例3.3.求求 t 的取值范圍，使下列二次型為正定二次型的取值范圍，使下列二次型為正定二次型.即有方程組即有方程組解得解得即當即當時，二次型正定時，二次型正定.作業(yè)：作業(yè)：作業(yè)：作業(yè)：137137頁頁頁頁 9 9（33）、）、）、）、1212、13131.重點掌握通過正交變換將二次型標準化的方法!2.總結判斷某個矩陣正定或者某個二次型正定的方法線性代數(shù)課程到此結束！接下來的時間，請各位同學認真復習，復習中，有任何問題可隨時聯(lián)系我！