數(shù) 字 電 路 與 EDA技 術(shù) 使 用 教 材 ： 潘 松 黃 繼 業(yè) EDA技 術(shù) 實(shí) 用 教程 （ 第 三 版 ） 北 京 科 學(xué) 出 版 社 2007 參 考 書 目 ： 劉 昌 華 數(shù) 字 邏 輯 EDA設(shè) 計(jì) 與 實(shí)踐 國 防 工 業(yè) 出 版 社 閻 石 . 數(shù) 字 電 子 技 術(shù) 基 礎(chǔ) （ 第 五 版 ） . 高 等教 育 出 版 社 2006.5 王 毓 銀 主 編 ， 數(shù) 字 電 路 邏 輯 設(shè) 計(jì) ， 高 等 教育 出 版 社 ， 1999； 考 核 方 式 ： 期 末 考 試 時(shí) 間 為 120分 鐘 ， 閉 卷 ，具 體 考 試 時(shí) 間 至 少 提 前 1周 通 知 學(xué) 生 。成 績 評(píng) 定 ： 平 時(shí) 10 ， 實(shí) 驗(yàn) 30 ， 期 末 考試 60 邏 輯 代 數(shù) 基 礎(chǔ) 2.1 數(shù) 字 電 路 的 基 礎(chǔ) 知 識(shí) 2.2 邏 輯 代 數(shù) 及 其 運(yùn) 算 規(guī) 則 2.3 邏 輯 函 數(shù) 表 示 方 法 2.4 邏 輯 函 數(shù) 的 化 簡 在 數(shù) 字 電 路 中 ， 主 要 研 究 的 是 電 路 的 輸 入 輸 出 之間 的 邏 輯 關(guān) 系 ， 因 此 數(shù) 字 電 路 又 稱 邏 輯 電 路 ， 其 研 究工 具 是 邏 輯 代 數(shù) （ 布 爾 代 數(shù) 或 開 關(guān) 代 數(shù) ） 。邏 輯 變 量 ： 用 字 母 表 示 ， 取 值 只 有 0和 1。 此 時(shí) ， 0和 1不 再 表 示 數(shù) 量 的 大 小 ， 只 代 表 兩 種 不 同 的 狀 態(tài) 。 2.1 概 述 一 、 與 邏 輯 （ 與 運(yùn) 算 ）與 邏 輯 ： 僅 當(dāng) 決 定 事 件 （ Y） 發(fā) 生 的 所 有 條 件 （ A，B， C， ） 均 滿 足 時(shí) ， 事 件 （ Y） 才 能 發(fā) 生 。 表 達(dá)式 為 ：例 ： 開 關(guān) A， B串 聯(lián) 控 制 燈 泡Y 電 路 圖 L=AB E A B Y A、 B都 斷 開 ， 燈 不 亮 。 E A B Y A斷 開 、 B接 通 ， 燈 不 亮 。 B A接 通 、 B斷 開 ， 燈 不 亮 。 2.2 邏 輯 代 數(shù) 中 的 三 種 基 本 運(yùn) 算 E Y A、 B都 接 通 ， 燈 亮 。 開 關(guān) A 開 關(guān) B 燈 Y 斷 開 斷 開 斷 開 閉 合 閉 合 斷 開 閉 合 閉 合 滅 滅 滅 亮 功 能 表 將 開 關(guān) 接 通 記 作 1， 斷 開 記 作 0； 燈 亮 記 作 1， 燈滅 記 作 0。 可 以 作 出 如 下 表 格 來 描 述 與 邏 輯 關(guān) 系 ： A B Y 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 真值表兩 個(gè) 開 關(guān) 均 接 通 時(shí) ， 燈 才 會(huì)亮 。 邏 輯 表 達(dá) 式 為 ： 實(shí) 現(xiàn) 與 邏 輯 的 電 路 稱 為 與 門 。 與 門 的 邏 輯 符 號(hào) ： Y A B 分 配 律 =1(A+B) =A+B A+BC=(A+B)(A+C) 3. AB+AB =4. A(A+B )=證 明 : A(A+B )=AA+AB =A+AB =A(1+B) =A (A+B ) (A+B )=注 : 紅 色 變 量 被 吸 收掉 ！ 也 稱 吸 收 律AA A 5. AB+AC+BC =證 明 : AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C) +AC(1+B) =AB +ACAB+AC+BCD = AB+ACAB+AC 冗 余 定 律 或多 余 項(xiàng) 定 理或 包 含 律 (A+B)(A+C)(B+C) = (A+B)(A+C)(A+B)(A+C)(B+C+D) = (A+B)(A+C)冗 余 定 律 或 多 余 項(xiàng) 定 理 的 其 他 形 式同 理 ： 此 多 余 項(xiàng) 可 以擴(kuò) 展 成 其 他 形 式 6. A(AB) = A(AB) =證 明 : A(AB) =A(A+B) =AA+AB = ABA(AB) =A(A+B) =AA+AB = A(1+B) =AABA 一 、 代 入 定 理 任 何 一 個(gè) 含 有 變 量 A的 等 式 ， 如 果 將 所 有 出現(xiàn) A的 位 置 都 用 同 一 個(gè) 邏 輯 函 數(shù) 代 替 ， 則 等 式 仍然 成 立 。 