第6節(jié) 正弦定理和余弦定理及其應用,知識鏈條完善,考點專項突破,解題規(guī)范夯實,知識鏈條完善 把散落的知識連起來,【教材導讀】 1.已知ABC中的三邊,如何判斷三角形的形狀? 提示:利用余弦定理可判斷出最大邊所對的角的余弦值的正負,從而判斷出三角形是銳角三角形、鈍角三角形還是直角三角形. 2.在三角形ABC中,“AB”是“sin Asin B”的什么條件?“AB”是“cos AB”是“sin Asin B”的充要條件,“AB”是“cos Ac2”是“ABC為銳角三角形”的什么條件? 提示:“a2+b2c2”是“ABC為銳角三角形”的必要不充分條件.,知識梳理,1.正弦定理和余弦定理,b2+c2-2bccos A,c2+a2-2cacos B,a2+b2-2abcos C,sin B,2Rsin B,2Rsin C,3.解三角形在測量中的常見題型 (1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型有:測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等. (2)有關測量中的幾個術(shù)語 仰角和俯角:與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方時叫 ,目標視線在水平視線下方時叫 .(如圖(1)所示) 方位角:一般指從正北方向順時針到目標方向線的水平角,如方位角45,是指北偏東45,即東北方向. 坡角:坡面與水平面的夾角.,俯角,仰角,【重要結(jié)論】 在ABC中,常有以下結(jié)論: (1)A+B+C=. (2)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.,(4)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. (5)ABabsin Asin Bcos Acos B.,夯基自測,A,C,3.(2016石景山區(qū)模擬)已知ABC的三個內(nèi)角滿足sin Asin Bsin C =51113,則ABC是( ) (A)等腰三角形 (B)銳角三角形 (C)直角三角形 (D)鈍角三角形,D,答案:30,答案:,考點專項突破 在講練中理解知識,考點一,正、余弦定理的應用(高頻考點),答案:(1)1,考查角度1:利用正、余弦定理解三角形. 高考掃描:2013高考新課標全國卷、2015高考新課標全國卷,反思歸納 利用正、余弦定理解三角形關鍵是根據(jù)已知條件及所求結(jié)論確定三角形及所需應用的定理,有時需結(jié)合圖形分析求解,有時需根據(jù)三角函數(shù)值的有界性、三角形中大邊對大角等確定解的個數(shù).,考查角度2:與三角形面積有關的問題. 高考掃描:2013高考新課標全國卷、2014高考新課標全國卷,2015全國卷,(2)若ABC的面積為3,求b的值.,反思歸納,(2)與面積有關的問題,一般是用正弦定理或余弦定理進行邊角的轉(zhuǎn)化.得到兩邊乘積,再整體代入.,考點二,利用正、余弦定理判定三角形形狀,【例3】 在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2asin A=(2b-c) sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A的大小;,反思歸納,判定三角形形狀的兩種常用途徑: (1)通過正弦定理和余弦定理,化邊為角,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關系進行判斷. (2)利用正弦定理、余弦定理,化角為邊,通過代數(shù)恒等變換,求出三條邊之間的關系進行判斷.,【即時訓練】 (1)(2016銀川模擬)在ABC中,若sin(A+B)sin(A-B) =sin2C,則此三角形形狀是( ) (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等邊三角形 (D)等腰直角三角形,用正、余弦定理解決實際問題,考點三,【例4】 (2015廣州七區(qū)聯(lián)考)某觀察站C與兩燈塔A,B的距離分別為300米和500米,測得燈塔A在觀察站C北偏東30,燈塔B在觀察站C南偏東30處,則兩燈塔A,B間的距離為 .,答案:700米,反思歸納,利用正、余弦定理解決實際問題的一般步驟 (1)分析理解題意,分清已知與未知,畫出示意圖; (2)建模根據(jù)已知條件與求解目標,把已知量與求解量盡量集中在相關的三角形中,建立一個解斜三角形的數(shù)學模型; (3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得數(shù)學模型的解; (4)檢驗檢驗上述所求的解是否符合實際意義,從而得出實際問題的解.,【即時訓練】 如圖所示,一艘海輪從A處出發(fā),測得燈塔在海輪的北偏東15方向,與海輪相距20海里的B處,海輪按北偏西60的方向航行了30分鐘后到達C處,又測得燈塔在海輪的北偏東75的方向,則海輪的速度為 海里/分鐘.,備選例題,【例3】 如圖,在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中,紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向,相距12 n mile的水面上,有藍方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75方向前進,若偵察艇以每小時14 n mile的速度沿北偏東45+方向攔截藍方的小艇.若要在最短的時間內(nèi)攔截住,求紅方偵察艇所需的時間和角的正弦值.,解題規(guī)范夯實 把典型的問題程序化,利用正、余弦定理解三角形,