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1、1 積 分 變 換Fourier變 換Recall: 周 期 函 數(shù) 在 一 定 條 件 下 可 以 展 開 為 Fourier級(jí) 數(shù) ；但 全 直 線 上 的 非 周 期 函 數(shù) 不 能 用 Fourier表 示 ；引 進(jìn) 類 似 于 Fourier級(jí) 數(shù) 的 Fourier積 分 (周 期 趨 于 無 窮 時(shí) 的 極 限 形 式 ) 2 1 Fourier積 分 公 式1.1 Recall: 在 工 程 計(jì) 算 中 , 無 論 是 電 學(xué) 還 是 力 學(xué) , 經(jīng) 常 要 和 隨 時(shí) 間變 化 的 周 期 函 數(shù) fT(t)打 交 道 . 例 如 :具 有 性 質(zhì) f T(t+T)=fT(t

2、), 其 中 T稱 作 周 期 , 而 1/T代 表單 位 時(shí) 間 振 動(dòng) 的 次 數(shù) , 單 位 時(shí) 間 通 常 取 秒 , 即 每 秒 重 復(fù)多 少 次 , 單 位 是 赫 茲 (Herz, 或 Hz). t 3 最 常 用 的 一 種 周 期 函 數(shù) 是 三 角 函 數(shù) 。 人 們 發(fā) 現(xiàn) , 所 有的 工 程 中 使 用 的 周 期 函 數(shù) 都 可 以 用 一 系 列 的 三 角 函 數(shù) 的線 性 組 合 來 逼 近 . Fourier級(jí) 數(shù)方 波4個(gè) 正 弦 波 的 逼 近 100個(gè) 正 弦 波 的 逼 近 4 0 1 cos sin2T n nnaf t a n t b n t 研

3、 究 周 期 函 數(shù) 實(shí) 際 上 只 須 研 究 其 中 的 一 個(gè) 周 期 內(nèi) 的情 況 即 可 , 通 常 研 究 在 閉 區(qū) 間 -T/2,T/2內(nèi) 函 數(shù) 變 化的情 況 . 是 以 T為 周 期 的 函 數(shù) ， 在 上 滿 足 Tf t ,2 2T T Dirichlet條 件 ： Tf t 連 續(xù) 或 只 有 有 限 個(gè) 第 一 類 間 斷 點(diǎn) ； Tf t 只 有 有 限 個(gè) 極 值 點(diǎn) ； Tf t 可 展 開 成 Fourier級(jí) 數(shù) ， 且 在 連 續(xù) 點(diǎn) t處 成 立 ： 5 22222 ,2 cos 0,1,2,2 sin 1,2,Tn TTTn TT Ta f t n

4、 tdt nTb f t n tdt nT 其 中 0 10 0 cos sin2 2T T n nnf t f t a a n t b n t ：t在 間 斷 點(diǎn) 處 成 立引 進(jìn) 復(fù) 數(shù) 形 式 ：cos , sin2 2in t in t in t in te e e en t n t i 6 0 10 12 2 22 2 2in t in t in t in tn nn in t in tn n n nna e e e ea b ia a ib a ibe e 200 0 22 22 22 22 21, , ,2 2 21 1cos sin1 1cos sin1,2, Tn n n n

5、n n TTT T in tTn TT TT T in tTn T nT Tn na a ib a ibc c d c f t dtTc f t n t i n tdt f t e dtT Td f t n t i n tdt f t e dt cT Tn c c 令 則 級(jí) 數(shù) 化 為 ： 7 221 0, 1, 2,T in tn TTc f t e dt nT 221 Tin t in in tn TTn nc e f e d eT nc F n Tn f tc 的 離 散 頻 譜 ； arg Tnf tc 的 離 散 振 幅 頻 譜 ； .Tf t n的 離 散 相 位 頻 譜 ；合

6、并 為 ：級(jí) 數(shù) 化 為 ：若 以 描 述 某 種 信 號(hào) ， Tf t 則 可 以 刻 畫 的 特 征 頻 率 。nc Tf t 8 lim TT f t f t 對(duì) 任 何 一 個(gè) 非 周 期 函 數(shù) f (t)都 可 以 看 成 是 由 某 個(gè) 周 期函 數(shù) fT(t)當(dāng) T時(shí) 轉(zhuǎn) 化 而 來 的 . 作 周 期 為 T的 函 數(shù) fT(t), 使 其 在 -T/2,T/2之 內(nèi) 等于f (t), 在 -T/2,T/2之 外 按 周 期 T延 拓 到 整 個(gè) 數(shù) 軸 上 , 則T越 大 , fT(t)與 f (t)相 等 的 范 圍 也 越 大 , 這 就 說 明 當(dāng) T時(shí) ,周 期 函

