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第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)向量的夾角:,∠AOB,0≤θ≤,180,a∥,b,θ=90,(2)平面向量的數(shù)量積:,|a||b|cosθ,|a|cosθ,|b|cosθ,|b|cosθ,(3)數(shù)量積的性質: 設a,b都是非零向量,e是單位向量,θ為a與b(或e)的夾角.則 ①ea=ae= _________. ②cosθ=________. ③ab≤_______.,|a|cosθ,|a||b|,(4)數(shù)量積的運算律: ①交換律:ab=ba. ②數(shù)乘結合律:(λa)b= _________= _________. ③分配律:a(b+c)=__________.,λ(ab),a(λb),ab+ac,(5)平面向量數(shù)量積的坐標表示: 設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a與b的夾角為θ,則,x1x2+y1y2,x1x2+y1y2=0,2.必備結論 教材提煉 記一記 (1)a與b為兩非零向量,則a⊥b?_______. (2)當a與b同向時,ab=|a||b|. 當a與b反向時,ab=-|a||b|, 特別地,aa= ____或者|a|=_______,0a=__.,ab=0,|a|2,0,(3)平面向量數(shù)量積運算的常用公式 ①(a+b)(a-b)=a2-b2. ②(a+b)2=a2+2ab+b2. ③(a-b)2=___________.,a2-2ab+b2,3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法:基底法;坐標法. (2)常用思想:方程思想,數(shù)形結合思想,轉化與化歸思想. (3)記憶口訣:乘積結果為數(shù)量,坐標運算是良方. 橫縱坐標分別乘,相加求和積充當.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)一個向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量,且有正有負.( ) (2)若ab=0,則必有a⊥b.( ) (3)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結果是向量.( ) (4)若ab0,則向量a,b的夾角為鈍角.( ),【解析】(1)正確.由向量投影的定義可知,當兩向量夾角為銳角時結果為正,為鈍角時結果為負. (2)錯誤.當a與b至少有一個為0時得不到a⊥b. (3)正確.由數(shù)量積與向量線性運算的意義可知,正確. (4)錯誤.當ab=-|a||b|時,a與b的夾角為π. 答案:(1)√ (2) (3)√ (4),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P104例1改編)已知|a|=2,|b|=4,ab=4 ,則a與b的夾 角θ= . 【解析】因為ab=|a||b|cosθ, 所以cosθ= 又因為0≤θ≤180,故θ=30. 答案:30,(2)(必修4P105例4改編)已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb與a-kb互相垂直,則實數(shù)k= . 【解析】由已知a=(1,2),b=(3,4), 若互相垂直,則(a+kb)(a-kb)=0, 即a2-k2b2=0, 即5-25k2=0,即k2= , 所以k= . 答案:,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014新課標全國卷Ⅱ)設向量a,b滿足|a+b|= ,|a-b|= , 則ab=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 【解題提示】將|a+b|,|a-b|兩邊平方,聯(lián)立方程求解ab. 【解析】選A.因為|a+b|= ,|a-b|= ,所以a2+b2+2ab=10, a2+b2-2ab=6,聯(lián)立方程解得ab=1,故選A.,(2)(2014四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m= . 【解題提示】先求出c的坐標,再代入向量夾角公式,解方程即可求出m的值.,【解析】由于a=(1,2),b=(4,2), 所以c=ma+b=(m+4,2m+2), 又由于c與a的夾角等于c與b的夾角, 即cos=cos,也就是 即得 解得m=2. 答案:2,(3)(2015青島模擬)已知|a|=2,向量a與b的夾角是 ,則a在b上 的投影是 . 【解析】a在b上的投影是|a|cos = 答案:-,考點1 平面向量數(shù)量積的運算 【典例1】(1)(2015湛江模擬)已知等邊三角形ABC的邊長為1,設 =a, =b, =c,則ab+bc+ca= . (2)(2015大慶模擬)已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動 點.則 的值為 , 的最大值為 .,【解題提示】(1)利用數(shù)量積的定義求解.要注意夾角的大小. (2)結合已知條件建系,利用坐標求解.,【規(guī)范解答】(1)如圖,得a與b,b與c,c與a的夾角都是120, 又|a|=|b|=|c|=1, 所以原式=11cos120+11 cos120+11cos120 答案:-,(2)如圖所示,以AB,AD所在的直線分別為x,y軸建立直角坐標系,設 E(t,0),0≤t≤1,則D(0,1),B(1,0),C(1,1), =(t,-1), =(0, -1),所以 =1.