這 個(gè) 規(guī) 則 稱 為 代 入 定 理 。 例 如 ， 已 知 等 式 ， 用 函 數(shù) Y=BC代替 等 式 中 的 B， 根 據(jù) 代 入 定 理 ， 等 式 仍 然 成 立 ， 即 有 ：BABA )( CBACBACBA )()( 2.4 邏 輯 代 數(shù) 的 基 本 定 理 二 、 反 演 定 理 對(duì) 于 任 何 一 個(gè) 邏 輯 表 達(dá) 式 Y， 如 果 將 表 達(dá) 式 中的 所 有 “ ”換 成 “ ” ， “ ” 換 成 “ ”， “ 0”換 成 “ 1”， “ 1”換 成 “ 0”， 原 變 量 換 成 反 變 量 ，反 變 量 換 成 原 變 量 ， 那 么 所 得 到 的 表 達(dá) 式 就 是 函數(shù) Y的 反 函 數(shù) Y（ 或 稱 補(bǔ) 函 數(shù) ） 。 這 個(gè) 規(guī) 則 稱 為 反演 定 理 。 CDCBAY )( )( DCCBAY CDCBAY )( CDCBAY )( 應(yīng) 用 反 演 定 理 應(yīng) 注 意 兩 點(diǎn) ：1、 保 持 原 來 的 運(yùn) 算 優(yōu) 先 順 序 ， 即 如 果 在 原 函 數(shù) 表 達(dá) 式 中 ， AB之 間 先 運(yùn) 算 ， 再 和 其 它 變 量 進(jìn) 行 運(yùn) 算 ， 那 么 非 函 數(shù) 的 表 達(dá) 式 中 ， 仍 然 是 AB之 間 先 運(yùn) 算 。2、 不 屬 于 單 個(gè) 變 量 上 的 反 號(hào) 應(yīng) 保 留 不 變 。 三 、 對(duì) 偶 定 理 對(duì) 于 任 何 一 個(gè) 邏 輯 表 達(dá) 式 Y， 如 果 將 表 達(dá) 式中 的 所 有 “ ”換 成 “ ” ， “ ” 換 成 “ ”， “ 0”換 成 “ 1”， “ 1”換 成 “ 0”， 而 變 量 保 持 不 變 ， 則可 得 到 的 一 個(gè) 新 的 函 數(shù) 表 達(dá) 式 YD, YD稱 為 Y的 對(duì) 偶式 。對(duì) 偶 定 理 ： 如 果 兩 個(gè) 邏 輯 式 相 等 ， 則 它 們 的 對(duì) 偶式 也 相 等 。 利 用 對(duì) 偶 規(guī) 則 ,可 以 使 要 證 明 及 要 記 憶 的 公式 數(shù) 目 減 少 一 半 。 )( CBAY CBAYD )( CDABY )()( DCBAY D ACABCBA )( )( CABABCA AA1（ 2） 式 AA0（ 12） 式 2.5 邏 輯 函 數(shù) 及 其 表 示 方 法一 、 邏 輯 函 數(shù) 如 果 以 邏 輯 變 量 作 為 輸 入 ， 以 運(yùn) 算 結(jié) 果 作 為輸 出 ， 當(dāng) 輸 入 變 量 的 取 值 確 定 之 后 ， 輸 出 的 取 值便 隨 之 而 定 。 輸 出 與 輸 入 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 稱 為 邏輯 函 數(shù) 。 Y=F(A,B,C,) 二 、 邏 輯 函 數(shù) 表 示 方 法 常 用 邏 輯 函 數(shù) 的 表 示 方 法 有 ： 邏 輯 真 值 表 （ 真值 表 ） 、 邏 輯 函 數(shù) 式 （ 邏 輯 式 或 函 數(shù) 式 ） 、 邏 輯圖 、 波 形 圖 、 卡 諾 圖 及 硬 件 描 述 語 言 。 它 們 之 間可 以 相 互 轉(zhuǎn) 換 。例 ： 一 舉 重 裁 判 電 路 設(shè) A、 B、 C為 1表 示 開 關(guān) 閉 合 ， 0表 示 開 關(guān) 斷 開 ；Y為 1表 示 燈 亮 ， 為 0表 示 燈 暗 。 得 到 函 數(shù) 表 示 形 式 ：真 值 表 函 數(shù) 式 )( CBA ABCCABCBAY 邏 輯 圖 波 形 圖ABCY tttt)( CBAY 真 值 表 ： 將 輸 入 、 輸 出 的 所 有 可 能 狀 態(tài) 一一 對(duì) 應(yīng) 地 列 出 。