7、 數(shù) fT(t)便 可 轉(zhuǎn) 化 為 f (t), 即 有 9 例 矩 形 脈 沖 函 數(shù) 為 1 10 1tf t t 如 圖 所 示 : 1-1 O tf (t)1 10 4 4 ,2 2 ,4 2 2n nf t f t n nnT 1-1 3T=4f4(t) t 現(xiàn) 以 f (t)為 基 礎(chǔ) 構(gòu) 造 一 周 期 為 T的 周 期 函 數(shù) fT(t), 令 T=4, 則 11 則 222 142 111 14 411 14 41sin1 1 sinc 0, 1, 2,2 2T nT n n n n n j tn T j t j tj t j j n nn nn c f t e dtT f

8、t e dt e dte e ej j n 12 0sinsinc sinc sin0 , lim 1sinsinc 0 1, 1,0 xxx x xx xxx x 函 數(shù) 定 義 為嚴(yán) 格 講 函 數(shù) 在 處 是 無 定 義 的 但 是 因 為所 以 定 義 用 不 嚴(yán) 格 的 形 式 就 寫 作則 函 數(shù) 在 整 個(gè) 實(shí) 軸 連 續(xù) 。sinc(x) xsinc函 數(shù) 介 紹 13 前 面 計(jì) 算 出 1 sinc 0, 1, 2,2 2 ,2n nnc nnn n T 可 將 以 豎 線 標(biāo) 在 頻 率 圖 上nc 14 8 8 ,2 2 ,8 4 4n nf t f t n nnT 1

9、-1 7T=8f8(t) t 現(xiàn) 在 將 周 期 擴(kuò) 大 一 倍 , 令 T=8, 以 f (t)為 基 礎(chǔ) 構(gòu) 造一 周 期 為 8的 周 期 函 數(shù) f8(t) 15 則 224 184 111 18 811 18 81sin1 1 sinc 0, 1, 2,4 4T nT n n n n n j tn T j t j tj t j j n nn nn c f t e dtT f t e dt e dte e ej j n 16 則 在 T=8時(shí) , 1 sinc 0, 1, 2,4 2 ,8 4n nnc nnn n 再 將 以 豎 線 標(biāo) 在 頻 率 圖 上nc 17 如 果 再 將

10、周 期 增 加 一 倍 , 令 T=16, 可 計(jì) 算 出 1sinc 0, 1, 2,8 2 ,16 8n nnc nnn n 再 將 以 豎 線 標(biāo) 在 頻 率 圖 上nc 18 一 般 地 , 對(duì) 于 周 期 T 221111 11 11sin2 2 sinc 0, 1, 2,T nT n n n n j tn T j tj t j j n nn nn c f t e dtT e dtT e e eTj Tj nT T 19 當(dāng) 周 期 T越 來 越 大 時(shí) , 各 個(gè) 頻 率 的 正 弦 波 的 頻 率 間隔 越 來 越 小 , 而 它 們 的 強(qiáng) 度 在 各 個(gè) 頻 率 的 輪 廓

11、則 總 是sinc函 數(shù) 的 形 狀 , 因 此 , 如 果 將 方 波 函 數(shù) f (t)看 作 是 周期 無 窮 大 的 周 期 函 數(shù) , 則 它 也 可 以 看 作 是 由 無 窮 多 個(gè) 無窮 小 的 正 弦 波 構(gòu) 成 , 將 那 個(gè) 頻 率 上 的 輪 廓 即 sinc函 數(shù) 的形 狀 看 作 是 方 波 函 數(shù) f (t)的 各 個(gè) 頻 率 成 份 上 的 分 布 , 稱作 方 波 函 數(shù) f (t)的 傅 里 葉 變 換 . 20 2 2 , Dirichlet ,2 2Fourier ,12 , n n TT i tin tT n nn n T i t n n TT T T

