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2.1.2 演繹推理,第二章 2.1 合情推理與演繹推理,1.了解演繹推理的重要性. 2.掌握演繹推理的基本模式，并能進行一些簡單的推理. 3.了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系.,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 演繹推理及其一般模式——“三段論”,,答案,1.演繹推理,某個特殊情況下,一般到特殊,2.三段論,已知的一般原理,所研究的特殊情況,,答案,思考 (1)演繹推理的結論一定正確嗎？,答案 演繹推理的結論不會超出前提所界定的范圍， 所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結論就一定正確.,(2)如何分清大前提、小前提和結論？,答案 在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情況，結論是根據(jù)一般原理對特殊情況作出的判斷，這與平時我們解答問題中的思考是一樣的， 即先指出一般情況，從中取出一個特例，特例也具有一般意義. 例如，平行四邊形對角線互相平分，這是一般情況；矩形是平行四邊形，這是特例；矩形對角線互相平分，這是特例具有的一般意義.,知識點二 演繹推理與合情推理的區(qū)別與聯(lián)系,,答案,根據(jù)已有的事實和正確的結論(包括定義、公理、定理等)，按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程,三段論,由一般到特殊的推理,,在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確,按照嚴格的邏輯法則推理，利于培養(yǎng)和提高邏輯證明的能力,返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 用三段論的形式表示演繹推理,,解析答案,例1 把下列演繹推理寫成三段論的形式. (1)在一個標準大氣壓下，水的沸點是100 ℃，所以在一個標準大氣壓下把水加熱到100 ℃時，水會沸騰；,解 在一個標準大氣壓下，水的沸點是100 ℃， 大前提 在一個標準大氣壓下把水加熱到100 ℃， 小前提 水會沸騰. 結論,,解析答案,反思與感悟,(2)一切奇數(shù)都不能被2整除，2100＋1是奇數(shù)，所以2100＋1不能被2整除；,解 一切奇數(shù)都不能被2整除， 大前提 2100＋1是奇數(shù)， 小前提 2100＋1不能被2整除. 結論,(3)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，y＝tan α是三角函數(shù)，因此y＝tan α是周期函數(shù).,解 三角函數(shù)都是周期函數(shù)， 大前提 y＝tan α是三角函數(shù)， 小前提 y＝tan α是周期函數(shù). 結論,,反思與感悟,三段論由大前提、小前提和結論組成.大前提提供一般原理，小前提提供特殊情況，兩者結合起來，體現(xiàn)一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，在用三段論寫推理過程時，關鍵是明確命題的大、小前提，而大、小前提在書寫過程中是可以省略的.,跟蹤訓練1 將下列演繹推理寫成三段論的形式. (1)0.332是有理數(shù)；,,解析答案,解 有限小數(shù)是有理數(shù)(大前提)，0.332是有限小數(shù)(小前提)，0.332是有理數(shù)(結論).,(2)y＝cos x(x∈R)是周期函數(shù)；,解 三角函數(shù)是周期函數(shù)(大前提)，函數(shù)y＝cos x(x∈R)是三角函數(shù)(小前提)，函數(shù)y＝cos x(x∈R)是周期函數(shù)(結論).,(3)Rt△ABC的內(nèi)角和為180.,解 三角形內(nèi)角和是180(大前提)，Rt△ABC是三角形(小前提)，Rt△ABC的內(nèi)角和為180(結論).,題型二 演繹推理在證明數(shù)學問題中的應用,,解析答案,例2 在銳角三角形中，求證sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.,反思與感悟,,即sin A＞cos B， ① 同理sin B＞cos C， ② sin C＞cos A. ③ 以上①②③兩端分別相加，有： sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.,反思與感悟,,(1)應用三段論解決問題時，應當首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略. (2)數(shù)學問題的解決與證明都蘊含著演繹推理，即一連串的三段論，關鍵是找到每一步推理的依據(jù)——大前提、小前提，注意前一個推理的結論會作為下一個三段論的前提.,反思與感悟,,解析答案,證明 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，,,解析答案,證明 函數(shù)定義域為R.