又因為 =(1,0), 所以 =t≤1. 答案:1 1,【一題多解】解答本題,你知道還有幾種解法? 方法一:選取{ }作為基底,設 0≤t≤1,則 = =0+1=1. =t≤1. 答案:1 1,方法二:利用幾何意義可知 = = =1. 設 則 = =|t|≤1. 答案:1 1,【易錯警示】解答本例題(1)易出現(xiàn)如下錯誤 在解題過程中,只看到△ABC是等邊三角形,就誤認為a與b,b與c,a與c的夾角均為60從而錯解.,【互動探究】本例(2)中,當E是AB的中點時,試求 上的投影. 【解析】方法一:如圖,過點E作EF⊥DC, 垂足為F,由投影的定義知, 上的投影是 . 方法二:如圖,向量 的夾角是∠EDC, 所以 上的投影是| |cos∠EDC=,【規(guī)律方法】向量數(shù)量積的兩種計算方法 (1)當已知向量的模和夾角θ時,可利用定義法求解,即ab= |a||b|cosθ. (2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1), b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.,【變式訓練】已知a=(1,2),2a-b=(3,1),則ab=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】選D.由已知得a(2a-b)=2a2-ab= 2|a|2-ab=25-ab=3+2,故ab=10-5=5.,【加固訓練】1.(2013新課標全國卷Ⅰ)已知兩個單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,則t= . 【解析】由c=ta+(1-t)b得,bc=tab+(1-t)b2=0,整理得t|a||b|cos60+(1-t)|b|2=0,化簡得 t+1-t=0,所以t=2. 答案:2,2.(2013新課標全國卷Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點, 則 = . 【解析】以A為原點,以AB,AD為x,y軸建系,則A(0,0),B(2,0),D(0,2), E(1,2)故 =(1,2), =(-2,2). 故 =1(-2)+22=2. 答案:2,考點2 平面向量的垂直與夾角問題 【典例2】(1)(2014山東高考)在△ABC中,已知 =tanA,當A= 時,△ABC的面積為 . (2)已知向量 與 的夾角為120,且| |=3,| |=2.若 = λ + ,且 試求實數(shù)λ的值.,【解題提示】(1)由向量數(shù)量積的定義得出兩邊之積后再利用面積公式求面積. (2)利用 作基底,利用已知垂直關系得到的方程求解.,【規(guī)范解答】(1)由已知及平面向量數(shù)量積的定義可得 所以 所以S△ABC= 答案:,(2)因為 所以 =0, 即 = 故(λ-1)32(- )+4-9λ=0,解得λ= .,【規(guī)律方法】平面向量數(shù)量積的兩個應用 (1)求夾角大小:若a,b為非零向量,則由平面向量的數(shù)量積公式得 cosθ= (夾角公式),所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關 角度的問題. (2)確定夾角的范圍:數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角, 數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向 量不共線時兩向量的夾角為鈍角.,【變式訓練】若|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a,則a與b的夾角是( ) 【解析】選A.根據(jù)題意,由于|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a,則有(a+b)a =0?a2+ba=0?4+ba=0,所以ba=-4,那么可知a與b的夾角的余 弦值為 則a與b的夾角是 .,【加固訓練】1.(2013安徽高考)若非零向量a,b滿足|a|=3|b|= |a+2b|,則a與b夾角的余弦值為 . 【解析】由|a|=|a+2b|,設a與b的夾角為θ,等式兩邊平方得a2+4ab+4b2=a2?ab=-b2,所以cosθ= 答案:-,2.設向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a⊥(a-b),則x= . 【解析】由題知a-b=(x-1+x-1,1-3)=(2x-2,-2), 又因為a⊥(a-b),所以a(a-b)=0, 所以(x-1)(2x-2)+1(-2)=0,即x2-2x=0, 所以x=0或x=2. 答案:0或2,考點3 平面向量數(shù)量積的應用 知考情 利用平面向量數(shù)量積求模及范圍、求參數(shù)的范圍或值,是高考考查數(shù)量積的一個重要考向,常與三角、平面幾何、解析幾何等知識相聯(lián)系.以選擇題、填空題為主,是中低檔題.,明角度 命題角度1:根據(jù)向量數(shù)量積求?；蚰５姆秶?【典例3】(2014湖南高考)在平面直角坐標系中,O為原點,A(-1,0), B(0, ),C(3,0),動點D滿足| |=1,則| + + |的最大值 是 .,【解題提示】把 拆分為 + ,再利用|a+b|≤|a|+|b|求解. 【解析】 答案:,命題角度2:利用平面向量數(shù)量積求參數(shù)的值 【典例4】(2014天津高考)已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120, 點E,F分別在邊BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若 則λ+μ=( ),【規(guī)范解答】選C.