第14講,導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用,1了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的 單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三 次),2了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用 導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三 次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一 般不超過三次),1函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù) yf(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則,(1)若 f(x)0，則 f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；,(2)若 f(x)0，則 f(x)在(a，b)內(nèi)_ 2函數(shù)的極值,(1)判斷 f(x0)是極值的方法：,一般地，當(dāng)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0 處連續(xù)時(shí)，,單調(diào)遞減,如果在 x0 附近的左側(cè) f(x)0,右側(cè) f(x)0，那么 f(x0) 是極大值； 如果在 x0 附近的左側(cè)_，右側(cè)_，那,么 f(x0)是極小值,f(x)0,f(x)0,(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟： 求 f(x)； 求方程 f(x)0 的根； 檢查 f(x)在方程 f(x)0 的根的左、右值的符號(hào)如 果左正右負(fù)，那么 f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正， 那么 f(x)在這個(gè)根處取得_；如果左右兩側(cè)符號(hào)一樣，,那么這個(gè)根不是極值點(diǎn),極小值,3函數(shù)的最值,(1)函數(shù) f(x)在a，b上有最值的條件：,如果在區(qū)間a，b上，函數(shù) yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷,的曲線，那么它必有最大值和最小值,(2)若函數(shù) f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則 f(a)為函數(shù)的最小,值，f(b)為函數(shù)的最大值；,若函數(shù) f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則 f(a)為函數(shù)的最大值，,f(b)為函數(shù)的最小值,(3)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步驟： 求函數(shù) yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值； 將函數(shù) yf(x)的各_與端點(diǎn)值比較，其中最大的,一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值,極值,1f(x)x33x22 在區(qū)間1,1上的最大值是(,),C,A2,B0,C2,D4,2(2013 年廣州二模)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù) y,),xex 的單調(diào)遞增區(qū)間是( A1，) C1，),B(，1 D(，1,A,3(2013 年河南鄭州模擬)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)， 導(dǎo)函數(shù) f(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖 2-14-1，則函數(shù) f(x)在(a，b),內(nèi)的極大值點(diǎn)有(,),圖 2-14-1,A1 個(gè),B2 個(gè),C3 個(gè),D4 個(gè),4函數(shù) f(x)x33x21 在 x_處取得極小值,B,2,考點(diǎn) 1,函數(shù)的單調(diào)性與極值,(1)求 a 的值； (2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值,解得 x1(舍)或 x5. 當(dāng) x(0,5)時(shí)，f(x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增 因此，函數(shù) f(x)在 x5 時(shí)取得極小值，且極小值為 f(5)ln5.,【規(guī)律方法】(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值時(shí)要養(yǎng)成 列表的習(xí)慣，可使問題直觀且有條理，減少失分的可能.如果一 個(gè)函數(shù)在給定定義域上的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間一 般不能用并集符號(hào)“”連接，只能用“，”或“和”字隔開.,(2)“f(x)0或 f(x)0”是“函數(shù) f(x)在某區(qū)間上為增函 數(shù)(或減函數(shù))”的充分不必要條件；“f(x0)0”是“函數(shù) f(x) 在 xx0 處取得極值”的必要不充分條件.,【互動(dòng)探究】 1函數(shù) f(x)在 xx0 處的導(dǎo)數(shù)存在，若命題 p：f(x0)0，,命題 q：xx0 是 f(x)的極值點(diǎn)，則 p 是 q 的(,),C,A充分必要條件 C必要不充分條件,B充分不必要條件 D既不充分也不必要條件,解析：若 xx0 是 f(x)的極值點(diǎn)，則f(x0)0；若f(x0) 0，而 xx0 不一定是 f(x)的極值點(diǎn)，如 f(x)x3，當(dāng) x0 時(shí)， f(0)0，但 x0 不是極值點(diǎn)故 p 是 q 的必要不充分條件 故選 C.,考點(diǎn) 2,函數(shù)的最值,(1)若 f(x)在 x2 處的切線與直線 3x2y10 平行，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求 f(x)在區(qū)間1，e上的最小值,令 f(x)0，得 x1. f(x)與 f(x)的情況如下表： 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，),【規(guī)律方法】求函數(shù)的最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn) 就是最值點(diǎn)，要對(duì)函數(shù) yf(x)的各極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較，其 中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.,【互動(dòng)探究】,考點(diǎn) 3,利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中的恒成立問題,(1)若 a3，試確定函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若 f(x)在其圖象上任一點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線斜率都小于 2a2，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍,由 f(x)3.,所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,3)，單調(diào)遞減區(qū)間為,(，1)和(3，),(2)因?yàn)?f(x)x22xa，,由題意，得 f(x)x22xa2a2 對(duì)任意 xR 恒成立， 即x22x2a2a 對(duì)任意 xR 恒成立，,設(shè) g(x)x22x，所以 g(x)x22x(x1)21. 所以當(dāng) x1 時(shí)，g(x)有最大值為 1.,因?yàn)閷?duì)任意 xR，x22x2a2a 恒成立，,【規(guī)律方法】若 f(x)在其圖象上任一點(diǎn)處的切線斜率都小于 2a2，即 f(x)x22xa2a2 對(duì)任意 xR 恒成立，分離變 量得x22x2a2a 對(duì)任意 xR 恒成立，求x22x 的最大 值即可.,【互動(dòng)探究】 3函數(shù) f(x)a2lnxx2ax，a0. (1)求 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若 f(1)e1，求使 f(x)e2 對(duì) x1，e恒成立的實(shí)數(shù) a 的值(注：e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),(2)由 f(1)a1e1，即 ae. 由(1)知，f(x)在1，e內(nèi)單調(diào)遞增， 要使 f(x)e2 對(duì) x1，e恒成立， 只要 f(e)e2，則 a2lnee2aee2， 即 a2ae2e20，(a2e)(ae)0，解得 ae， 所以 ae.,思想與方法,運(yùn)用分類討論思想討論函數(shù)的單調(diào)性,例題：(2013 年廣東東莞一模) 已知函數(shù) f(x) x2 ax ,blnx(x0，實(shí)數(shù) a，b 為常數(shù)),(1)若 a1，b1，求函數(shù) f(x)的極值； (2)若 ab2，討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性,