12、f t Tf tf t c e c en n T c f t e dtT 設(shè) 為 周 期 函 數(shù) ， 在 上 滿 足 條 件則 可 展 開 為 級(jí) 數(shù) : 22 j j1 ( ) d .T n nT tT Tnf t f e eT 即 lim TT f t f t 由 1.2 Fourier積 分 公 式 與 Fourier積 分 存 在 定 理 21 22 j j1lim d, T n nT tTT n nf t f e eTn 可 知當(dāng) 取 一 切 整 數(shù) 時(shí) 所 對(duì) 應(yīng) 的 點(diǎn) 便 均 勻 分布 在 整 個(gè) 數(shù) 軸 上 :T2O 1 2 3 n-1nT2 )(,0 2)(21 連 續(xù) 變

13、 量為此 時(shí) 視 ，無 關(guān)與令 nnn T TnT 22 22 22 j jj j01lim d1lim d2 T n nT T n nTn tTT n tT nnf t f e eT f e e 22 j j0 d1lim 2T nT nnT n T tT n nnF f ef t F e 令 22 n TT i iT n TTF f e d f e d F 12 i tf t F e d 由 定 積 分 定 義 （ 注 ： 積 分 限 對(duì) 稱 ） . 23 FourierDirichlet12 0 02 i i t f tf e d e df t tf t f t t 定 理 積 分 存

14、在 定 理 若 在 任 何 有 限 區(qū) 間上 滿 足 條 件 ， 且 在 ， 絕 對(duì) 可 積 ， 則為 連 續(xù) 點(diǎn) ；為 間 斷 點(diǎn) 。 , | | df t t 在 絕 對(duì) 可 積 是 指 的 收 斂 。 12 i i tf t f e d e d 即 f t 付 氏 積 分 公 式 24 j jj1 d d21 d d21 cos d2 sinsin , 1 cos d d2 ttf t f e ef ef tj f t d df t d f t f t 因 是 的 奇 函 數(shù) 。 付 氏 積 分 公 式 也 可 以 轉(zhuǎn) 化 為 三 角 形 式 f t 25 又 考 慮 到 積 分 cos

15、 ,f t d 是 的 偶 函 數(shù) 1 cos d d2f t f t 從 01 cos d df t f t 可 得 。 26 2 Fourier變 換2.1 Fourier變 換 的 定 義 12 i i tf t f e d e d 已 知 ： ， ( )Fourier i tF f t e dtf t f t 實(shí) 自 變 量 的 復(fù) 值 函 數(shù)稱 為 的 變 換 ， 記 為 。F 11 Fourier2 .i tF e d FF 稱 為 的 逆 變 換 ，記 為 F 27 Fourierf t Ff t F ： 一 一 對(duì) 應(yīng) ， 稱 為 一 組 變 換 對(duì) 。稱 為 原 像 函 數(shù)

16、， 稱 為 像 函 數(shù) 。 11 , ,f t F F f tF f t f t F 若 則 ；若 則F FF F Fourier積 分 存 在 定 理 的 條 件 是 Fourier變 換 存 在 的一 種 充 分 條 件 . 28 在 頻 譜 分 析 中 , 傅 氏 變 換 F()又 稱 為 f(t)的 頻 譜 函數(shù) , 而 它 的 模 |F()|稱 為 f (t)的 振 幅 頻 譜 (亦 簡(jiǎn) 稱 為 頻 譜 ).由 于 是 連 續(xù) 變 化 的 , 我 們 稱 之 為 連 續(xù) 頻 譜 , 對(duì) 一 個(gè) 時(shí) 間函 數(shù) f (t)作 傅 氏 變 換 , 就 是 求 這 個(gè) 時(shí) 間 函 數(shù) f (

17、t)的 頻 譜 . F f tF 的 頻 譜 密 度 函 數(shù) ； arg f tF 的 振 幅 頻 譜 ； f t 的 相 位 頻 譜 。 29 例 1 求 矩 形 脈 沖 函 數(shù) 的 付 氏 變 換 及 其 積 分 表 達(dá) 式 。 1, 1( ) 0, 1tf t t 111 11 2sin i ti t i ti i eF f t e dt e dt ie ei 00 01 1 cos21 2sin 2 sin coscosi tf t F e d F tdttd d 30 2400 0 1sin cos d 10 10 , sin d sinc d 2tt tttx x x xx 因 此

