第 五 章 二 次 曲 線 的 一 般 理 論 主 要 內(nèi) 容二次曲線與直線的相關(guān)位置二次曲線的漸近方向、中心、漸近線二次曲線的切線二次曲線的直徑二次曲線的主直徑與主方向二次曲線方程的化簡(jiǎn)與分類用不變量化簡(jiǎn)二次曲線的方程 教 學(xué) 目 的 ： 了 解 復(fù) 平 面 的 特 征 ； 掌 握 二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 、 中 心 、 漸 近 線 、 切 線 、 直 徑 、主 方 向 和 主 直 徑 概 念 及 求 法 ； 弄 清 移 軸 變 換 和 轉(zhuǎn) 軸 變 換 對(duì) 二 次 曲 線 方 程 系 數(shù) 的 影 響 規(guī)律 ， 以 及 這 兩 種 坐 標(biāo) 變 換 在 化 簡(jiǎn) 二 次 曲 線 方 程 中 所 起 的 作用 ； 能 判 別 二 元 二 次 方 程 所 表 示 的 曲 線 的 類 型 ， 熟 練 地 化 簡(jiǎn)二 次 曲 線 方 程 ， 并 寫 出 相 應(yīng) 變 換 關(guān) 系 式 ， 作 出 其 圖 形 。教 學(xué) 重 點(diǎn) ： 二 次 曲 線 由 漸 近 方 向 、 中 心 、 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 得 出 的 不 同 分 類方 法 ； 二 次 曲 線 方 程 的 化 簡(jiǎn) 、 分 類 與 作 圖 。教 學(xué) 難 點(diǎn) ： 移 軸 變 換 和 轉(zhuǎn) 軸 變 換 對(duì) 二 次 曲 線 方 程 系 數(shù) 的 影 響 規(guī) 律 及 其 在 化 簡(jiǎn) 二 次 曲 線 方 程 中 所 起 的 作 用 。 第 五 章 教 學(xué) 要 求 5.1 二 次 曲 線 與 直 線 的 相 關(guān) 位 置 教 學(xué) 目 標(biāo) ： 了 解 復(fù) 平 面 的 特 征 ； 熟 記 二 次 曲 線 方 程 中 的 有 關(guān) 記 號(hào) ； 掌 握 二 次 曲 線 與 直 線 的 相 關(guān) 位 置 及 判 別 方 法 。教 學(xué) 重 點(diǎn) ： 二 次 曲 線 方 程 中 的 有 關(guān) 記 號(hào) 及 二 次 曲 線 與 直 線 的相 關(guān) 位 置 。教 學(xué) 難 點(diǎn) ： 二 次 曲 線 與 直 線 位 置 的 判 別 方 法 。 二 次 曲 線 的 一 般 理 論 前 言在 平 面 上 ， 由 二 元 二 次 方 程 0222 33231322212211 ayaxayaxyaxa 所 表 示 的 曲 線 ， 叫 做 二 次 曲 線 。 在 這 一 章 里 ， 我 們 將討 論 二 次 曲 線 的 幾 何 性 質(zhì) ， 以 及 二 次 曲 線 的 化 簡(jiǎn) ， 最 后對(duì) 二 次 曲 線 進(jìn) 行 分 類 。一 平 面 上 的 復(fù) 元 素 今 在 復(fù) 平 面 上 引 入 下 列 復(fù) 元 素 復(fù) 向 量 ： 復(fù) 直 線 ： 在 直 角 系 下 ,一 次 方 程 ax+by+c=0 (a,b為 復(fù) 數(shù) )所 表 示 的 圖形 ,稱 為 復(fù) 直 線 ;若 a,b,c與 三 實(shí) 數(shù) 對(duì) 應(yīng) 成 比 例 ,則 稱 其 為 實(shí) 直線 ,否 則 稱 其 為 虛 直 線 。 注 意 :實(shí) 直 線 可 以 有 虛 點(diǎn) 。 注 ： 實(shí) 直 線 上 有 無(wú) 窮 多 個(gè) 復(fù) 點(diǎn) ， 但 虛 直 線 上 只 有 一 個(gè)實(shí) 點(diǎn) 。 