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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.3.1《幾何概型》教案 新人教B版必修3 教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)目標(biāo) ①通過(guò)探究，讓學(xué)生理解幾何概型試驗(yàn)的基本特征，并與古典概型相區(qū)別； ②理解并掌握幾何概型的定義； ③會(huì)求簡(jiǎn)單的幾何概型試驗(yàn)的概率. 2．情感目標(biāo) ①讓學(xué)生了解幾何概型的意義，加強(qiáng)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評(píng)價(jià)身邊的一些隨機(jī)現(xiàn)象； ②通過(guò)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)生活和學(xué)習(xí)中與幾何概型有關(guān)的實(shí)例，增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力；同時(shí)，適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生合作學(xué)習(xí)交流的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力. 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：幾何概型概念的理解和公式的運(yùn)用； 難點(diǎn)：幾何概型的應(yīng)用. 只有掌握了幾何概型的概念及特點(diǎn)，才能夠判斷一個(gè)問(wèn)題是否是幾何概型，才能夠用幾何概型的概率公式去解決這個(gè)問(wèn)題.而在應(yīng)用公式的過(guò)程中，幾何度量的正確選取是難點(diǎn)之一，要好好把握. 學(xué)情分析及教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)課是新教材人教B版必修3第三章第三節(jié)的第一課，它在課本中的位置排在古典概型之后，在概率的應(yīng)用之前.我認(rèn)為教材這樣安排的目的，一是為了體現(xiàn)和古典概型的區(qū)別和聯(lián)系，在比較中鞏固這兩種概型；二是為解決實(shí)際問(wèn)題提供一種簡(jiǎn)單可行的概率求法，在教材中起承上啟下的作用. 通過(guò)最近幾年的實(shí)際授課發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課時(shí)特別容易和古典概型相混淆，把幾何概型的“無(wú)限性”誤認(rèn)為古典概型的“有限性”.究其原因是思維不嚴(yán)謹(jǐn)，研究問(wèn)題時(shí)過(guò)于“想當(dāng)然”，對(duì)幾何概型的概念理解不清.因此我認(rèn)為要在幾何概型的特征和概念的理解上下功夫，不要浮于表面. 另外，在解決幾何概型的問(wèn)題時(shí)，幾何度量的選擇也是需要特別重視的，在實(shí)際授課時(shí)，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找出適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題. 為了更好地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，我將整個(gè)教學(xué)過(guò)程分為“問(wèn)題引入——概念形成——探索歸納——鞏固深化”四個(gè)環(huán)節(jié). 教學(xué)過(guò)程 1．問(wèn)題引入 引例1 北京奧運(yùn)會(huì)圓滿閉幕，某玩具廠商為推銷其生產(chǎn)的福娃玩具，擴(kuò)大知名度，特舉辦了一次有獎(jiǎng)活動(dòng)：顧客隨意擲兩顆骰子，如果點(diǎn)數(shù)之和大于10，則可獲得一套福娃玩具，問(wèn)顧客能得到一套福娃玩具的概率是多少？ 設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固古典概型的特點(diǎn)及其概率公式，為幾何概型的引入做好鋪墊. 引例2 廠商為了增強(qiáng)活動(dòng)的趣味性，改變了活動(dòng)方式，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（如圖1）轉(zhuǎn)盤被等分成8個(gè)扇形區(qū)域.顧客隨意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針正好指向陰影區(qū)域，顧客則可獲得一套福娃玩具.問(wèn)顧客能得到一套福娃玩具的概率是多少？ 設(shè)計(jì)意圖： 1．以實(shí)際問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望； 2．以此為鋪墊，通過(guò)具體問(wèn)題情境引入課題； 3．簡(jiǎn)單直觀，符合學(xué)生的思維習(xí)慣和認(rèn)知規(guī)律. 問(wèn)題提出后，學(xué)生根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)很容易回答：“由面積比計(jì)算出概率為1/4.” 提問(wèn)：為什么會(huì)想到用面積之比來(lái)解決問(wèn)題的呢？這樣做有什么理論依據(jù)嗎？ 