第2節(jié) 圓與方程,知識鏈條完善,考點(diǎn)專項(xiàng)突破,經(jīng)典考題研析,知識鏈條完善 把散落的知識連起來,【教材導(dǎo)讀】 1.在平面直角坐標(biāo)系中,如何確定一個(gè)圓呢? 提示:當(dāng)圓心位置與半徑大小確定后,圓就唯一確定了,因此,確定一個(gè)圓的最基本要素是圓心和半徑. 2.圓的一般方程中為何限制D2+E2-4F0?,3.直線與圓的位置關(guān)系有哪些? 提示:相離、相切、相交. 4.兩圓相交時(shí),公共弦所在直線方程與兩圓的方程有何關(guān)系? 提示:兩圓的方程作差消去二次項(xiàng)得到的關(guān)于x,y的二元一次方程,就是公共弦所在直線的方程.,知識梳理,(1)圓的定義 在平面內(nèi),到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓. (2)圓的方程,(x-a)2+(y-b)2=r2,1.圓的定義與方程,2.點(diǎn)A(x0,y0)與C的位置關(guān)系 (1)|AC|r點(diǎn)A在圓外(x0-a)2+(y0-b)2r2. 3.直線與圓的位置關(guān)系 把直線的方程與圓的方程組成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程,其判別式為,設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r.位置關(guān)系列表如下:,5.圓與圓的位置關(guān)系 O1、O2半徑分別為r1,r2,d=|O1O2|.,【重要結(jié)論】 1.兩圓相交時(shí),公共弦所在直線的方程 設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0, 圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 若兩圓相交,則有一條公共弦,由-, 得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 方程表示圓C1與C2的公共弦所在直線的方程. 2.若點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2=r2上,則過M點(diǎn)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.,夯基自測,B,解析:設(shè)圓心為(0,m), 由已知得圓的方程為x2+(y-m)2=m2, 又因?yàn)閳A過點(diǎn)(3,1),則9+(1-m)2=m2,解得m=5. 故圓的方程為x2+(y-5)2=52,即x2+y2-10y=0.,C,3.(2015溫州十校聯(lián)考)對任意的實(shí)數(shù)k,直線y=kx-1與圓C:x2+y2-2x-2=0的位置關(guān)系是( ) (A)相離 (B)相切 (C)相交 (D)以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能,C,5.圓x2+y2+x-2y-20=0與圓x2+y2=25相交所得的公共弦長為 .,考點(diǎn)專項(xiàng)突破 在講練中理解知識,考點(diǎn)一,圓的方程,答案: (1)D,答案: (2)B,(3)圓C通過不同的三點(diǎn)P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為1,則圓C的方程為 .,答案:(3)x2+y2+x+5y-6=0,反思?xì)w納 (1)求圓的方程,一般采用待定系數(shù)法. 若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān),可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 若已知條件沒有明確給出圓的圓心和半徑,可選擇圓的一般方程. (2)在求圓的方程時(shí),常用到圓的以下幾個(gè)性質(zhì): 圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上; 圓心在任一弦的垂直平分線上.,考點(diǎn)二,直線與圓的位置關(guān)系,反思?xì)w納,(1)圓的切線方程的求法 代數(shù)法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),與圓的方程組成方程組,消元后得到一個(gè)一元二次方程,然后令判別式=0進(jìn)而求得k. 幾何法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,然后令d=r,進(jìn)而求出k. (2)弦長的求法 代數(shù)方法:將直線和圓的方程聯(lián)立方程組,消元后得到一個(gè)一元二次方程,在判別式0的前提下,利用根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)弦長公式求弦長.,圓與圓的位置關(guān)系,考點(diǎn)三,答案: (1)B (2)1,反思?xì)w納,判斷圓與圓的位置關(guān)系時(shí),一般不用代數(shù)法:利用幾何法的關(guān)鍵是判斷圓心距|O1O2|與半徑的關(guān)系.,【即時(shí)訓(xùn)練】 (1)已知圓C1:x2+y2-2mx+m2=4,圓C2:x2+y2+2x-2my=8-m2 (m3),則兩圓的位置關(guān)系是( ) (A)相交 (B)內(nèi)切 (C)外切 (D)相離 (2)若O:x2+y2=5與O1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A,B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是 .,答案: (1)D (2)4,與圓有關(guān)的軌跡問題,考點(diǎn)四,解:(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知,P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x-2,2y). 因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4. 故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)2+y2=1. (2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x,y). 在RtPBQ中,|PN|=|BN|. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接ON,則ONPQ, 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.,反思?xì)w納,求與圓有關(guān)的軌跡方程時(shí),常用以下方法 (1)直接法:根據(jù)題設(shè)條件直接列出方程; (2)定義法:根據(jù)圓的定義寫出方程; (3)幾何法:利用圓的性質(zhì)列方程; (4)代入法:找出要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.,備選例題,【例3】 (1)若圓(x+1)2+(y-3)2=9上的相異兩點(diǎn)P,Q關(guān)于直線kx+2y-4=0對稱,則k的值為 . (2)圓(x+2)2+y2=5關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對稱的圓的方程為 .,解析:(1)圓是軸對稱圖形,過圓心的直線都是它的對稱軸.已知圓的圓心為(-1,3),由題設(shè)知,直線kx+2y-4=0過圓心,則k(-1)+23-4=0,解得k=2. (2)因?yàn)樗髨A的圓心與圓(x+2)2+y2=5的圓心(-2,0)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對稱,所以所求圓的圓心為(2,0),半徑為,故所求圓的方程為(x-2)2+y2=5.,答案:(1)2 (2)(x-2)2+y2=5,(2)求y-x的最大值和最小值; (3)求x2+y2的最大值和最小值.,經(jīng)典考題研析 在經(jīng)典中學(xué)習(xí)方法,利用對稱性求范圍,審題指導(dǎo),答案: -1,1,命題意圖:本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,由已知角條件確定動點(diǎn)位置,意在考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力,數(shù)形結(jié)合能力,綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力.,