定 比 分 點(diǎn) ： 共 軛 復(fù) 元 素 ： 三 為 了 方 便 起 見 ， 特 引 進(jìn) 一 些 記 號(hào) ： 33231322212211 222),( ayaxayaxyaxayxF 1312111 ),( ayaxayxF 2322122 ),( ayaxayxF 3323133 ),( ayaxayxF 22212211 2),( yaxyaxayx 22111 aaI 2212 12112 aa aaI 332313 232212 1312113 aaa aaa aaaI 3323 23223313 13111 aa aaaa aaK 332313 232212 131211 aaa aaa aaaA 2212 1211* aa aaA 二 次 曲 線 與 直 線 的 相 關(guān) 位 置 33231322212211 222),( ayaxayaxyaxayxF 討 論 二 次 曲 線與 直 線 Ytyy Xtxx 00 的 交 點(diǎn) ， 可 以 采 用 把 直 線 方 程 代 入 曲 線 方 程 然后 討 論 關(guān) 于 t 的 方 程 。 0)222() ()(2)2( 3302301320220012201123 02201213012011222212211 ayaxayayxaxatYa yaxaXayaxatYaXYaXa對(duì) 或 可 分 以 下 幾 種 情 況 來(lái) 討 論 ： 0),(),(),(2),( 000020012 yxFtYyxFXyxFtYX 的兩個(gè)不同的實(shí)交點(diǎn)。與二次曲線得直線，代入與有兩個(gè)不等的實(shí)根方程)1()2()2( )4(.01 21 tt點(diǎn)。有兩個(gè)相互重合的實(shí)交與二次曲線直線與有兩個(gè)相等的實(shí)根方程)1()2( ,)4(.02 21 tt的虛點(diǎn)。二次曲線交于兩個(gè)共軛與直線有兩個(gè)共軛的虛根方程)2(,)4(.03 ),(),(),(),( ,)4(0),(.1 002002001 yxFYXYyxFXyxF tYX 的二次方程是關(guān)于此時(shí)。0),(),( ),(2),( 00002 0012 yxFtYyxF XyxFtYX tYyy tXxx 0033231322212211 222),( ayaxayaxyaxayxF ：，這時(shí)又可分三種情況0),(.2 YX實(shí)交點(diǎn)。有唯一與二次曲線直線的一次方程關(guān)于是此時(shí)。)1()2(, )4(0),(),(1 002001t YyxFXyxF 無(wú)交點(diǎn)。與二次曲線直線是矛盾方程。而。)1()2(,)4(0 ),(0),(),(2 00002001 yxFYyxFXyxF上。全部在二次曲線直線是恒等式此時(shí))1()2(,)4( .0),(),(),(3 00002001 yxFYyxFXyxF0),(),( ),(2),( 00002 0012 yxFtYyxF XyxFtYX tYyy tXxx 0033231322212211 222),( ayaxayaxyaxayxF 21212),(1 yxyxF 121),(, 2 yxyxF 122),( 22 yxyxyxyxF 01 yx ty tx 11:1: YX ),(, 00 yx0)1,1( 23)0,1(),(, 1001 FyxF 23)0,1(),( 2002 FyxF 0)0,1(, F 解 : 將 直 線 化 為 參 數(shù) 形 式得 : 為 (1 ,0 ),所 以 直 線 在 二 次 曲 線 上 ， 即 直 線 上 所 有 點(diǎn) 均 為 交 點(diǎn) 。 01 yx 0122 22 yxyxyx例 求 直 線 與 二 次 曲 線的 交 點(diǎn) 。因 為 : 5.2 二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 、 中 心 、 漸 近 線教 學(xué) 目 標(biāo) ： 理 解 二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 、 中 心 、 漸 近 線 概 念 ； 掌 握 二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 、 中 心 、 漸 近 線 的 求 法 ； 能 根 據(jù) 漸 近 方 向 和 中 心 對(duì) 二 次 曲 線 進(jìn) 行 分 類 。 