方法一:因為∠BAD=120,所以 因為BE=λBC,DF=μDC, 所以 因為 =1, 所以 =1, 即2λ+2μ-λμ= ① 同理可得λμ-λ-μ=- ②,①+②得λ+μ= .,方法二:建系如圖: 易知A(0,-1),B(- ,0),C(0,1), D( ,0), 由 得E( λ- ,λ). 得F( - μ,μ). 故 =((λ-1) ,λ+1), =((1-μ) ,μ+1), =((λ-1) ,λ-1),,=((1-μ) ,μ-1), 所以 =3(-λμ+λ+μ-1)+λμ+λ+μ+1=1, 即-2λμ+4λ+4μ=3. 所以2(λ+μ)-λμ= . ① =3(λ-λu-1+μ)+λμ-λ-μ+1 =2(λ+μ)-2λμ-2=- , 即λ+μ-λu= . ② ①-②得λ+μ=,悟技法 根據(jù)數(shù)量積求?；騾?shù)的值(范圍)的一般思路 (1)利用數(shù)量積求模:通常利用已知找準基底或坐標,利用基底或坐標運算,有時需用化歸思想,轉化為其他問題求解. (2)利用數(shù)量積求參數(shù)的值(范圍):通常有兩種運算法,一是基底法,二是坐標法,找準解題目標,利用已知條件列出方程或方程組求解即可.,通一類 1.(2015昆明模擬)已知△ABC為等邊三角形,AB=2,設點P,Q滿足 λ∈R,若 則λ=( ),【解析】選A.由題意得 又因為 且| |=| |=2, =60,,=2, 所以 即 所以4λ+2(λ2-λ-1)+4(1-λ)= , 解得λ= .,2.(2013湖南高考)已知a,b是單位向量,ab=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的最大值為( ),【解析】方法一:選C.條件|c-a-b|=1可以理解成如圖的情況 而|a+b|= ,向量c的終點在單位圓上,故|c|的最大值為 +1. 方法二:選C.由題意,得|a|=|b|=1,ab=0, 所以|a+b|= , 因為|c-a-b|=1, 所以|c-a-b|2=c2-2c(a+b)+(a+b)2=1.,設c與a+b的夾角為θ, 則|c|2-2|c| cosθ+2=1, 即|c|2+1=2 |c|cosθ≤2 |c|,|c|2-2 |c|+1≤0, 解得 -1≤|c|≤ +1. 故|c|的最大值為 +1.,3.(2013浙江高考)設e1,e2為單位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R. 若e1,e2的夾角為 ,則 的最大值等于 . 【解析】,當x=0時, =0; 當x≠0時, 令 =t,則 ≤4, 所以 的最大值為2. 答案:2,創(chuàng)新體驗4 平面向量數(shù)量積中的創(chuàng)新問題 【創(chuàng)新點撥】 1.以向量為載體的創(chuàng)新問題是近幾年高考命題的一個熱點,此類問題通常以數(shù)量積運算為核心,通過數(shù)形結合,轉化化歸等途徑,解決與幾何有關的問題,或以向量自身為背景,解決有關模、夾角等問題. 2.命題形式常見有新法則、新定義、新背景、新性質、新運算等.,【新題快遞】 1.(2014安徽高考)在平面直角坐標系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b| =1,ab=0,點Q滿足 = (a+b).曲線C={P| =acosθ+bsinθ, 0≤θ≤2π},區(qū)域Ω={P|0r≤| |≤R,rR}.若C∩Ω為兩段分離 的曲線,則( ) A.1rR3 B.1r3≤R C.r≤1R3 D.1r3R,【解題提示】設向量a=(1,0),b=(0,1),利用數(shù)形結合判斷. 【解析】選A.設a=(1,0),b=(0,1), 則 畫出圖象如圖所示, 因為C為單位圓,區(qū)域Ω為圓環(huán),|OQ|=2, 所以1rR3.,2.(2015泉州模擬)對任意兩個非零向量 定義 若平 面向量a,b滿足|a|≥|b|0,a與b的夾角θ∈(0, ),且 都 在集合{ |n∈Z}中,則 =( ),【解析】選C.根據(jù)題中的向量的新運算及向量的數(shù)量積,可知 因為θ∈(0, ),所以 cosθ1.,又因為|a|≥|b|0, 所以0 ≤1,所以0 cosθ1, 即 ∈(0,1).又 ∈ 所以 = , 由①②得, =cos2θ∈( ,1), 所以 ( )1, 所以1 2,所以 = .,3.(2015濰坊模擬)定義平面向量之間的一種運算“☉”如下:對任意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np,下面說法錯誤的是( ) A.若a與b共線,則a☉b=0 B.a☉b=b☉a C.對任意的λ∈R,有(λa)☉b=λ(a☉b) D.(a☉b)2+(ab)2=a2b2,【解析】選B.對于A,由a與b共線,得mq-np=0,即a☉b=0,故A正確; 對于B,由新定義知,a☉b=mq-np,而b☉a=np-mq,所以a☉b≠b☉a,故B 錯誤; 對于C,(λa)☉b=(λm,λn)☉(p,q)=λmq-λnp=λ(mq-np)=λ(a☉b), 故C正確; 對于D,(a☉b)2+(ab)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2= (m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正確.,【備考指導】 1.準確轉化:解決數(shù)量積中創(chuàng)新問題時,一定要讀懂題目的本質含義.緊扣題目所給條件,結合題目要求恰當轉化,切忌同已有的概念或定義混淆. 2.方法選取:對于創(chuàng)新問題,要恰當選取解題方法,如數(shù)形結合,等價轉化,特殊值,逐一排除等方法,并結合數(shù)量積性質求解.,