18、 可 知 當(dāng) 時(shí) 有 2F sin另 外 ， 由 = 可 作 出 頻 譜 圖 : 2 F 2 3sin 0k 31 jj j 2 20 0e d 1 je e d e d jtt t tF f t tt t 0, 0( ) e , 0, 0. t tf t t 例 2 求 指 數(shù) 衰 減 函 數(shù) 的 傅 氏 變 換 及 其積 分 表 達(dá) 式 其 中 tf (t) j j2 2 2 201 1 je d e d2 21 cos sin dt tf t F t t 32 2 20 0 0cos sin d / 2 0e 0t tt t tt 因 此2.2 單 位 脈 沖 函 數(shù) 及 其 傅 氏 變

19、 換 在 物 理 和 工 程 技 術(shù) 中 , 常 常 會(huì) 碰 到 單 位 脈 沖 函 數(shù) .因 為 有 許 多 物 理 現(xiàn) 象 具 有 脈 沖 性 質(zhì) , 如 在 電 學(xué) 中 , 要研 究 線 性 電 路 受 具 有 脈 沖 性 質(zhì) 的 電 勢(shì) 作 用 后 產(chǎn) 生 的 電流 ; 在 力 學(xué) 中 , 要 研 究 機(jī) 械 系 統(tǒng) 受 沖 擊 力 作 用 后 的 運(yùn)動(dòng) 情 況 等 . 研 究 此 類 問 題 就 會(huì) 產(chǎn) 生 我 們 要 介 紹 的 單 位脈 沖 函 數(shù) . 33 在 原 來 電 流 為 零 的 電 路 中 , 某 一 瞬 時(shí) (設(shè) 為 t=0)進(jìn) 入一 單 位 電 量 的 脈 沖 ,

20、 現(xiàn) 在 要 確 定 電 路 上 的 電 流 i(t). 以 q(t)表 示 上 述 電 路 中 的 電 荷 函 數(shù) , 則 0, 0;1, 0.tq t t 0d limd tq t q t t q ti t t t 當(dāng) t0時(shí) , i(t)=0, 由 于 q(t)是 不 連 續(xù) 的 , 從 而 在 普通導(dǎo) 數(shù) 意 義 下 , q(t)在 這 一 點(diǎn) 是 不 能 求 導(dǎo) 數(shù) 的 . 34 如 果 我 們 形 式 地 計(jì) 算 這 個(gè) 導(dǎo) 數(shù) , 則 得 0 00 0 10 lim limt tq t qi t t 這 表 明 在 通 常 意 義 下 的 函 數(shù) 類 中 找 不 到 一 個(gè) 函

21、數(shù) 能夠 表 示 這 樣 的 電 流 強(qiáng) 度 . 為 了 確 定 這 樣 的 電 流 強(qiáng) 度 , 引 進(jìn)一 個(gè) 稱 為 狄 拉 克 (Dirac)函 數(shù) , 簡(jiǎn) 單 記 成 d-函 數(shù) : 0 00tt td 有 了 這 種 函 數(shù) , 對(duì) 于 許 多 集 中 于 一 點(diǎn) 或 一 瞬 時(shí) 的 量 , 例如 點(diǎn) 電 荷 , 點(diǎn) 熱 源 , 集 中 于 一 點(diǎn) 的 質(zhì) 量 及 脈 沖 技 術(shù) 中 的非 常 窄 的 脈 沖 等 , 就 能 夠 象 處 理 連 續(xù) 分 布 的 量 那 樣 , 以統(tǒng) 一 的 方 式 加 以 解 決 . 35 0 0 01 00 0 0lim 0tt tttt t t d

22、 d d 給 函 數(shù) 序 列 ，定 義 。 d(t)1/ O 00 0 1d lim d lim 1t t t t dt d d （ 在 極 限 與 積 分 可 交 換 意 義 下 ）工 程 上 將 d-函 數(shù) 稱 為 單 位 脈 沖 函 數(shù) 。 36 可 將 d-函 數(shù) 用 一 個(gè) 長(zhǎng) 度 等 于 1的 有 向 線 段 表 示 , 這 個(gè)線 段 的 長(zhǎng) 度 表 示 d-函 數(shù) 的 積 分 值 , 稱 為 d-函 數(shù) 的 強(qiáng) 度 .tO d (t)1d-函 數(shù) 有 性 質(zhì) ： 0 0d 0 d .t f t t f t t f t t f tf td d 及（ 為 連 續(xù) 函 數(shù) ）可 見 d