教 學(xué) 重 點(diǎn) ： 二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 、 中 心 、 漸 近 線 概 念 及 求 法 。 教 學(xué) 難 點(diǎn) ： 根 據(jù) 漸 近 方 向 和 中 心 對(duì) 二 次 曲 線 進(jìn) 行 分 類 。 5.2 二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 、 中 心 、 漸 近 線1 .二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 定 義 5.2.1 滿 足 條 件 (X,Y)=0的 方 向 X:Y叫 做 二次 曲 線 的 漸 近 方 向 ， 否 則 叫 做 非 漸 近 方 向 。事 實(shí) 上 ， YX : 為 漸 近 方 向 0),( YX 02 22212211 YaXYaXa 事 實(shí) 上 ， YX : 為 漸 近 方 向 0),( YX 02 22212211 YaXYaXa )0(02)( 112212 211 aaYXaYXa )0(:)(: 1111212 aaIaYX 02 22212211 YaXYaXa )0(02)( 221112222 aaXYaXYa或)0,0,0(0 12121112 aaaXYa或)0(:)(: 2222212 aaIaXY或)0,0,0()1:0(0:1: 121112 aaaYX或或 222 10 01 baI 01 22 ba12222 byax可 見 ， 對(duì) 橢 圓 ， 12222 byax對(duì) 雙 曲 線 它 有 二 不 同 實(shí) 漸 近 方 向 ； 它 有 二 相 同 的 實(shí) 漸 近 方 向 ； 01 222 baI， 0 01 002 I， 它 有 二 共 軛 復(fù) 漸 近 方 向 ；pxy 22 對(duì) 拋 物 線 1xy對(duì) 雙 曲 線 它 也 有 二 不 同 實(shí) 漸 近 方 向 ； 0412 I， 定 義 5.2.2 沒(méi) 有 實(shí) 漸 近 方 向 的 二 次 曲 線 叫 做 橢 圓型 的 ,有 一 個(gè) 實(shí) 漸 近 方 向 的 二 次 曲 線 叫 做 拋 物 線 型 的 ,有 兩 個(gè) 實(shí) 漸 近 方 向 的 二 次 曲 線 叫 做 雙 曲 型 的 。即 : 橢 圓 型 :I20； 拋 物 型 :I2 0； 雙 曲 型 :I202 . 二 次 曲 線 的 中 心 與 漸 近 線 定 義 5.2.3 如 果 點(diǎn) C是 二 次 曲 線 的 通 過(guò) 它 的 所 有 弦的 中 點(diǎn) (C是 二 次 曲 線 的 對(duì) 稱 中 心 )， 那 么 點(diǎn) C叫 做 二 次曲 線 的 中 心 。 定 理 5.2.1 點(diǎn) C(x 0 ,y0)是 二 次 曲 線 (1)的 中 心 ， 其 充要 條 件 是 ： )12.5(*)(0),( 0),( 23022012002 13012011001 ayaxayxF ayaxayxF 定 理 5.2.1 點(diǎn) C(x0 ,y0)是 二 次 曲 線 (1)的 中 心 ， 其 充要 條 件 是 ： )12.5(*)(0),( 0),( 23022012002 13012011001 ayaxayxF ayaxayxF YttyYtyYtyy XttxXtxXtxx 22( 22( 21020100 21020100）（）（）021 tt ,0),(),(, 002001 YyxFXyxF的 根 ， 而 21MM由 弦 的 任 意 性 , 0),(),(),(2),( 000020012 yxFtYyxFXyxFtYX 0),(),( 002001 YyxFXyxF 定 理 5.2.1 點(diǎn) C(x0 ,y0)是 二 次 曲 線 (1)的 中 心 ， 其 充要 條 件 是 ： )12.5(*)(0),( 0),( 23022012002 13012011001 ayaxayxF ayaxayxF 02102010 02102010 22( 22( yYttyYtyYty xXttxXtxXtx）（）（）021 tt 推 論 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 是 二 次 曲 線 的 中 心 ， 其 充 要 條 件 是曲 線 方 程 里 不 含 x與 y的 一 次 項(xiàng) . 