學(xué)生思考，回答：“上一節(jié)剛學(xué)習(xí)的古典概型的概率就是由事件所包含的基本事件數(shù)占試驗(yàn)的基本事件總數(shù)的比例來(lái)解決的，所以聯(lián)想到用面積的比例來(lái)解決.” 教師繼續(xù)提問(wèn)：這個(gè)問(wèn)題是古典概型嗎？ 通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧古典概型的特點(diǎn)：有限性和等可能性.發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題雖然貌似古典概型，但是由于這個(gè)問(wèn)題中的基本事件應(yīng)該是“指針指向的位置”，而不是“指針指向的區(qū)域”，所以有無(wú)限多種可能，不滿足有限性這個(gè)特點(diǎn)，因此不是古典概型. 也就是說(shuō)，我們不能用古典概型的概率公式去解決這個(gè)問(wèn)題，剛才我們的解答只是猜測(cè).到這里，我們自然而然地需要一個(gè)理論依據(jù)去支持這個(gè)猜測(cè)，從而引入幾何概型的概念. 2．概念形成 記引例2中的事件為“指針指向陰影區(qū)域”，通過(guò)剛才的分析，我們發(fā)現(xiàn)事件包含的基本事件有無(wú)數(shù)個(gè)，而試驗(yàn)的基本事件總數(shù)也是無(wú)數(shù)個(gè).如果我們仿照古典概型的概率公式，用事件包含的基本事件個(gè)數(shù)與試驗(yàn)的基本事件總數(shù)的比例來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，那樣就會(huì)出現(xiàn)“無(wú)數(shù)比無(wú)數(shù)”的情況，沒(méi)有辦法求解. 因此，我們需要一個(gè)量，來(lái)度量事件和，使這個(gè)比例式可以操作，這個(gè)量就稱為“幾何度量”.這就得到了幾何概型的概率公式，其中表示區(qū)域的幾何度量，表示子區(qū)域的幾何度量. 引例2就可以選取面積做幾何度量來(lái)解決. 通過(guò)上面的分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：幾何概型與古典概型的區(qū)別在于它的試驗(yàn)結(jié)果不是有限個(gè)，但是它的試驗(yàn)結(jié)果在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻地分布，因此它滿足無(wú)限性和等可能性的特征.其求解思路與古典概型相似，都屬于“比例解法”. 3. 探索歸納 問(wèn)題1 在500ml水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率. 問(wèn)題2 取一根長(zhǎng)為4米的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)度都不少于1米的概率是多少？ 設(shè)計(jì)意圖： 1．讓學(xué)生分別體會(huì)用體積、長(zhǎng)度之比來(lái)度量概率，加深學(xué)生對(duì)幾何概型概念的理解； 2．強(qiáng)化解決幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，找出臨界狀態(tài)。這是解決幾何概型問(wèn)題的第一個(gè)關(guān)鍵. 問(wèn)題3 如圖2, 設(shè)為圓周上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與連結(jié)，求弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的概率？ 由學(xué)生討論解答. 預(yù)期思路1：(見(jiàn)圖3) 根據(jù)題意，在圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)，有無(wú)限種可能，而每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，滿足幾何概型的特點(diǎn)，可以考慮用幾何概型求解. 先找臨界狀態(tài)，即弦長(zhǎng)等于半徑時(shí)所取的點(diǎn)的位置.找到兩個(gè)位置，使得和是兩個(gè)全等的正三角形.即在取點(diǎn)時(shí)弦長(zhǎng)剛好等于半徑；而在和兩段劣弧上取點(diǎn)時(shí)弦長(zhǎng)小于半徑；在這段優(yōu)弧上取點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)超過(guò)半徑。因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化 為弧長(zhǎng)之比. . 預(yù)期思路2：（見(jiàn)圖4）也可以轉(zhuǎn)化為角度之比. . 預(yù)期思路3：（見(jiàn)圖5）也可以轉(zhuǎn)化為面積之比. . 提出問(wèn)題：為什么這道題可以用弧長(zhǎng)、角度、面積等不同的幾何度量去求解？ 由學(xué)生分組討論,給出回答：因?yàn)樵诎霃揭恢碌那闆r下，弧長(zhǎng)之比等于角度之比，也等于面積之比. . 設(shè)計(jì)意圖：加深學(xué)生對(duì)幾何概型的理解，從而抓住解決幾何概型問(wèn)題的實(shí)質(zhì). 問(wèn)題4 如圖6,將一個(gè)長(zhǎng)與寬不等的長(zhǎng)方形水平放置，長(zhǎng)方形對(duì)角線將其分成四個(gè)區(qū)域.在四個(gè)區(qū)域內(nèi)涂上紅、藍(lán)、黃、白四種顏色，并在中間裝個(gè)指針，使其可以自由轉(zhuǎn)動(dòng).對(duì)于指針停留的可能性，下列說(shuō)法正確的是（ ） A．一樣大 B. 黃、紅區(qū)域大 C. 