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1、 用 正 弦 定 理 解 三 角 形 需 要 已 知 哪 些 條 件 ？ 兩 角 和 一 邊 ， 兩 邊 和 其 中 一 邊 的 對 角 。正 弦 定 理 ： 在 一 個 三 角 形 中 ， 各 邊 和 它 所 對角 的 正 弦 的 比 相 等 。 sin sin sina b cA B C 復 習 回 顧 思 考 ： 如 果 在 一 個 斜 三 角 形 中 ， 已 知 兩 邊 及這 兩 邊 的 夾 角 ， 能 否 用 正 弦 定 理 解 這 個 三 角 形 ，為 什 么 ？ 不 能 ， 在 正 弦 定 理 中 ， 已知 兩 邊 及 這 兩 邊 的 夾 角 ， 正 弦 定 理 的 任 一 等

2、號 兩 邊都 有 兩 個 未 知 量 。 sin sin sina b cA B C 那 么 ， 怎 么 解 這 個 三 角 形 呢 ？ 22 AB ACCB 22 2AB ACACAB 22 2 COSAB AC AACAB AC BC BA AB CB CA 同 理 ， 從 出 發(fā) ， 證 得 從 出 發(fā) ， 證 得 2 22 2 cosac Bcb a 22 2 2 cosab Cbc a 證 明 ： CB AB AC 學 過 向 量 之 后 ， 我 們 能 用 向 量 的 方 法給 予 證 明 余 弦 定 理 。已 知 AB,AC和 它 們 的 夾 角 A， 求 CB2 22 2 co

3、sbc Aa cb 即 C BA向 量 法 解 析 法 C BA caby x(bcosC,bsinC)(a,0)(0， 0)證 明 ： 以 CB所 在 的 直線 為 x軸 ， 過 C點 垂 直于 CB的 直 線 為 y軸 ，建 立 如 圖 所 示 的 坐 標系 ， 則 A、 B、 C三 點的 坐 標 分 別 為 ： (0,0)C ( ,0)B a ( cos , sin )A b C b C 222 )0sin()cos( CbaCbAB CbaCabCb 22222 sincos2cos Cabba cos222 2 2 2 c = a +b -2abcosC同 理 ： 2 2 2b =

4、a + c -2accosB2 2 2a = b + c -2bccosA C BA caby x(bcosC,bsinC)(a,0)(0， 0) 解 析 法 A BC ab cD當 角 C為 銳 角 時幾 何 法 bA acC BD當 角 C為 鈍 角 時 C BA ab c 余 弦 定 理 作 為 勾 股 定 理 的推 廣 ， 考 慮 借 助 勾 股 定 理 來證 明 余 弦 定 理 。 在 銳 角 三 角 形 ABC中 ， 已 知 AB=c,AC=b和 A,求 a2 22 CD BDa 2 2( sin ) ( cos )b A c b A 22 2 2 2 2 coscossin A

5、A bc Acb b 2 2 2 cosbc Acb 同 理 有 ： 2 2 2 2 cosac Ba cb 222 2 cosab Cc a b 同 樣 ， 對 于 鈍 角 三 角 形 及 直 角 三 角 形 ， 上 面 三 個等 式 成 立 的 ， 課 后 請 同 學 們 自 己 證 明 。D幾 何 法 A BCcb a 2 22 2 cosbc Aa cb 2 22 2 cosac Bcb a 22 2 2 cosab Cbc a 用 語 言 描 述 ： 三 角 形 任 何 一 邊 的 平 方 等 于其 它 兩 邊 的 平 方 和 , 再 減 去 這 兩 邊 與 它 們 夾角 的 余 弦

6、 的 積 的 兩 倍 。余 弦 定 理 例 1： 若 已 知 b=8,c=3,A= ,能 求 a嗎 ？6022 602 8 3 cos 49378a 思 考 ： 余 弦 定 理 還 有 別 的 用 途 嗎 ？若 已 知 a,b,c,可 以 求 什 么 ？2 22 2 cosbc Aa cb 解 ： 2 2 22cos c ab bcA 22 22cos a c bacB 22 22cos a cbabC 余 弦 定 理 的 變 形 ： 例 2、 在 三 角 形 ABC中 ， 已 知 a=7,b=10,c=6,求 A， B， C（ 精 確 到 ）1分 析 ： 已 知 三 邊 ， 求 三 個 角

