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第四節(jié) 平面向量應(yīng)用舉例,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)向量在平面幾何中的應(yīng)用:,a=λb(b≠0),x1y2-x2y1=0,ab=0,x1x2+y1y2=0,(2)向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用: 以向量為載體利用向量的共線、垂直、數(shù)量積等的坐標(biāo)運算,轉(zhuǎn)化成 三角函數(shù)問題,以解決三角函數(shù)中的圖象、性質(zhì)等問題. (3)向量在物理中的應(yīng)用: ①由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解與合成和向 量的減法和加法相似,可以用向量的知識來解決. ②物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量,是力F與位移s的數(shù)量積,即W=_____= ____________(θ為F與s的夾角).,Fs,|F||s|cosθ,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)在△ABC中,D是BC的中點,則 =_____. (2)在△ABC中,若 =0,則點O是△ABC的_____. 3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:向量法、坐標(biāo)法. (2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想.,重心,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)在四邊形ABCD中,若 則四邊形為平行四邊形.( ) (2)a,b是非零向量,若|a+b|=|a-b|,則a⊥b.( ) (3)在△ABC中,若 0,則△ABC為鈍角三角形.( ) (4)作用于同一點的兩個力F1和F2的夾角為 ,且|F1|=3,|F2|=5,則 F1+F2大小為 .( ),【解析】(1)正確.在四邊形ABCD中,由 可得AB=DC且AB∥CD. 由平行四邊形定義可知ABCD為平行四邊形. (2)正確.由|a+b|=|a-b|得ab=0,從而a⊥b. (3)錯誤.由 0可知在△ABC中∠B的補角為鈍角可判斷∠B為 銳角,而無法得出△ABC為鈍角三角形.,(4)正確.由已知可得|F1+F2|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos =9+25-235 =19, 所以|F1+F2|= . 答案:(1)√ (2)√ (3) (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P113A組T1改編)已知點A(1,0),拋物線y2=4x,點Q是拋物線 上的一點,若 則點P的軌跡方程為 .,【解析】設(shè)Q(x0,y0),P(x,y), 由 得(1-x0,-y0)=2(x-1,y), 即 又(x0,y0)滿足y2=4x, 故4y2=4(3-2x),即y2=3-2x. 答案:y2=3-2x,(2)(必修4P113A組T4改編)O為△ABC的重心.若OA=1,OB= , ∠AOB= ,則OC= . 【解析】因為O為△ABC的重心,所以 =0, 即 所以 所以| |= +1. 答案:1+,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014上海高考)如圖,四個邊長為1的小正方形排成一個大正方 形,AB是大正方形的一條邊,Pi(i=1,2,…7)是小正方形的其余頂點,則 (i=1,2,…7)的不同值的個數(shù)為( ) A.7 B.5 C.3 D.2,【解析】選C.當(dāng)Pi取P2,P5時, =0, 當(dāng)Pi取P1,P3,P6時, 當(dāng)Pi取P4,P7時, 所以取值共有三個.,(2)(2013福建高考)在四邊形ABCD中, =(1,2), =(-4,2),則 該四邊形的面積為( ) A. B.2 C.5 D.10 【解析】選C.因為 =0,所以AC,BD是互相垂直的對角線,所以 S=,(3)(2015杭州模擬)已知非零向量 與 滿足 =0 且 則△ABC為( ) A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形,【解析】選A.因為 = 所以∠BAC=60, 又 與以∠BAC為頂角的菱形的一條對角線共線, 即是∠BAC的平分線, 由題意,得∠BAC的平分線與BC邊垂直, 所以AB=AC,故△ABC為等邊三角形.,(4)(2015慶陽模擬)已知a=(cosθ,sinθ),b=( ,-1),f(θ)= ab,則f(θ)的最大值為 . 【解析】f(θ)=ab= cosθ-sinθ=2( cosθ- sinθ) =2cos(θ+ ),故當(dāng)θ=2kπ- (k∈Z)時,f(θ)max=2. 答案:2,考點1 向量在平面幾何中的應(yīng)用 【典例1】(1)(2013浙江高考)設(shè)△ABC,P0是邊AB上一定點,滿足 P0B= AB,且對于邊AB上任一點P,恒有 則( ) A.∠ABC=90 B.∠BAC=90 C.AB=AC D.AC=BC,(2)(2013天津高考)在平行四邊形ABCD中,AD=1,∠BAD=60,E為CD 的中點.若 則AB的長為 .,【解題提示】(1)利用坐標(biāo)運算,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)出點的坐標(biāo), 利用已知求解. (2)根據(jù)題意,選取 當(dāng)基底,根據(jù)向量的加法及平面向量基本 定理由 表示 由 列方程求AB的長,或建系用 向量的坐標(biāo)運算求AB的長.,【規(guī)范解答】(1)選D.設(shè)AB=4,以AB所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系,則A(-2,0),B(2,0),P0(1,0), 設(shè)點C(a,b),動點P(x,0), 所以 由 恒成立,,得(2-x)(a-x)≥a-1, 即x2-(2+a)x+a+1≥0恒成立. 