0 11 0A Y 一 輸 入 變量 ， 二 種組 合 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 二 輸 入 變量 ， 四 種組 合 A B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1 三 輸 入 變量 ， 八 種組 合 A B C D Y0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 1 A B C D Y1 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 1 四 輸 入 變量 ， 16種組 合 n個(gè) 變 量 可 以 有 2n個(gè) 組 合 ，一 般 按 二 進(jìn) 制 的 順 序 ， 輸 出 與輸 入 狀 態(tài) 一 一 對(duì) 應(yīng) ， 列 出 所 有可 能 的 狀 態(tài) 。 邏 輯 函 數(shù) 式 把 邏 輯 函 數(shù) 的 輸 入 、 輸 出 關(guān) 系 寫 成 與 、 或 、非 等 邏 輯 運(yùn) 算 的 組 合 式 ， 即 邏 輯 代 數(shù) 式 ， 又稱 為 邏 輯 函 數(shù) 式 ， 通 常 采 用 “ 與 或 ” 的 形 式 。比 如 ： ABCCBACBACBACBAF 邏 輯 圖 ： 把 相 應(yīng) 的 邏 輯 關(guān) 系 用 邏 輯 符 號(hào) 和 連 線表 示 出 來 。 )( CBAY 各 種 表 示 方 法 之 間 的 相 互 轉(zhuǎn) 換1、 真 值 表 邏 輯 函 數(shù) 式方 法 :將 真 值 表 中 為 1的 項(xiàng) 相 加 ,寫 成 “ 與 或 式 ” 。 CABCBABCAY A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 例 2.5.1 2、 邏 輯 式 真 值 表方 法 :將 輸 入 變 量 取 值 的 所 有組 合 狀 態(tài) 逐 一 帶 入 邏 輯 式 求 函數(shù) 值 ,列 成 表 即 得 真 值 表 。例 2.5.2 CBACBAY A B C Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 01111110 3、 邏 輯 式 邏 輯 圖方 法 :用 圖 形 符 號(hào) 代 替 邏 輯 式 中 的 運(yùn) 算 符 號(hào) ,就 可 以 畫 出 邏 輯 圖 .例 2.5.3 CCBACBAY )( 4、 邏 輯 圖 邏 輯 式方 法 :從 輸 入 端 到 輸 出 端 逐 級(jí) 寫 出 每 個(gè) 圖 形 符號(hào) 對(duì) 應(yīng) 的 邏 輯 式 ， 即 得 到 對(duì) 應(yīng) 的 邏 輯 函 數(shù) 式 .A B )( BA )( BA BABABABABABAY )()()( 5、 波 形 圖 真 值 表ABCY tttt0000 0011 0101 0110 1000 1011 1100 1111 A B C Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 01100101 最 小 項(xiàng) : 在 n變 量 邏 輯 函 數(shù) 中 ， 若 m為 包 含 n個(gè) 因 子 的 乘積 項(xiàng) ， 而 且 這 n個(gè) 變 量 都 以 原 變 量 或 反 變 量 的 形 式 在m 中 出 現(xiàn) ， 且 僅 出 現(xiàn) 一 次 ， 則 這 個(gè) 乘 積 項(xiàng) m稱 為 該函 數(shù) 的 一 個(gè) 標(biāo) 準(zhǔn) 積 項(xiàng) ， 通 常 稱 為 最 小 項(xiàng) 。3個(gè) 變 量 A、 B、 C可 組 成 8(23)個(gè) 最 小 項(xiàng) ：ABCCABCBACBA BCACBACBACBA 、 、 ABCmCABmCBAmCBAm BCAmCBAmCBAmCBAm 7654 3210 、 、4個(gè) 變 量 可 組 成 16(24)個(gè) 最 小 項(xiàng) ,記 作 m 0 m 15。 三 、 邏 輯 函 數(shù) 的 兩 種 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 若 兩 個(gè) 最 小 項(xiàng) 僅 有 一 個(gè) 因 子 不 同 ， 則 稱 這 兩 個(gè) 最 小 項(xiàng) 具 有相 鄰 性 。 