23、-函 數(shù) 和 任 何 連 續(xù) 函 數(shù) 的 乘 積 在 實(shí) 軸 上 的 積 分都 有 明 確 意 義 。 37 d-函 數(shù) 的 傅 氏 變 換 為 : 0 e d e 1j t j t tt F t t d d F于 是 d t與 常 數(shù) 1構(gòu) 成 了 一 傅 氏 變 換 對(duì) . 1 11 2 i tt e dd F 2i te d t d 證 法 2： 若 F(=2d , 由 傅 氏 逆 變 換 可 得 01 2 e d 12 j t j tf t e d 例 1 證 明 ： 1和 2d ()構(gòu) 成 傅 氏 變 換 對(duì) .證 法 1： 1 1 2 .j t j se dts t e ds d

24、F 38 000 001 e d21 2 e d e e .2e 2 j t j tj t j tj tf t F d d 證 ：即 和 構(gòu) 成 了 一 個(gè) 傅 氏 變 換 對(duì) 。 0 02 e 2j t d 例 ： 證 明 和 構(gòu) 成 一 個(gè) 傅 氏 變 換 對(duì) 。由 上 面 兩 個(gè) 函 數(shù) 的 變 換 可 得 0jj 0e d 2e d 2t tt t d d 39 例 如 常 數(shù) , 符 號(hào) 函 數(shù) , 單 位 階 躍 函 數(shù) 以 及 正 , 余 弦 函 數(shù)等 , 然 而 它 們 的 廣 義 傅 氏 變 換 也 是 存 在 的 , 利 用 單 位 脈沖 函 數(shù) 及 其 傅 氏 變 換 就

25、 可 以 求 出 它 們 的 傅 氏 變 換 . 所 謂廣 義 是 相 對(duì) 于 古 典 意 義 而 言 的 , 在 廣 義 意 義 下 , 同 樣 可以 說 ,象 原 函 數(shù) f(t)和 象 函 數(shù) F()構(gòu) 成 一 個(gè) 傅 氏 變 換 對(duì) . 在 物 理 學(xué) 和 工 程 技 術(shù) 中 , 有 許 多 重 要 函 數(shù) 不 滿 足 傅氏 積 分 定 理 中 的 絕 對(duì) 可 積 條 件 , 即 不 滿 足 條 件 df t t 40 例 4 求 正 弦 函 數(shù) f (t)=sin0t的 傅 氏 變 換 。 0 00 0 j 0j j j 0 00 0 e sin de e e d2 j1 (e e

26、)d2 j1 2 22 jj .tt t tj t j tF f t t tt t d d d d F 0 0O |F()| t 0sin t 41 例 5 證 明 ： 0, 0,1, 0tu t t 單 位 階 躍 函 數(shù) 1 .u t j d F證 ： 1 01 1 121 1 12 21 1 cos sin2 21 1 sin 1 1 sin2 2 2 j tj t j t e dj je d e djt j t djt td d d d d F 42 0 2, 0sin 2, 0ttd t 1 1 1 0, 02 21 1 , 021 1 1, 02 2 tt u tj td F 43

27、 3 Fourier變 換 與 逆 變 換 的 性 質(zhì) 這 一 講 介 紹 傅 氏 變 換 的 幾 個(gè) 重 要 性 質(zhì) , 為 了 敘 述 方便 起 見 , 假 定 在 這 些 性 質(zhì) 中 , 凡 是 需 要 求 傅 氏 變 換 的 函數(shù) 都 滿 足 傅 氏 積 分 定 理 中 的 條 件 , 在 證 明 這 些 性 質(zhì) 時(shí) , 不 再 重 述 這 些 條 件 . 1 1 1 af t bg t a f t b g tAF BG A F B G F F FF F F1.線 性 性 質(zhì) : 44 2. 位 移 性 質(zhì) : 0 00 01 0 0 j tj tj tf t t e FF e f t

28、e f t F ，或 FF F 00 00 00 j t j s tj t j tj sf t t f t t e dts t t f s e dse f s e ds e F F證 明 ： 0 0 ,f t F t 若 ，F(xiàn) 為 實(shí) 常 數(shù) ， 則 45 1 ( ) 0,1 1 ( ) ; ( )f t F a tf at F F at fa a a a FF F若 ， 則3. 相 似 性 質(zhì) ：證 明 ： 1 , 0 1 , 0sj as atj t sj af s e ds aaf at f at e dt f s e ds aa F 1 1 ( )j saf s e ds Fa a a