所以Δ=(2+a)2-4(a+1)=a2≤0,則a=0. 因此點C在線段AB的中垂線上,故,(2)因為 所以 = =1, 所以 解得 答案:,【一題多解】解答本題你還有其他解法嗎? 【解析】如圖,以A為原點,AD所在直線為x軸建立 直角坐標(biāo)系,則A(0,0), D(1,0),設(shè)AB的長為a,則 因為E是CD的中點,所以 所以 即2a2-a=0,解得a= 或a=0(舍去).故AB 的長為 .,【互動探究】本例(2)中其他條件不變,若AB= ,試求 的值. 【解析】如圖,令 =a, =b,則 |a|= ,|b|=1,a與b的夾角為60, =a+b, 因為E是CD的中點, 所以 故,【規(guī)律方法】向量與平面幾何綜合問題的解法 (1)坐標(biāo)法 把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中,則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示,這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算,從而使問題得到解決.,(2)基向量法 適當(dāng)選取一組基底,溝通向量之間的聯(lián)系,利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解. 提醒:用坐標(biāo)法解題時,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵,用基向量解題時要選擇適當(dāng)?shù)幕?,【變式訓(xùn)練】(2015臨沂模擬)在平行四邊形ABCD中, =(cos18, cos72), =(2cos63,2cos27),則四邊形ABCD的面積為( ) 【解題提示】因為S?ABCD=2S△ABC,故可先求S△ABC.,【解析】選B.由 =(cos18,cos72)得 =(-cos18,-sin18).又 =(2sin27,2cos27), 故| |=1,| |=2, 且cos∠ABC=,又0∠ABCπ,所以sin∠ABC= , 所以S△ABC= 所以S?ABCD=2S△ABC=2 = .,【加固訓(xùn)練】1.在△ABC中,若 則△ABC的形狀為 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不能確定 【解析】選B.根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知| |等于 AC邊上的中線的二倍,所以由 知AC邊的中線長等于AC 長度的一半,所以△ABC為直角三角形.,2.(2014滄州模擬)平面上O,A,B三點不共線,設(shè) =a, =b,則 △OAB的面積等于( ),【解析】選C.由條件得cos= 所以sin= = 所以S△OAB= |a||b|sin,考點2 向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 知考情 利用向量的共線與垂直和向量數(shù)量積之間的關(guān)系建立三角方程,或三角函數(shù)式,從而解決三角函數(shù)中的求值、求角及求最值問題,是高考考查熱點,以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn).,明角度 命題角度1:利用向量數(shù)量積求三角函數(shù)的值 【典例2】(2015濟(jì)寧模擬)設(shè)a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ) (0αβ )是平面上兩個向量,若ab= ,且tanβ= ,則tanα= . 【解題提示】利用已知轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù),再利用同角三角函 數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正切公式求解.,【規(guī)范解答】ab=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)= , 因為0αβ ,所以- α-β0, 所以sin(α-β)=- ,tan(α-β)=- . 所以tanα=tan[(α-β)+β]= = 所以tanα= . 答案:,命題角度2:利用向量求角的大小 【典例3】(2013江蘇高考改編)已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ, sinβ),0βαπ.若c=(0,1),且a+b=c,則α= ,β= . 【解題提示】利用向量相等列出關(guān)于α,β的方程,由三角函數(shù)變換求 解.,【規(guī)范解答】因為a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),所以 由(1)得,cosα=cos(π-β),由0β,所以α= , β= . 答案:,悟技法 利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路 (1)求三角函數(shù)值,一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解. (2)求角時通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,先求值再求角. (3)解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,即通過向量的相關(guān)運算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.,通一類 1.(2015日照模擬)已知向量a=(sinα,2)與向量b=(cosα,1)平行, 則tan2α的值為 . 【解析】因為向量a=(sinα,2)與b=(cosα,1)平行,所以sinα- 2cosα=0,即tanα=2,故tan2α= 答案:,2.(2015汕頭模擬)若向量a=( ,sinα),b=(cosα, ),且a∥b,則 銳角α的大小是 . 【解析】因為a∥b,所以 -sinαcosα=0,所以sin2α=1,又α 為銳角,故α= . 答案:,3.