例 ： 和 ， 這 兩 個(gè) 最 小 項(xiàng) 相 加 時(shí) 能 合 并 ， 并 可消 去 1個(gè) 因 子 。 A B C0 0 0 0 m 00 0 1 1 m 10 1 0 2 m 20 1 1 3 m 31 0 0 4 m 41 0 1 5 m 51 1 0 6 m 61 1 1 7 m 7編 號(hào)對(duì) 應(yīng) 十 進(jìn) 制 數(shù) 最 小 項(xiàng) 使最 小項(xiàng) 為1 的變 量取 值CBA CBA CBABCA CBA CBA CABABC CBA CAB CBAACBCABCBA )( 最 小 項(xiàng) 的 性 質(zhì) : 任 意 一 個(gè) 最 小 項(xiàng) ， 只 有 一 組 變 量 取 值 使 其 值 為 1。 任 意 兩 個(gè) 不 同 的 最 小 項(xiàng) 的 乘 積 必 為 0。 全 部 最 小 項(xiàng) 的 和 必 為 1。CBA CBA 具 有 相 鄰 性 的 兩 個(gè) 最 小 項(xiàng) 可 以 合 并 ， 并 消 去 一 對(duì) 因 子 。只 有 一 個(gè) 因 子 不 同 的 兩 個(gè) 最 小 項(xiàng) 是 具 有 相 鄰 性 的 最 小 項(xiàng) 。例 如 :將 它 們 合 并 ， 可 消 去 因 子 : = BCABC 和 ABC 具 有 邏 輯 相 鄰 性 。ABC+ABC =(A+A) BC 任 何 一 個(gè) 邏 輯 函 數(shù) 都 可 以 表 示 成 唯 一 的 一組 最 小 項(xiàng) 之 和 ， 稱 為 標(biāo) 準(zhǔn) 與 或 表 達(dá) 式 ， 也 稱 為最 小 項(xiàng) 表 達(dá) 式 。邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式 對(duì) 于 不 是 最 小 項(xiàng) 表 達(dá) 式 的 與 或 表 達(dá) 式 ，可 利 用 公 式 A A 1 和 A(B+C) AB AC來 配 項(xiàng) 展 開 成 最 小 項(xiàng) 表 達(dá) 式 。 )15,14,11,10,9,7,3( )()()()( 15141110973m mmmmmmm ABCDDABCCDBADCBABCDACDBADCBA DDABCDDCBABCDACDBADCBA CBBACDBBADCBA ACCDADCBAY例 2.5.6 CBAm 2 CBAm 1 如 果 列 出 了 函 數(shù) 的 真 值 表 ， 則 只 要 將 函 數(shù) 值 為 1的 那 些 最 小 項(xiàng) 相 加 ， 便 是 函 數(shù) 的 最 小 項(xiàng) 表 達(dá) 式 。A B C Y 最 小 項(xiàng)0 0 00 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 CBABCACBACBA mmmmmY )5,3,2,1(5321 BCAm 3 CBAm 5 在 n變 量 邏 輯 函 數(shù) 中 ， 若 M為 包 含 n個(gè) 因 子的 和 項(xiàng) ， 而 且 這 n個(gè) 變 量 都 以 原 變 量 或 反 變 量 的形 式 在 M 中 出 現(xiàn) ， 且 僅 出 現(xiàn) 一 次 ， 則 這 個(gè) 和 項(xiàng)M稱 為 該 函 數(shù) 的 一 個(gè) 標(biāo) 準(zhǔn) 和 項(xiàng) ， 通 常 稱 為 最 大項(xiàng) 。 n個(gè) 變 量 有 2n個(gè) 最 大 項(xiàng) ， 記 作 i最 大 項(xiàng) 的 性 質(zhì) ： 在 輸 入 變 量 的 任 何 取 值 下 必 有 一 個(gè) 最 大 項(xiàng) 且 僅有 一 個(gè) 最 大 項(xiàng) 的 值 為 0； 全 體 最 大 項(xiàng) 之 積 為 0； 即 任 意 兩 個(gè) 最 大 項(xiàng) 之 和 為 1； 只 有 一 個(gè) 變 量 不 同 的 兩 個(gè) 最 大 項(xiàng) 的 乘 積 等 于 各相 同 變 量 之 和 。 最 大 項(xiàng) : 12 0i i 0Mn 例 : 寫 出 函 數(shù) Y=A(B+C)的 標(biāo) 準(zhǔn) 或 與 表 達(dá)式 。 