二 次 曲 線 (1 )的 的 中 心 坐 標(biāo) 由 下 方 程 組 決 定 ： )22.5(0),( 0),( 2322122 1312111 ayaxayxF ayaxayxF如 果 I2 0， 則 (5.2 2)有 唯 一 解 ， 即 為 唯 一 中 心 坐 標(biāo)如 果 I2 0， 分 兩 種 情 況 ： .)22.5( 231322121211無(wú)解，沒(méi)有中心時(shí)，當(dāng) aaaaaa這條直線叫中心直線。都是二次曲線的中心，點(diǎn)無(wú)數(shù)多解，直線上所有時(shí)，當(dāng))22.5(231322121211 aaaaaa 定 義 5.2.4 有 唯 一 中 心 的 二 次 曲 線 叫 中 心 二 次 曲 線 ,沒(méi)有 中 心 的 二 次 曲 線 叫 無(wú) 心 二 次 曲 線 ,有 一 條 中 心 直 線 的 二次 曲 線 叫 線 心 二 次 曲 線 ,無(wú) 心 二 次 曲 線 和 線 心 二 次 曲 線 統(tǒng)稱 為 非 中 心 二 次 曲 線 。二 次 曲 線 分 類 ： 漸 近 線 求 法 1 ： 求 出 中 心 ， 再 求 出 漸 近 方 向 即 可 得 到 漸近 線 的 參 數(shù) 方 程 。 定 義 5.2.5 通 過(guò) 二 次 曲 線 的 中 心 ， 而 且 以 漸 近 方 向 為方 向 的 直 線 叫 做 二 次 曲 線 的 漸 近 線 。 可 見 ： 橢 圓 型 二 次 曲 線 有 二 共 軛 復(fù) 漸 近 線 ;雙 曲 型 二 次曲 線 有 二 不 同 實(shí) 漸 近 線 ;而 對(duì) 拋 物 型 二 次 曲 線 ,若 其 為 無(wú) 心的 ,則 其 沒(méi) 有 漸 近 線 ,若 其 為 線 性 的 ,則 由 于 其 漸 近 方 向 為2212 : aaYX ， 而 這 正 是 中 心 直 線 的 方 向 ， 它 的 漸 近 線 即 為 中 心 直 線 。 定 理 5.2.2 二 次 曲 線 的 漸 近 線 與 這 二 次 曲 線 或 者 沒(méi) 有交 點(diǎn) ， 或 者 整 條 直 線 在 這 二 次 曲 線 上 成 為 二 次 曲 線 的組 成 部 分 。 則 l與 曲 線 不 相 交 ， 例 1 試 證 明 如 果 二 次 曲 線 a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有 漸 近 線 ， 那 么 它 的 兩 漸 近 線 方 程 是 (x-x0, y-y0)a11(x-x0)2+2a12(x-x0)( y-y0)+a22( y-y0)2=0,式 中 (x0, y0)為 二 次 曲 線 的 中 心 。 證 明 ： 設(shè) (x, y)為 漸 近 線 上 任 意 一 點(diǎn) ， 則 曲 線 的漸 近 方 向 為 ： X:Y = (x-x0):( y-y0) 所 以 (x-x 0, y-y0)=0 即 ： a11(x-x0)2+2a12(x-x0)( y-y0)+a22( y-y0)2=0 例 2 求 二 次 曲 線 x2-3xy+2y2+x-3y+4=0 的 漸 近 線 。 解 法 一 ： 由 023223 02123 yx yx , 解 得 中 心 為 C(-5, -3),由 (X, Y )=X 2-3XY+2Y 2=0解 得 漸 近 方 向 為 :X1:Y1=2:1, X2:Y2=1:1 ,所 以 漸 近 線 方 程 為 :1 31 51 32 5 yxyx，,即 x-2y-1=0, x-y+2=0 解 法 二 ： 同 解 法 一 求 得 中 心 為 C(-5, -3)，由 上 題 得 漸 近 線 為 ： (x+5, y+3)a 11(x+5)2+2a12(x+5)( y+3)+a22( y+3)2=0或 (x+5)-2(y+3)(x+5)-(y+3)=0， 即 x-2y-1=0, x-y+2=0