《2019版高考數(shù)學(xué) 10.6 幾 何 概 型課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué) 10.6 幾 何 概 型課件.ppt（62頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第六節(jié) 幾 何 概 型,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)幾何概型的定義: 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的_________________ 成比例,則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱(chēng)幾何概型. (2)幾何概型的特點(diǎn): ①無(wú)限性:試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有_______個(gè); ②等可能性:試驗(yàn)結(jié)果在每一個(gè)區(qū)域內(nèi)_____分布.,長(zhǎng)度(面積或體積),無(wú)限多,均勻,(3)幾何概型的概率公式: P(A)=________________________________________. 2.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:隨機(jī)模擬法. (2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.( ) (2)相同環(huán)境下兩次隨機(jī)模擬得到的概率的估計(jì)值是相等的.( ) (3)幾何概型中,每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等.( ) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.( ),【解析】(1)正確.由隨機(jī)模擬方法及幾何概型可知,該說(shuō)法正確. (2)錯(cuò)誤.雖然環(huán)境相同,但是因?yàn)殡S機(jī)模擬得到的是某一次的頻率, 所以結(jié)果不一定相等.(3)正確.由幾何概型的定義知,該說(shuō)法正確. (4)正確.由幾何概型的定義知,該說(shuō)法正確. 答案:(1)√ (2) (3)√ (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修3P140練習(xí)T1改編)有四個(gè)游戲盤(pán),將它們水平放穩(wěn)后,在上面扔一顆玻璃小球,若小球落在陰影部分,則可中獎(jiǎng),小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì),應(yīng)選擇的游戲盤(pán)是( ),【解析】選A.如題干選項(xiàng)中圖,各種情況的概率都是其面積比,中獎(jiǎng)的 概率依次為,(2)(必修3P140例4改編)已知A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2},B= {(x,y)| ≤y}.若在區(qū)域A中隨機(jī)地扔一粒豆子,則該豆子落在 區(qū)域B中的概率為( ),【解析】選A.集合A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2}表示的區(qū)域是一正 方形,其面積為4,集合B={(x,y)| ≤y}表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影 部分,其面積為4- 12π. 所以向區(qū)域A內(nèi)隨機(jī)地扔一粒豆子,則豆子落在區(qū)域B內(nèi)的概率為,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2013陜西高考)如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站,假設(shè)其信號(hào)覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)其他信號(hào)來(lái)源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn),則該地點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率是( ),【解析】選A.由題設(shè)可知,矩形ABCD的面積為2,曲邊形DEBF的面積為 2- ,故所求概率為,(2)(2013四川高考)節(jié)日前夕,小李在家門(mén)前的樹(shù)上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立,且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈在4秒內(nèi)為間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時(shí)通電后,它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是( ),【解析】選C.由于兩串彩燈第一次閃亮相互獨(dú)立 且在通電后4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生,所以總的 基本事件為如圖所示的正方形的面積,而要求的 是第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的基本事件為如圖所示的陰影部 分的面積,根據(jù)幾何概型的計(jì)算公式可知它們第一次閃亮的時(shí)刻相差 不超過(guò)2秒的概率是 故選C.,(3)(2013福建高考)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a,則事件“3a-10”的概率為 . 【解析】設(shè)事件A:“3a-10”,則a∈ 所以P(A)= 答案:,考點(diǎn)1 與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型 【典例1】(1)已知圓C:x2+y2=12,直線l:4x+3y=25.圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為 . (2)已知A是圓上固定的一點(diǎn),在圓上其他位置上任取一點(diǎn)A′,則AA′的長(zhǎng)度小于半徑的概率為 .,【解題提示】(1)可轉(zhuǎn)化為兩平行線間的距離求解. (2)可將AA′的長(zhǎng)度小于半徑轉(zhuǎn)化為與A,A′兩點(diǎn)有關(guān)的角度問(wèn)題.