解 : 最 小 項(xiàng) 與 最 大 項(xiàng) 的 關(guān) 系 相 同 編 號(hào) 的 最 小 項(xiàng) 和 最 大 項(xiàng) 存 在 互 補(bǔ) 關(guān) 系即 : mi = Mi = 若 干 個(gè) 最 小 項(xiàng) 之 和 表 示 的 表 達(dá) 式 Y， 其 反 函 數(shù) Y可 用 等 同 個(gè) 與 這 些 最 小 項(xiàng) 相 對(duì) 應(yīng) 的 最 大 項(xiàng) 之 積 表示 。 例 ： 7531 mmmmY = 7531 MMMM = )mmmm( 7531 Y m7m3 m5m1 Mi mi 四 、 邏 輯 函 數(shù) 形 式 的 變 換 根 據(jù) 邏 輯 表 達(dá) 式 ， 可 以 畫 出 相 應(yīng) 的 邏 輯 圖 ，表 達(dá) 式 的 形 式 決 定 門 電 路 的 個(gè) 數(shù) 和 種 類 。 在 用 電子 器 件 組 成 實(shí) 際 的 邏 輯 電 路 時(shí) ， 由 于 選 擇 不 同 邏輯 功 能 類 型 的 器 件 ， 因 此 需 要 將 邏 輯 函 數(shù) 式 變 換成 相 應(yīng) 的 形 式 。 1、 最 簡 與 或 表 達(dá) 式CABA CBCABA DCBCBECACABAEBAY 最 簡 與 或 表 達(dá) 式首 先 是 式 中 乘 積 項(xiàng) 最 少 乘 積 項(xiàng) 中 含 的 變 量 最 少 實(shí) 現(xiàn) 電 路 的 與 門 少 下 級(jí) 或 門 輸 入 端 個(gè) 數(shù) 少與 門 的 輸 入 端 個(gè) 數(shù) 少 2、 最 簡 與 非 -與 非 表 達(dá) 式 在 最 簡 與 或 表 達(dá) 式的 基 礎(chǔ) 上 兩 次 取 反 用 摩 根 定 律 去 掉 內(nèi) 層 的 非 號(hào))()( )( CABA CABA CABAY 3、 最 簡 或 與 表 達(dá) 式CABAY ACBA CBACBA CABA CABACABAY )()( )()()( )()( )()( )( CABA ACBA ACBAY 求 出 反 函 數(shù) 的最 簡 與 或 表 達(dá) 式 利 用 反 演 規(guī) 則 寫 出 函數(shù) 的 最 簡 或 與 表 達(dá) 式 4、 最 簡 或 非 -或 非 表 達(dá) 式 )()( )( )( CABA CABA CABA CABAY 求 最 簡 或 與 表 達(dá) 式 兩 次 取 反 用 摩 根 定 律 去掉 內(nèi) 部 的 非 號(hào) 、 最 簡 與 或 非 表 達(dá)式 )( )()( ACBA CABA CABAY 求 最 簡 或 非 -或 非 表 達(dá) 式 用 摩 根 定 律 去 掉 內(nèi) 部 非 號(hào) 。方 法 一 ： CABAY ACBA CBACBA CABAY )()( 求 出 反 函 數(shù) 的最 簡 與 或 表 達(dá) 式 求 反 ， 得 到 最 簡 與 或非 表 達(dá) 式 )( ACBAY方 法 二 ： 2.6 邏 輯 函 數(shù) 的 化 簡 方 法一 、 公 式 化 簡 法并 項(xiàng) 法 ：吸 收 法 ： A+AB =A消 項(xiàng) 法 ：消 因 子 法 ：配 項(xiàng) 法 ： AB+AB =AAB+A C+BC =AB+A CA+A B=A+BA+A =A A+A =1 例 2.6.1 試 用 并 項(xiàng) 法 化 簡 下 列 函 數(shù)CDBACDBAY )(1 CDABAACDBAY 2 CBCACBAY 3 BCDDCBDBCDCBY 4 ACDBCDBA )( CDBCDAABAA CBACBA )( CBACBA )( BCCBDDBCDDCB )()( =B CCBABA )( 例 2.6.2 試 用 吸 收 法 化 簡 下 列 函 數(shù) ADABDCBAY )(1 )(2 DCABABDCABABY )()()( 3 DCBABCABCAY ADADBCBA 1)( ABDCDCAB )(1= A+BC 例 2.6.3 用 消 項(xiàng) 法 化 簡 下 列 函 數(shù))(1 CBBAACY EDCAEBADCBAY )(2 EDBCDBCADBADBAABCCBAY 3 CBBAAC CBAC EBADCBA )( DCEBBADBACBA )()()( DBACBA )()( 例 2.6.4 用 消 因 子 法 化 簡 下 列 函 數(shù)ABCBY 1 BABBAY 2 DCDAACY 3 ACB BABA BA DACACDCAAC )(DAC 例 2.6.5 