藍(lán)、白區(qū)域大 D. 由指針轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù)確定 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)與引例2對(duì)比，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)問(wèn)題選擇的正確幾何度量應(yīng)該是“角度”，而不是“面積”.而引例2之所以用面積比也能解決問(wèn)題，是因?yàn)槠涿娣e比恰好等于角度比. 提出問(wèn)題：如何才能找到最恰當(dāng)?shù)膸缀味攘磕兀? 引導(dǎo)學(xué)生找問(wèn)題中的“提示”.如問(wèn)題3中在圓周上任意取點(diǎn)，因此選取弧長(zhǎng)作為幾何度量是最恰當(dāng)?shù)姆椒? 幾何度量的正確選擇是解決幾何概型問(wèn)題的第二個(gè)關(guān)鍵. 4。鞏固深化 練習(xí)1 如圖7,在面積為的的邊上任取一點(diǎn)，求的面積小于的概率. 練習(xí)2 如圖8,向面積為的內(nèi)任投一點(diǎn)，求的面積小于的概率. 練習(xí)3 如圖9,向體積為的三棱錐內(nèi)任投一點(diǎn)，求三棱錐的體積小于的概率. 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這3個(gè)問(wèn)題的對(duì)比，加深學(xué)生對(duì)幾何度量選取的理解，關(guān)鍵是判斷在何處取點(diǎn). 問(wèn)題5 一海豚在水池中自由游弋，水池為長(zhǎng)30m，寬20m的長(zhǎng)方形(如圖10)，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m的概率. 問(wèn)題6 平面上畫了一些彼此相距的平行線，把一枚半徑為的硬幣任意擲在這平面上(如圖11)，求硬幣不與任一條平行線相碰的概率． 設(shè)計(jì)意圖： 1．開拓學(xué)生的思路，進(jìn)一步提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力； 2．引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解決幾何概型問(wèn)題的第三個(gè)關(guān)鍵：物化為點(diǎn). 如問(wèn)題5 中，我們選擇了海豚的嘴尖為研究對(duì)象，問(wèn)題6中，我們則選擇硬幣的中心為研究對(duì)象.物化為點(diǎn)之后，研究起來(lái)會(huì)更加便捷.在處理問(wèn)題6時(shí)，先由學(xué)生自主思考，而后合作交流，發(fā)表自己的看法，培養(yǎng)學(xué)生概括歸納的能力。 5．課堂小結(jié) 這個(gè)工作我準(zhǔn)備交給學(xué)生去做。讓學(xué)生自己總結(jié)：這節(jié)課你學(xué)到了什么？通過(guò)這節(jié)課你掌握了哪些方法？應(yīng)該注意些什么問(wèn)題？有哪些思想是在以后的學(xué)習(xí)中可以借鑒的等等，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這節(jié)課的內(nèi)容加以鞏固深化. 課后反思 本節(jié)課采用了類比的思維方式，讓學(xué)生明確古典概型與幾何概型的異同。在啟發(fā)式教學(xué)方式的引領(lǐng)下，以問(wèn)題串的形式開啟學(xué)生思維之門。通過(guò)課后檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)本節(jié)課學(xué)生的學(xué)習(xí)效果比較不錯(cuò). 我認(rèn)為本節(jié)課有以下五個(gè)方面做得比較成功. 1．通過(guò)具體的問(wèn)題情境引入，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲. 2．通過(guò)與古典概型對(duì)比，產(chǎn)生矛盾，促使學(xué)生迫切想去探求解決問(wèn)題的方法. 3．分解難度，將抽象的概念“解剖”，易于理解. 4．問(wèn)題設(shè)置層層遞進(jìn)，由淺入深，有層次、有目標(biāo)地解決各個(gè)難點(diǎn)，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律. 5．本節(jié)課中所體現(xiàn)的極限思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想等將會(huì)對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展有所幫助. 本節(jié)課的不足之處在于教師做的準(zhǔn)備工作太多，問(wèn)題設(shè)置得過(guò)于緊密，使得學(xué)生發(fā)揮的空間不夠.如何設(shè)計(jì)問(wèn)題才能使學(xué)生的思維更活躍，不僅能認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題，還能創(chuàng)設(shè)問(wèn)題？這也是我一直在思考的，還望各位同仁不吝賜教. 另外，經(jīng)典的“約會(huì)問(wèn)題”本來(lái)是幾何概型能夠解決的問(wèn)題中最有代表性的，但是由于其中涉及到的線性規(guī)劃知識(shí)要在必修五中才能夠?qū)W到，因此本節(jié)課沒(méi)有將其設(shè)計(jì)在內(nèi). 以上就是我對(duì)《幾何概型》這節(jié)課的設(shè)計(jì)，歡迎各位專家朋友批評(píng)指正，謝謝大家！ 2