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)直線4x+3y=c到圓心的距離為3,則 =3,取c=15, 則直線4x+3y=15把圓所截得的劣弧的長(zhǎng)度和整個(gè)圓的周長(zhǎng)的比值即是 所求的概率,由于圓半徑是2 ,則可得直線4x+3y=15截得的圓弧所 對(duì)的圓心角為60,故所求的概率是 . 答案:,(2)如圖,滿(mǎn)足AA′的長(zhǎng)度小于半徑的點(diǎn)A′位于劣弧上,其中△ABO和 △ACO為等邊三角形,可知∠BOC= ,故所求事件的概率P= 答案:,【一題多解】解答本題還可以用如下方法: 如例題解析中圖,滿(mǎn)足AA′的長(zhǎng)度小于半徑的點(diǎn)A′位于劣弧上,其中 △ABO和△ACO為等邊三角形,所以其概率P= 答案:,【互動(dòng)探究】本例(1)條件變?yōu)?“已知圓O:x2+y2=12,設(shè)M為此圓周上 一定點(diǎn),在圓周上等可能地任取一點(diǎn)N,連接MN”,求弦MN的長(zhǎng)超過(guò)2 的概率.,【解析】如圖,在圖上過(guò)圓心O作OM⊥直徑CD.則|MD|=|MC|=2 .當(dāng) N點(diǎn)不在半圓弧CMD上時(shí),|MN|2 .所以P(|MN|2 )= .,【規(guī)律方法】 1.與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示,則其概率的計(jì)算公式為,2.與角度有關(guān)的幾何概型 當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng),扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí),應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率,且不可用線段的長(zhǎng)度代替,這是兩種不同的度量手段.,【變式訓(xùn)練】1.(2015淄博模擬)設(shè)P在[0,5]上隨機(jī)地取值,則關(guān)于x的方程x2+px+1=0有實(shí)數(shù)根的概率為( ),2.如圖,四邊形ABCD為矩形,AB= ,BC=1,以A為圓心,1為半徑作四 分之一個(gè)圓弧DE,在∠DAB內(nèi)任作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點(diǎn) 的概率為 .,【解析】1.選C.方程有實(shí)根,則Δ=p2-4≥0,解得p≥2或p≤-2(舍去). 所以所求概率為,2.因?yàn)樵凇螪AB內(nèi)任作射線AP,則等可能基本事件為“∠DAB內(nèi)作射線 AP”,所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域H是∠DAB,當(dāng)射線AP與線 段BC有公共點(diǎn)時(shí),射線AP落在∠CAB內(nèi),區(qū)域h為∠CAB,所以射線AP與 線段BC有公共點(diǎn)的概率為 答案:,【加固訓(xùn)練】在Rt△ABC中,∠BAC=90,AB=1,BC=2.在BC邊上任取一點(diǎn)M,則∠AMB≥90的概率為 .,【解析】如圖,在Rt△ABC中,作AD⊥BC,D為垂足,由題意可得BD= , 且點(diǎn)M在BD上時(shí),滿(mǎn)足∠AMB≥90,故所求概率P= 答案:,考點(diǎn)2 與面積、體積有關(guān)的幾何概型 【典例2】(1)在Rt△ABC中,∠A為直角,且AB=3,BC=5,若在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的距離均不小于1的概率是( ),(2)(2015煙臺(tái)模擬)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為( ),【解題提示】(1)應(yīng)先考慮到三個(gè)頂點(diǎn)距離有一個(gè)小于1的點(diǎn)圍成的圖形的面積等于多少?(2)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的點(diǎn)位于以O(shè)為球心,以1為半徑的半球的外部.,【規(guī)范解答】 (1)選D.如圖所示,在Rt△ABC中,AC= =4.故Rt△ABC的面積為 ABAC= 34=6.在Rt△ABC內(nèi)任取一點(diǎn),該點(diǎn)到三個(gè) 頂點(diǎn)的距離均不小于1,則該點(diǎn)應(yīng)在圖中的陰影部分內(nèi),陰影部分的面 積為6- π12=6- ,由幾何概型的概率計(jì)算公式可知,該點(diǎn)到三個(gè) 頂點(diǎn)的距離均不小于1的概率為,(2)選B.點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的點(diǎn)位于以O(shè)為球心,以1為半徑的半球 的外部.記點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1為事件A,則,【規(guī)律方法】解決與面積有關(guān)的幾何概型的方法 求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí),關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的幾何元素,必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.,【變式訓(xùn)練】1.(2015蘭州模擬)如圖,矩形ABCD內(nèi)的陰影部分是由曲線f(x)=2x2-2x與直線y=2x圍成的,現(xiàn)向矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn),則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為 .,【解析】因?yàn)閒(x)=2x2-2x與y=2x的交點(diǎn)為(0,0)和(2,4). 曲線f(x)=2x2-2x與x軸的交點(diǎn)為(0,0),(1,0), 其頂點(diǎn)為 所以矩形ABCD的面積為(4+ )2=9,陰影部分面積為 所以該點(diǎn)落在陰影部分的概率為 答案:,2.(2015哈爾濱模擬)在體積為V的三棱錐S-ABC的棱AB上任取一點(diǎn)P, 則三棱錐S-APC的體積大于 的概率是 .,【解析】如圖,三棱錐S-ABC的高與三棱錐S-APC的高相同.作PM⊥AC 于M,BN⊥AC于N,則PM,BN分別為△APC與△ABC的高,所以 又 所以 時(shí),滿(mǎn)足條件.