化 簡 函 數(shù) ABCBCACBAY ABCBCABCACBAY 解 ： )()( ABCBCABCACBA BCBA ; A+A A例 2.6.6 化 簡 函 數(shù) CBCBBABAY CBAACBCCBABAY )()(解 ： ; A+A 1CBABCACBCBACBABA CACBBA 例 2.6.6 化 簡 函 數(shù) CBCBBABAY CACBCBBABAY 解 二 ： CACBBA ; 消 去 ， 消 去 解 三 ： CACBCBBABAY ; 消 去 , 消 去 CACBBA ;增 加 冗 余 項(xiàng);增 加 冗 余 項(xiàng) 例 2.6.7 化 簡 邏 輯 函 數(shù) DEBADBCACBADCDBCBACY )(解 ： DEBADBCACBADCDBCBACY )( DEBACBADCDBCBAC )( 吸 收 法DEBAADCDBCBAC 消 因 子 法ADCDBCB 吸 收 法 消 項(xiàng) 法ADBCB 邏 輯 函 數(shù) 的 卡 諾 圖 表 示 法 將 n變 量 的 全 部 最 小 項(xiàng) 各 用 一 個(gè) 小 方 塊 表 示 ，并 使 具 有 邏 輯 相 鄰 性 的 最 小 項(xiàng) 在 幾 何 位 置 上 相 鄰排 列 ， 得 到 的 圖 形 叫 做 n變 量 最 小 項(xiàng) 的 卡 諾 圖 ?？?諾 圖 的 定 義 ：二 、 卡 諾 圖 化 簡 法 邏 輯 相 鄰 項(xiàng) ： 僅 有 一 個(gè) 變 量 不 同 其 余 變 量均 相 同 的 兩 個(gè) 最 小 項(xiàng) ， 稱 為 邏 輯 相 鄰 項(xiàng) 。BCACBA CBA 不 是 邏 輯 相鄰 項(xiàng) 是 邏 輯相 鄰 項(xiàng) 卡 諾 圖 的 表 示 ：1、 一 變 量 全 部 最 小 項(xiàng) 的 卡 諾 圖一 變 量 Y=F（ A） ，YA 0 1A Y A 0 1m 0 m1全 部 最 小 項(xiàng) ： A， A卡 諾 圖 ： 下 面 我 們 根 據(jù) 邏 輯 函 數(shù) 變 量 數(shù) 目 的 不 同分 別 介 紹 一 下 ：A ABY 01 0 1m0 m1m2 m3 Y AB00 01 11 10A BAB AB A B00 01 11 10Y ABm0 m1 m3 m2YA BC01 00 01 11 10m 0 m1m4 m5 m3 m2m7 m6 2、 二 變 量 全 部 最 小 項(xiàng) 的 卡 諾 圖Y= F（ A、 B） YABC000111 10 0 1m0 m1m4 m5m3m2 m7m63、 三 變 量 全 部 最 小 項(xiàng) 的 卡 諾 圖 Y=F（ A、 B、 C） YABCD00011110 00 01 11 10m0 m1m4 m5 m3 m2m7 m6m12 m13m8 m9 m15 m14m11 m10 YABC D000001011010100101111110 0 1m0 m1m3m2m4 m5m7m6m8 m9m11m10m12 m13m15m144、 四 變 量 全 部 最 小 項(xiàng) 的 卡 諾 圖Y= F（ A、 B、 C、 D）注 意 ： 左 右 、 上 下 ；在 卡 諾 圖 中 ，每 一 行 的 首 尾 ；每 一 列 的 首 尾 ； 的 最 小 項(xiàng) 都 是 邏 輯 相 鄰 的 。 Y = AC+ AC + BC + BC卡 諾 圖 ： YA BC01 00 01 11 101 111 1 100A(B+B)C + (A+A)BC Y=A(B+B)C+ (A+A)BC+ =(m1 , m2 ,m3 ,m4 ,m5 ,m6 )1、 把 已 知 邏 輯 函 數(shù) 式 化 為 最 小 項(xiàng) 之 和 形 式 。2、 將 函 數(shù) 式 中 包 含 的 最 小 項(xiàng) 在 卡 諾 圖 對(duì) 應(yīng) 的 方 格 中 填 1， 其 余 方 格 中 填 0。方 法 一 ： 解 ：對(duì) 于 AC有 ： 對(duì) 于 AC有 ：對(duì) 于 BC有 ： 對(duì) 于 BC有 ：根 據(jù) 函 數(shù) 式 直 接 填 卡 諾 圖方 法 二 ： YABC01 00 01 11 101 11 11 00 例 ： 用 卡 諾 圖 表 示 之 。 