(2015淮南模擬)如圖,A,B是單位圓上的動點, C是單位圓與x軸的正半軸的交點,且∠AOB= , 記∠COA=θ,θ∈(0,π),△AOC的面積為S. (1)若f(θ)= +2S,試求f(θ)的最大值以及此時θ的值. (2)當(dāng)A點坐標(biāo)為 時,求| |2的值.,【解析】(1)S= 則f(θ)= 因為θ∈(0,π),故θ= 時,f(θ)max=1.,(2)依題cosθ=- ,sinθ= , 在△BOC中,∠BOC=θ+ . 由余弦定理得:| |2=1+1-211cos(θ+ ) =,考點3 向量在解析幾何中的應(yīng)用 【典例4】(1)(2015綿陽模擬)已知兩點M(-3,0),N(3,0),點P為坐 標(biāo)平面內(nèi)一動點,且 =0,則動點P(x,y)到點M(-3,0) 的距離d的最小值為( ) A.2 B.3 C.4 D.6,(2)(2015大連模擬)已知橢圓方程為 =1,點A(1,1),M為橢圓 上任意一點,動點N滿足 則N點的軌跡方程為 .,【解題提示】(1)利用已知求P點的軌跡方程,再利用幾何意義求解. (2)設(shè)出動點N的坐標(biāo)和M點坐標(biāo),利用已知條件,由代入法可得N點軌跡方程.,【規(guī)范解答】(1)選B.因為M(-3,0),N(3,0),所以 =(6,0),| | =6, =(x+3,y), =(x-3,y). 由 =0得 +6(x-3)=0,化簡得y2=-12x, 所以點M是拋物線y2=-12x的焦點,所以點P到點M的距離的最小值就是 原點到M(-3,0)的距離,所以dmin=3.,(2)設(shè)M(x1,y1),N(x,y),則由已知得(x-1,y-1)=2(x1-1,y1-1),即 得 因為M點在橢圓上,故M點坐標(biāo)滿足方程. 所以 =1. 答案: =1,【規(guī)律方法】向量在解析幾何中的“兩個”作用 (1)載體作用:向量在解析幾何問題中出現(xiàn),多用于“包裝”,解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”,導(dǎo)出曲線上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.,(2)工具作用:利用a⊥b?ab=0(a,b為非零向量),a∥b?a=λb(b≠ 0),可解決垂直、平行問題,特別地,向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于 解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較優(yōu)越的方法.,【變式訓(xùn)練】(2015海濱模擬)已知平面上一定點C(2,0)和直線l:x= 8,P為該平面上一動點,作PQ⊥l,垂足為Q,且 =0, 則點P的軌跡方程是 .,【解析】設(shè)P(x,y),則Q(8,y), 由 =0,得 | |2- | |2=0,即(x-2)2+y2- (x-8)2=0, 化簡得 =1. 答案: =1,【加固訓(xùn)練】1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若定點A(1,2)與動點P(x,y) 滿足 =4,則點P的軌跡方程是 . 【解析】因為定點A(1,2)與動點P(x,y)滿足 =4,所以(x,y)(1,2)=4,即x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0,2.(2014蘭州模擬)已知點P(0,-3),點A在x軸上,點Q在y軸的正半軸 上,點M滿足 當(dāng)點A在x軸上移動時. (1)求動點M的軌跡方程. (2)若EF為圓N:x2+(y-1)2=1的一條直徑,求 的取值范圍.,【解析】(1)設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任一點, 設(shè)A(a,0),Q(0,b)(b0), 則 =(a,3), =(x-a,y), =(-x,b-y), 由 =0,得a(x-a)+3y=0.① 由 得(x-a,y)=- (-x,b-y)=( x, (y-b)),,所以 所以 把a= 代入①,得 整理得y= x2(x≠0).,(2)因為 所以 =x2+(y-1)2-1=y2+2y=(y+1)2-1. 因為y0,所以(y+1)2-10, 故 的取值范圍為(0,+∞).,規(guī)范解答6 平面向量與三角函數(shù)相結(jié)合的綜合問題 【典例】(12分)(2014山東高考)已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x, n),函數(shù)f(x)=ab,且y=f(x)的圖象過點 和點,(1)求m,n的值. (2)將y=f(x)的圖象向左平移φ(0φπ)個單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若y=g(x)的圖象上各最高點到點(0,3)的距離的最小值為1,求y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間.,解題導(dǎo)思 研讀信息 快速破題,規(guī)范解答 閱卷標(biāo)準(zhǔn) 體會規(guī)范 (1)已知f(x)=ab=msin 2x+ncos 2x， 因為f(x)過點 所以 ………………………………… 3分 所以 解得 …………………………4分,(2)f(x)= ………………………6分 f(x)左移φ個單位后得到 ……………………………………………………………………8分 設(shè)g(x)的對稱軸為x=x0， 因為d= =1，解得x0=0， 所以g(0)=2，解得φ= ， 所以g(x)= ……………10分,由-π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z，得 - +kπ≤x≤kπ,k∈Z， 所以g(x)的單調(diào)增區(qū)間為 [- +kπ,kπ],k∈Z. ……………………………………………………………………12分,高考狀元 滿分心得 把握規(guī)則 爭取滿分 1.規(guī)范的解題思路 解答綜合性問題,清晰準(zhǔn)確的解題思路是得分的關(guān)鍵,不要 走彎走偏,如本例要清晰體現(xiàn):①用數(shù)量積求f(x);②平移變換求g(x);③求g(x)單調(diào)區(qū)間的步驟. 2.規(guī)范的解題步驟 解題過程既要有體現(xiàn)關(guān)鍵點的關(guān)鍵步驟,也要有承上啟下的輔助步驟,如本題忽視結(jié)論至少扣1分.,