第十五篇 幾何證明選講(選修41) 第1節(jié) 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì),選考部分,知識鏈條完善,考點專項突破,經(jīng)典考題研析,知識鏈條完善 把散落的知識連起來,知識梳理,1.平行線截割定理及應(yīng)用 (1)平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段 ,那么在其他直線上截得的線段 . (2)平行線等分線段定理的推論 經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必 . 經(jīng)過梯形一腰的中點,且與底邊平行的直線 . (3)平行線分線段成比例定理及其推論 三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段 . 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段 .,相等,也相等,平分第三邊,平分另一腰,成比例,成比例,2.相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理 (1)相似三角形的判定定理,兩角,兩邊,夾角,三邊,(2)相似三角形的性質(zhì)定理,相似比,相似比,平方,平方,3.直角三角形相似的判定定理與射影定理 (1)直角三角形相似的判定定理,有一個銳角,兩條直角邊,斜邊,斜邊,成比例,(2)直角三角形的射影定理 直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的 ;兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的 .,比例中項,比例中項,夯基自測,1.給出下列命題: 三角形相似不具有傳遞性; 兩組對應(yīng)邊成比例,一組對應(yīng)邊所對的角相等的兩三角形相似; 兩個三角形相似,則對應(yīng)線段都成比例; 相似三角形的內(nèi)切圓的半徑之比等于相似比. 其中正確的是( ) (A) (B) (C) (D),C,C,D,4.在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,若BDAD=13,則BCD= .,5.已知梯形ABCD的上底AD=8 cm,下底BC=15 cm,在邊AB,CD上分別取E,F,使AEEB=DFFC=32,則EF= .,答案:12.2 cm,考點專項突破 在講練中理解知識,考點一,平行線截割定理及應(yīng)用,反思?xì)w納 (1)利用平行線分線段成比例定理來計算或證明,首先要觀察平行線組,再確定所截直線,進(jìn)而確定比例線段及比例式,同時注意合比性質(zhì)、等比性質(zhì)的運(yùn)用. (2)平行線分線段成比例定理及推論是證明兩條線段相等的重要依據(jù),特別是在應(yīng)用推論時,一定要明確哪一條線段平行于三角形的一邊,是否過一邊的中點.,考點二,相似三角形的判定與性質(zhì),【例2】 如圖,已知ABC中,AD,BE,CF分別是BC,AC,AB邊上的高. 求證:AFEDFBDCE.,反思?xì)w納,證明相似三角形的一般思路 (1)先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等; (2)若只有一個角對應(yīng)相等,再判定這個角的兩鄰邊是否對應(yīng)成比例; (3)若無角對應(yīng)相等,就要證明三邊對應(yīng)成比例.,【即時訓(xùn)練】 (1)如圖所示,D為ABC中BC邊上一點,CAD=B,若AD=5,AB=9,BD=6,則DC的長為 .,答案:(2)9,直角三角形中的射影定理,考點三,【例3】如圖,在ABC中,ACB=90,CDAB于D,DEAC于E,EFAB于F. 求證:CE2=BDDF.,反思?xì)w納,(1)運(yùn)用直角三角形中的射影定理時要注意大前提是在直角三角形中,要確定好直角邊及其射影. (2)在證明問題中要注意等積式與比例式的相互轉(zhuǎn)化,同時注意射影定理的其他變式.,【即時訓(xùn)練】 如圖,在ABC中,ADBC于D,DEAB于E,DFAC于F. 求證:AEAB=AFAC.,證明:因為ADBC,所以ADB為直角三角形. 又因為DEAB,由射影定理知,AD2=AEAB. 同理可得AD2=AFAC,所以AEAB=AFAC.,備選例題,【例1】 如圖,在ABCD中,E是AB延長線上一點,DE交AC于G,交BC于F. 求證:(1)DG2=GEGF;,【例2】 如圖所示,在梯形ABCD中,ADBC,AB=CD,DECA,且交BA的延長線于E, 求證:EDCD=EABD.,經(jīng)典考題研析 在經(jīng)典中學(xué)習(xí)方法,【教師備用】,三角形相似的判定,【典例】(2012高考新課標(biāo)全國卷)如圖,D,E分別為ABC邊AB,AC的中點,直線DE交ABC的外接圓于F,G兩點.若CFAB,證明: (1)CD=BC; (2)BCDGBD.,(2)因為FGBC,故GB=CF. 由(1)可知BD=CF,所以GB=BD, 所以BGD=BDG. 由BC=CD知CBD=CDB, 又因為DGB=EFC=DBC, 所以BCDGBD. 命題意圖:本題主要考查了三角形中位線定理,平行四邊形的判定與性質(zhì),等弧所對的弦以及三角形相似的判定等基礎(chǔ)知識,考查了邏輯推理能力,試題難度中等.,