1用 卡 諾 圖 表 示 邏 輯 函 數(shù) ： 用 卡 諾 圖 表 示 邏 輯 函 數(shù) ： BAACDDBADCBAY 例 2.6.8 用 卡 諾 圖 表 示 邏 輯 函 數(shù)解 ： 將 Y化 為 最 小 項(xiàng) 之 和 的 形 式 DCBADCBADCBACDBA ABCDDCBADBCADCBAY m 1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m1511 1111 1 1 例 2.6.9 已 知 邏 輯 函 數(shù) 的 卡 諾 圖 ,試 寫 出 該 函 數(shù) 的 邏 輯 式 BC A 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 CBAABCCBACBAY 化 簡 依 據(jù) ： 邏 輯 相 鄰 性 的 最 小 項(xiàng) 可 以 合 并 ， 并 消 去 因 子 。化 簡 規(guī) 則 ： 能 夠 合 并 在 一 起 的 最 小 項(xiàng) 是 2 n 個(gè)如 何 最 簡 ： 圈 的 數(shù) 目 越 少 越 簡 ； 圈 內(nèi) 的 最 小 項(xiàng) 越 多 越 簡 。特 別 注 意 ： 卡 諾 圖 中 所 有 的 1 都 必 須 圈 到 ， 不 能 合 并 的 1 必 須 單 獨(dú) 畫 圈 。YABC01 00 01 11 101 11 11 00 1 上 兩 式 的 內(nèi) 容 不 相 同 ， 但 函 數(shù) 值 一 定 相 同 。YABC01 00 01 11 101 11 11 00 1 Y 1 = BC+BA + AC Y1 = CA + BC A+ B將 Y1=AC+AC+BC+BC 化 簡 為 最 簡 與 或 式 。此 例 說 明 ， 一 邏 輯 函 數(shù) 的 化 簡 結(jié) 果 可 能 不 唯 一 。例 ： （ 畫 矩 形 圈 ） 。用 卡 諾 圖 化 簡 邏 輯 函 數(shù) 用 卡 諾 圖 化 簡 邏 輯 函 數(shù)合并最小項(xiàng)的原則 （ 1） 任 何 兩 個(gè) （ 21個(gè) ） 相 鄰 最 小 項(xiàng) ， 可 以 合并 為 一 項(xiàng) ， 并 消 去 一 個(gè) 變 量 。 CA AC DBC DCB 合并最小項(xiàng)的原則 （ 2） 任 何 4個(gè) （ 22個(gè) ） 相 鄰 的 最 小 項(xiàng) ， 可 以 合并 為 一 項(xiàng) ， 并 消 去 2個(gè) 變 量 。 ACBD DB DB DB此 例 說 明 ， 為 了 使 化簡 結(jié) 果 最 簡 ， 可 以 重復(fù) 利 用 最 小 項(xiàng) 合并最小項(xiàng)的原則 （ 3） 任 何 8個(gè) （ 23個(gè) ） 相 鄰 最 小 項(xiàng) ， 可 以 合 并 為 一項(xiàng) ， 并 消 去 3個(gè) 變 量 。 B D 合并最小項(xiàng)的原則 利 用 AB+AB=A2個(gè) 最 小 項(xiàng) 合 并 ， 消 去 1個(gè) 變 量 ；4個(gè) 最 小 項(xiàng) 合 并 ， 消 去 2個(gè) 變 量 ；8個(gè) 最 小 項(xiàng) 合 并 ， 消 去 3個(gè) 變 量 ； 2n個(gè) 最 小 項(xiàng) 合 并 ， 消 去 n個(gè) 變 量 ； 卡 諾 圖 化 簡 法 的 步 驟 畫 出 變 量 的 卡 諾 圖 ; 作 出 函 數(shù) 的 卡 諾 圖 ; 畫 圈 ; 寫 出 最 簡 與 或 表 達(dá) 式 。畫圈的原則 合 并 個(gè) 數(shù) 為 2n； 圈 盡 可 能 大 -乘 積 項(xiàng) 中 含 因 子 數(shù) 最 少 ； 圈 盡 可 能 少 -乘 積 項(xiàng) 個(gè) 數(shù) 最 少 ； 每 個(gè) 圈 中 至 少 有 一 個(gè) 最 小 項(xiàng) 僅 被 圈 過 一 次 ，以 免 出 現(xiàn) 多 余 項(xiàng) 。 例 2.6.10 用 卡 諾 圖 將 下 式 化 簡 為 最 簡 與 或 函 數(shù) 式CBCBCACAY CBCABAY CBBACAY 1 11 1 11YY 例 2.6.11 用 卡 諾 圖 將 下 式 化 簡 為 最 簡 與 或 函 數(shù) 式DCACBADCDCAABDABCY DAY Y DAY DADAYY )()(Y 2.7 具 有 無 關(guān) 項(xiàng) 的 邏 輯 函 數(shù) 化 簡約 束 項(xiàng) 、 任 意 項(xiàng) 和 邏 輯 函 數(shù) 式 中 的 無 關(guān) 項(xiàng)無 關(guān) 項(xiàng) 約 束 項(xiàng) :當(dāng) 限 制 某 些 輸 入 變 量 的 取 值 不 能 出 現(xiàn)時(shí) ， 用 它 們 對(duì) 應(yīng) 的 最 小 項(xiàng) 恒 等 于 0來 表 示 。