7、， 可 用 余 弦 定 理 的 變 形 來解 決 問 題解 ： 2 2 2 22 2 710 62 10 62cos 0.725c ab bcA 44A 2 2 222 2 7 6 102 2 7 6cos 0.178a c bacB 100B 180 36C A B 1、已知ABC的三邊為 、2、1，求它的最大內角。解 ： 不 妨 設 三 角 形 的 三 邊 分 別 為 a= ,b=2,c=1 則 最 大 內 角 為 A由 余 弦 定 理 cosA= 12+22- ( ) 22 2 1 = - 12 A=120若已知三邊的比是 :2:1,又怎么求？ 歸 納 ：利 用 余 弦 定 理 可 以

8、解 決 以 下 兩 類 有 關 三 角 形 的 問 題 ： （ 1） 已 知 三 邊 ， 求 三 個 角 （ 2） 已 知 兩 邊 和 它 們 的 夾 角 ， 求 第 三 邊 ，進 而 還 可 求 其 它 兩 個 角 。 解 ： 由 余 弦 定 理 得 ：是 銳 角C 是 銳 角 三 角 形 中 的 最 大 角是根 據 大 邊 對 大 角 ， 是 銳 角 ，） 知 ：） 由 （ ABC ABCCC 12例 3、 在 ABC中 ,若 a=4、 b=5、 c=6（ 1)試 判 斷 角 C是 什 么 角 ？（ 2） 判 斷 ABC的 形 狀2 2 2 2 2 24 5 6 1(1)cos 02 2

9、4 5 8a b cC ab 變 式 訓 練 ：在ABC中，若，則 ABC的形狀 為（）222 cba 、鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形、不能確定A C BAb ac提煉：設a是最長的邊，則ABC是鈍角三角形0222 acbABC是銳角三角形0 222 acbABC是直角三角形0222 acb推 論 ： 2 2 22cos c ab bcA 判 斷 三 角 形 的 形 狀 練 習 ： 一 鈍 角 三 角 形 的 邊 長 為 連 續(xù) 自 然 數 ，則 這 三 邊 長 為 （ ）A、 1， 2， 3 B、 2， 3， 4 C、 3， 4， 5 D、 4， 5， 6分 析 ： 要 看 哪 一 組

10、 符 合 要 求 ， 只 需 檢 驗 哪 一 個 選 項 中 的 最 大 角 是 鈍 角 ， 即 該 角 的 余 弦 值 小 于 0。B中 ： ， 所 以 C是 鈍 角22 2 132 4 42 2 3cosC D中 ： ， 所 以 C是 銳 角 ， 因 此 以 4， 5， 6為 三 邊 長 的 三 角 形 是 銳 角 三 角 形22 2 15 64 82 4 5cosC A、 C顯 然 不 滿 足 B 練 習 ： 在 三 角 形 ABC中 ， 已 知 a=7,b=8,cosC= ,求 最 大 角 的 余 弦 值 1314分 析 ： 求 最 大 角 的 余 弦 值 ， 最 主 要 的 是 判

11、斷 哪 個 角是 最 大 角 。 由 大 邊 對 大 角 ， 已 知 兩 邊 可 求 出 第 三 邊 ,找 到 最 大 角 。 22 2 2 cosab Cbc a 22 13142 7 8 987 解 ： 3c 則 有 ： b是 最 大 邊 ， 那 么 B 是 最 大 角2 2 222 2 73 82 2 3 7 1cos 7a c bacB （ 1） 余 弦 定 理 適 用 于 任 何 三 角 形（ 3） 由 余 弦 定 理 可 知 ：（ 2） 余 弦 定 理 的 作 用 ： a、 已 知 三 邊 ， 求 三 個 角 b、 已 知 兩 邊 及 這 兩 邊 的 夾 角 ， 求 第 三 邊 ，

12、進 而 可 求 出 其 它 兩 個 角c、 判 斷 三 角 形 的 形 狀小 結 90A 90A 90A 0 222 acb 0222 acb 0222 acb 正 余 弦 定 理 在 解 三 角 形 中 能解 決 哪 些 問 題 ？角 邊 角角 角 邊邊 邊 角邊 角 邊邊 邊 邊正弦定理余弦定理 例 2、 在 三 角 形 ABC中 ， 已 知 a=2.730,b=3.696,C= , 解 這 個 三 角 形 （ 邊 長 保 留 四 個 有 效 數 字 ， 角 度 精 確 到 ）2882 1分 析 ： 已 知 兩 邊 和 兩 邊 的 夾 角解 ： 22 2 2 cosab Cbc a 22 2 2.730 3.696cos 283.696 822.730 4.297c 2 2 2 22 2 3.696 4.297 2.7302 3.696 4.2972cos 0.7767c ab bcA 232A 30180 58B A B 數 學 運 用 思 考 : (1)還 可 怎 樣 求 角 A？ (2)角 A會 有 兩 解 嗎 ？