第6節(jié) 空間向量及其運(yùn)算,知識(shí)鏈條完善,考點(diǎn)專項(xiàng)突破,易混易錯(cuò)辨析,知識(shí)鏈條完善 把散落的知識(shí)連起來(lái),【教材導(dǎo)讀】 1.在空間直角坐標(biāo)系中,在x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)怎么記?在y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)怎么記?在z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)怎么記? 提示:可記作(x,0,0).可記作(0,y,0).可記作(0,0,z). 2.空間中任意兩個(gè)非零向量a,b共面嗎? 提示:共面.,知識(shí)梳理,1.空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念 (1)空間直角坐標(biāo)系 以空間一點(diǎn)O為原點(diǎn),建立三條兩兩垂直的數(shù)軸:x軸、y軸、z軸.這時(shí)我們說(shuō)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz,其中點(diǎn)O叫做 ,x軸、y軸、z軸叫做 ,通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做 . (2)右手直角坐標(biāo)系 在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向 的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系. (3)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo) 空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來(lái)表示,記作M(x,y,z),其中x叫做點(diǎn)M的 ,y叫做點(diǎn)M的 ,z叫做點(diǎn)M的 .,坐標(biāo)原點(diǎn),坐標(biāo)軸,坐標(biāo)平面,z軸,橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),豎坐標(biāo),3.空間向量的有關(guān)概念,大小和方向,長(zhǎng)度或模,1,0,相同,相等,相反,相等,互相平行,或重合,ab,平面,4.空間向量的有關(guān)定理及推論,a=b,p=xa+yb,不共面,p=xa+yb+zc,基底,基向量,不共線,兩向量的數(shù)量積:已知兩個(gè)非零向量a,b,則 叫做向量a,b的數(shù)量積,記作 ,即 .,AOB,0,ab,|a|b|cos,ab,ab=|a|b|cos,(2)兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)和結(jié)論 已知兩個(gè)非零向量a和b. ae=|a|cos(其中e為單位向量). ab .,|ab| |a|b|. (3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 數(shù)乘結(jié)合律:(a)b= . 交換律:ab= . 分配律:a(b+c)= .,ab=0,aa,|a|2,(ab),ba,ab+ac,(5)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么 加、減運(yùn)算:ab= . 數(shù)量積:ab= .,數(shù)乘運(yùn)算:a= (R). 平行的充要條件:ab . 垂直的充要條件:ab .,(x,y,z),(x1x2,y1y2,z1z2),x1x2+y1y2+z1z2,(x1,y1,z1),x1=x2,y1=y2,z1=z2(R),x1x2+y1y2+z1z2=0,夯基自測(cè),解析:中四點(diǎn)恰好圍成一封閉圖形,正確; 中當(dāng)a,b同向時(shí),應(yīng)有|a|+|b|=|a+b|,所以不正確; 中a,b所在直線可能重合,所以不正確; 中需滿足x+y+z=1,才有P,A,B,C四點(diǎn)共面,不正確. 故選C.,C,解析:關(guān)于y軸對(duì)稱,橫、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù),縱坐標(biāo)不變.,A,C,4.已知a=(cos ,1,sin ),b=(sin ,1,cos ),則向量a+b與a-b的夾角是 .,解析:因?yàn)?a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =(cos2+1+sin2)-(sin2+1+cos2)=0, 所以(a+b)(a-b),即向量a+b與a-b的夾角為90.,答案:90,考點(diǎn)專項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí),考點(diǎn)一,空間直角坐標(biāo)系,【例1】 (1)在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(2,1,-3)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M,則M在xOz上的投影M的坐標(biāo)是 ; (2)已知點(diǎn)A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(aR),則|AB|的最小值是 .,解析:(1)M(-2,-1,3), 該點(diǎn)在xOz上的投影M(-2,0,3).,反思?xì)w納 (1)點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于各點(diǎn)、線、面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),(2)兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用 求兩點(diǎn)間的距離或線段的長(zhǎng)度; 已知兩點(diǎn)間的距離,確定坐標(biāo)中參數(shù)的值; 根據(jù)已知條件探求滿足條件的點(diǎn)的存在性.,解析:(1)橫坐標(biāo)不變其余變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù), 故為(-8,-6,-1).,答案: (1)(-8,-6,-1) (2)(3,0,0),考點(diǎn)二,空間向量的線性運(yùn)算,反思?xì)w納,(1)用基向量表示指定向量的方法 用已知基向量表示指定向量時(shí),應(yīng)結(jié)合已知和所求向量觀察圖形,將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中,然后利用三角形法則或平行四邊形法則,把所求向量用已知基向量表示出來(lái). (2)向量加法的多邊形法則 首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,我們把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則.,提醒:空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似于平面向量中的坐標(biāo)運(yùn)算.,空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用,考點(diǎn)三,(2)求證:AC1BD;,(3)求BD1與AC夾角的余弦值.,反思?xì)w納,(1)求空間向量數(shù)量積的方法 定義法.設(shè)向量a,b的夾角為,則ab=|a|b|cos ; 坐標(biāo)法.設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則ab=x1x2+y1y2+z1z2.,求長(zhǎng)度(距離).運(yùn)用公式|a|2=aa,可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題; 解決垂直問(wèn)題.利用abab=0(a0,b0),可將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題.,備選例題,【例1】 已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,則x,y的值分別為 .,答案:1,3,易混易錯(cuò)辨析 用心練就一雙慧眼,空間向量的基本運(yùn)算,(2)在空間向量的基本運(yùn)算中,一定要準(zhǔn)確利用平行四邊形法則和三角形法則,而且一定要準(zhǔn)確利用所給的比例,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.,