29、 46 例 1 計(jì) 算 。 5 2 u tF方 法 1： （ 先 用 相 似 性 質(zhì) ， 再 用 平 移 性 質(zhì) ） ( ) 2 , 5 5 2g t u t g t u t 令 那 么 525 52 52 5 1 5 2 5 51 1 2 5 51 151 5 .5 5 jjju t g t g tu t e u te je j d d F F FF F 47 方 法 2： （ 先 用 平 移 性 質(zhì) ， 再 用 相 似 性 質(zhì) ） 25 , ( ) 5 25g t u t g t u t 令 則 252 25 5 525 525 2 5 2 5 1 5 ( )51 151 5 .5 5 d

30、 d jj jjju t g t e g te u t e u te je jF F FF F 48 4.微 分 性 質(zhì) ： f t j F F lim 0 0,1,2, , 1 ,kt nn f t k nf t j F F一 般 地 ， 若 則 ( ) ( ) ( ) n n n n n nF j tf t tf t jFF j t f t t f t j F 像 函 數(shù) 的 微 分 性 ： 或 或F FF F 像 原 函 數(shù) 的 微 分 性 質(zhì) ： ( ) lim 0,tf t F f t 若 ， 且F 則 49 5.積 分 性 質(zhì) ： lim 0 0,1 .tttf t F f s d

31、s Ff s ds Fj 設(shè) ， 若 則F F6. 帕 塞 瓦 爾 (Parserval)等 式 2 21d .2f t t F d f t F 設(shè) ， 則 有F 50 實(shí) 際 上 , 只 要 記 住 下 面 五 個(gè) 傅 里 葉 變 換 , 則 所 有 的傅 里 葉 變 換 都 無 須 用 公 式 直 接 計(jì) 算 而 可 由 傅 里 葉 變 換 的性 質(zhì) 導(dǎo) 出 . 0 22j 0411j1je 2e ettttu tu t e d d d 51 00 j0j 0 22 1, e1 2 , e 21j d 1d j j1 j ttt t tu t jtu t j jtu t d dd d d

32、d d d 因 由 位 移 性 質(zhì) 得由 得由例 2 利 用 傅 氏 變 換 的 性 質(zhì) 求 d (t-t0),性 質(zhì) 0je ,t tu t 以 及 的 傅 氏 變 換 . 性 質(zhì) 52 例 3 若 f (t)=cos0t u(t), 求 其 傅 氏 變 換 。 0 0j j 00 000 02 201j e e21 12 j 1jj 2t tu tf t u tF d d d d d 53 7.卷 積 與 卷 積 定 理卷 積 定 義 ： f t g t f s g t s ds f g g ff g h f g f hf g h f g hA f g Af g f Ag Ad f g t

33、 f t g t f t g tdtf t f t f td d 交 換 律 ：加 法 分 配 律 ：結(jié) 合 律 ：數(shù) 乘 ： 為 常 數(shù)求 導(dǎo) ：卷 積 的 簡(jiǎn) 單 性 質(zhì) ： 54 例 1 求 下 列 函 數(shù) 的 卷 積 ： 1 20 0 0 0, ; , 0, .0 e 0t tt tf t f te t t 由 卷 積 的 定 義 有 01 2 1 2 00 0d0 e d 0 e e d1 1e e e et tt tt tt t tf t f t f f te 55 11 ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )2 ( ) ( ) 2f g f g F GF G f gf

34、g f g F GF G f g F F FFF F FF或 ： 化 簡(jiǎn) 卷 積 運(yùn) 算或 ： 化 簡(jiǎn) 傅 氏 變 換卷 積 定 理 ： 56 例 2 求 的 傅 氏 變 換 。 0j tf t e tu t 0 01 2j t j tf t e tu t e tu t F F F F 02 02011 . d d j tt j 0 20 21 1221 122 j j t dtd d d d 性 質(zhì) 57 利 用 卷 積 公 式 來 證 明 積 分 公 式 ： ( )t ty t f s ds f u t d f t u t 令 ( )1 0t f s ds f t u t f t u tF jF Fj d d F F F F證 明 ： lim 0 0, 0tttf t F f s ds FFf s ds Fi d ， 若FF設(shè)則