設(shè) 則P在BD 上,所求的概率P= 答案:,【加固訓(xùn)練】如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,在正方體內(nèi)隨機(jī) 取點(diǎn)M,則使四棱錐M-ABCD的體積小于 的概率為 .,【解析】過(guò)M作平面RS∥平面AC,則兩平面間的距離是四棱錐M-ABCD 的高,顯然M在平面RS上任意位置時(shí),四棱錐M-ABCD的體積都相等.若 此時(shí)四棱錐M-ABCD的體積等于 ,只要M在截面以下即可小于 ,當(dāng) VM-ABCD= 時(shí),即 11h= ,解得h= ,即點(diǎn)M到底面ABCD的距離, 所以所求概率P= 答案:,考點(diǎn)3 幾何概型與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題 知考情 幾何概型是近幾年高考的熱點(diǎn)之一.常見(jiàn)的命題角度有:與三角形、矩形、圓等平面圖形面積有關(guān)的問(wèn)題;與隨機(jī)模擬有關(guān)的概率問(wèn)題;與線性規(guī)劃知識(shí)交匯命題的問(wèn)題;與定積分交匯命題的問(wèn)題.,明角度 命題角度1:幾何概型與定積分交匯問(wèn)題 【典例3】(2014遼寧高考)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(-1,-1),B(1,-1), C(1,1),D(-1,1)分別在拋物線y=-x2和y=x2上,如圖所示,若將一個(gè)質(zhì) 點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中,則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是 .,【解題提示】可依據(jù)定積分的幾何意義,求出陰影部分的面積,再利用幾何概型概率公式求解.,【規(guī)范解答】陰影部分面積S陰等于正方形面積S減去其內(nèi)部的非陰影 部分的面積S1,由對(duì)稱(chēng)性可知, 根據(jù)幾何概型知,質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是P= 答案:,命題角度2:幾何概型與不等式(組)交匯問(wèn)題 【典例4】(2014湖北高考)由不等式組 確定的平面區(qū) 域記為Ω1,不等式組 確定的平面區(qū)域記為Ω2,在Ω1中隨 機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為( ),【解題提示】首先根據(jù)給出的不等式組表示出平面區(qū)域,然后利用面積型的幾何概型概率公式求解.,【規(guī)范解答】選D.依題意,不等式組表示的平面區(qū)域如圖, 由幾何概型概率公式知,該點(diǎn)落在Ω2內(nèi)的概率為P=,悟技法 兩種常見(jiàn)幾何概型的解決方法 (1)線型幾何概型: 當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí).一般是把這個(gè)變量看成一條線段或角,這樣基本事件就構(gòu)成了,即可借助于線段(或角度)的度量比來(lái)求解.,(2)面型幾何概型: 當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí),一般是把這兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為面積的度量來(lái)解決.,通一類(lèi) 1.(2015成都模擬)如圖所示,半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的 陰影區(qū)域,在圓中隨機(jī)扔一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 ,則 陰影部分的面積是( ) A. B.π C.2π D.3π,【解析】選D.設(shè)陰影部分的面積為S1,圓的面積S=π32=9π,由幾何概 型的概率計(jì)算公式得 得S1=3π.,2.(2015玉溪模擬)若任取x,y∈[0,1],則點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足y 的概 率為( ),【解析】選A.由題意可得,x,y∈[0,1],所對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方 形,面積為1.記“點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足y 為事件A,則A包含的區(qū)域由 確定的區(qū)域的面積為 所以P(A)= .,3.(2015威海模擬)若不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)镸, (x-4)2+y2≤1表示的平面區(qū)域?yàn)镹,現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域內(nèi)拋一粒豆子,則該 豆子落在平面區(qū)域N內(nèi)的概率是 .,【解析】 如圖所示: 答案:,自我糾錯(cuò)28 求幾何概型的概率 【典例】在等腰直角△ABC中,過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)作一條射線CD與線段AB交于點(diǎn)D,求ADAC的概率.,【解題過(guò)程】,【錯(cuò)解分析】分析以上解題過(guò)程,你知道錯(cuò)在哪里嗎? 提示:解題過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是不能準(zhǔn)確找出事件的幾何度量,選錯(cuò)幾何度量導(dǎo)致錯(cuò)解.,【規(guī)避策略】(1)處理幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵:幾何概型試驗(yàn)所包含的基本事件無(wú)法一一列舉出來(lái),如何將某一事件所包含的基本事件用“長(zhǎng)度”“角度”“面積”“體積”等表示出來(lái)是關(guān)鍵. (2)正確認(rèn)識(shí)測(cè)度:當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制即值域大小有關(guān)時(shí),應(yīng)用長(zhǎng)度;當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制即與形狀的大小有關(guān)時(shí),應(yīng)用面積.,【自我矯正】射線CD在∠ACB內(nèi)是均勻分布的,故∠ACB=90可看成 試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域,在線段AB上取一點(diǎn)E,使AE=AC,則∠ACE= 67.5可看成事件構(gòu)成的區(qū)域,所以滿(mǎn)足條件的概率為,