任 意 項(xiàng) :在 輸 入 變 量 的 某 些 取 值 下 函 數(shù) 值 是1還 是 0皆 可 ， 并 不 影 響 電 路 的 功 能 。 在 這些 變 量 的 取 值 下 ， 其 值 等 于 1的 那 些 最 小 項(xiàng)稱 為 任 意 項(xiàng) 。 在 卡 諾 圖 中 用 符 號(hào) “ ”、 “ ”或 “ d”表 示 無 關(guān) 項(xiàng) 。 在 化 簡 函 數(shù) 時(shí) 即 可 以 認(rèn) 為 它 是 1， 也 可 以 認(rèn) 為 它 是 0。 例 2.7.1 化 簡 邏 輯 函 數(shù) DCBABCDADCBAY 已 知 約 束 條 件 為 0 DCBADABCABCDDCBADCABDCBACDBA DADAY 例 2 判 斷 一 位 十 進(jìn) 制 數(shù) 是 否 為 偶 數(shù) 。 不 會(huì) 出 現(xiàn)不 會(huì) 出 現(xiàn)不 會(huì) 出 現(xiàn)不 會(huì) 出 現(xiàn)不 會(huì) 出 現(xiàn)不 會(huì) 出 現(xiàn) 說 明1 1 1 100 1 1 1 1 1 1 010 1 1 0 1 1 0 100 1 0 1 1 1 0 010 1 0 0 1 0 1 100 0 1 1 1 0 1 010 0 1 0 01 0 0 100 0 0 1 11 0 0 010 0 0 0 Y A B C DY A B C D 輸 入 變 量 A， B， C， D取 值 為 0000 1001時(shí) ， 邏輯 函 數(shù) Y有 確 定 的 值 ， 根 據(jù) 題 意 ， 偶 數(shù) 時(shí) 為 1， 奇 數(shù)時(shí) 為 0。 )8,6,4,2,0(),( mDCBAY 0)15,14,13,12,11,10( d無 關(guān) 項(xiàng) ： )15,14,13,12,11,10()8,6,4,2,0(),( dmDCBAY 不 利 用 無 關(guān) 項(xiàng) 的化 簡 結(jié) 果 為 ： DCBDAY 利 用 無 關(guān) 項(xiàng) 的化 簡 結(jié) 果 為 ： DY 邏 輯 函 數(shù) 化 簡 小 結(jié) 邏輯函數(shù)的化簡有公式法和圖形法等。公式法是利用邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則來對(duì)邏輯函數(shù)化簡，這種方法適用于各種復(fù)雜的邏輯函數(shù)，但需要熟練地運(yùn)用公式和定理，且具有一定的運(yùn)算技巧。圖形法就是利用函數(shù)的卡諾圖來對(duì)邏輯函數(shù)化簡，這種方法簡單直觀，容易掌握，但變量太多時(shí)卡諾圖太復(fù)雜，圖形法已不適用。在對(duì)邏輯函數(shù)化簡時(shí)，充分利用無關(guān)項(xiàng)可以得到十分簡單的結(jié)果。 把 輸 入 、 輸 出 變 量 所 有 相 互 對(duì) 應(yīng) 的 邏輯 值 （ 狀 態(tài) ） 列 在 一 個(gè) 表 格 內(nèi) ， 這 種表 格 稱 為 邏 輯 函 數(shù) 真 值 表 ， 簡 稱 真 值表 。 返 回 P58題 2.2（ 4） )()( CBACBACBABCCBACBA 1 11 1 1 1111 1 1 11 1 11 01 1 1 110 1 1 1 11 1 1 000 1 1 0 11 1 0 100 1 0 1 01 1 0 010 1 0 0 11 0 1 100 0 1 1 01 0 1 010 0 1 0 01 0 0 110 0 0 1 11 0 0 000 0 0 0 Y A B C DY A B C D 找 出 真 值 表 中 使 邏 輯函 數(shù) Y=1的 那 些 輸 入變 量 取 值 的 組 合P59表 P2.3（ b） )14,13,11,8,7,4,2,1(mY A B C D Y 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 A B C D Y 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 P60題 2.5（ 2） ADDCBDCBAY )(2 1 1111110000 00000