任取x1，x2∈R且x1＜x2.,∵x1＜x2， ∴f(x1)－f(x2)＜0. ∴f(x1)＜f(x2).故f(x)為R上的增函數(shù).,,,,題型三 合情推理、演繹推理的綜合應用,,解析答案,例3 如圖所示，三棱錐 A-BCD的三條側棱AB，AC， AD兩兩互相垂直，O為點A在底面BCD上的射影. (1)求證：O為△BCD的垂心；,證明 ∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A， ∴AD⊥平面ABC，又BC?平面ABC. ∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC， ∵AD∩AO＝A， ∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可證CD⊥BO， ∴O為△BCD的垂心.,,解析答案,反思與感悟,(2)類比平面幾何的勾股定理，猜想此三棱錐側面與底面間的一個關系，并給出證明.,,反思與感悟,證明如下：連接DO并延長交BC于E，連接AE， 由(1)知AD⊥平面ABC，AE?平面ABC， ∴AD⊥AE，又AO⊥ED， ∴AE2＝EOED，,,合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結論不一定真.但合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法，而演繹推理得到的結論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下).,反思與感悟,,解析答案,證明如下： 設等差數(shù)列{an}的公差為d，,,解析答案,三段論中因忽視大(小)前提致誤,防范措施,返回,,易錯易混,,,解析答案,防范措施,,防范措施,錯因分析 以上過程忽視了小前提“a，b，c不全相等”，因此①②兩式中均為“＞”.,又a，b，c不全相等，故三式相加，得 a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2. ③ 又a2b2＋b2c2≥2ab2c， b2c2＋c2a2≥2abc2，,解析答案,,防范措施,c2a2＋a2b2≥2a2bc， 且a，b，c不全相等，三式相加得 a2b2＋b2c2＋c2a2＞a2bc＋ab2c＋abc2， ④ 由③④得a4＋b4＋c4＞a2bc＋ab2c＋abc2， ∵a，b，c∈R＋，,,防范措施,,利用三段論推理時，正確使用大(小)前提，尤其注意數(shù)學中有關公式、定理、性質(zhì)、法則的使用情形.,返回,,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.下列推理中是演繹推理的是( ) A.全等三角形的對應角相等,如果△ABC≌△A′B′C′,則∠A＝∠A′ B.某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班 的人數(shù)均超過50人 C.由平面內(nèi)三角形的性質(zhì)，推測空間中四面體的性質(zhì),解析 B項是歸納推理，C項是類比推理，D項是歸納推理.故選A.,A,解析答案,1,2,3,4,5,,A.大前提不正確 B.小前提不正確 C.推理形式不正確 D.大、小前提都不正確,A,解析答案,解析 大前提錯誤.因為指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)在a＞1時是增函數(shù)，而在0＜a＜1時為減函數(shù).故選A.,1,2,3,4,5,,3.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f (2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的周期是___.,解析答案,8,解析 f (x＋4)＝f (x＋2＋2)＝f (2－2－x)＝f (－x)＝－f (x)， ∴f (x＋8)＝f [4＋(4＋x)]＝－f (x＋4)＝－[－f (x)]＝f (x). ∴T＝8是它的周期.,1,2,3,4,5,,解析答案,解析 由2an＋1＋Sn＝3得2an＋Sn－1＝3(n≥2)， 兩式相減，得2an＋1－2an＋an＝0，,1,2,3,4,5,答案 7,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,證明 因為a，b，c為正實數(shù)，由基本不等式可得,當且僅當a＝b＝c時取等號.,,課堂小結,,返回,數(shù)學中的演繹推理一般是以三段論的格式進行的，三段論是由三個判斷組成的，其中的兩個為前提，另一個為結論.第一個判斷是提供性質(zhì)的一般判斷，叫做大前提，通常是已知的公理、定理、定義等，第二個判斷是和大前提有聯(lián)系的特殊判斷，叫做小前提，從而產(chǎn)生了第三個判斷——結論.在推理論證的過程中，一個稍復雜一點的證明題經(jīng)常要由幾個三段論才能完成，而大前提通常省略不寫，或者寫在結論后面的括號內(nèi)，小前提有時也可以省去，而采取某種簡明的推理格式.,