第二章 空間向量與立體幾何,4 用向量討論垂直與平行(二),1.會利用平面法向量證明兩個平面垂直. 2.能利用直線的方向向量和平面的法向量判定并證明空間中的垂直(線線、線面、面面)關系.,學習目標,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,欄目索引,知識梳理 自主學習,知識點 空間垂直關系的向量表示,思考 直線的方向向量和平面的法向量在確定直線、平面的位置時各起到什么作用？ 答案 (1)方向向量的選?。涸谥本€上任取兩點P，Q，可得到直線的一個方向向量 . 方向向量的不惟一性：直線的方向向量不是惟一的，可以分為方向相同和相反兩類，它們都是共線向量，解題時，可以選取坐標最簡的方向向量. 非零性：直線的方向向量是非零向量. (2)對平面法向量的兩點說明 平面法向量的選取：平面的一個法向量垂直于與平面共面的所有向量.即只需作一條垂直于平面的直線，選取該直線的方向向量. 平面法向量的不惟一性：一個平面的法向量不是惟一的，一個平面的所有法向量共線.在應用時，可以根據(jù)需要進行選取.,答案,返回,題型探究 重點突破,題型一 證明線線垂直問題 例1 如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點.求證：EFBC.,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,證明 由題意，以點B為坐標原點，在平面DBC內(nèi)過點B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過點B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，,證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標系寫出點的坐標求直線的方向向量證明向量垂直得到兩直線垂直.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓練1 如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，垂足為A，ABAD于A，ACCD于C，ABC60，PAABBC，E是PC的中點.求證AECD.,證明 以A為坐標原點建立空間直角坐標系， 設PAABBC1，則A(0,0,0)，P(0,0,1). ABC60，ABC為正三角形.,解析答案,反思與感悟,題型二 證明線面垂直問題 例2 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點.求證：EF平面B1AC.,解析答案,反思與感悟,證明 方法一 設正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系， 則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(1,1,2).,(1)0(1)2120.,EFAB1，EFAC.,又AB1ACA，AB1平面B1AC，AC平面B1AC， EF平面B1AC.,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,同理，EFB1C. 又AB1B1CB1，AB1平面B1AC，B1C平面B1AC， EF平面B1AC.,反思與感悟,本類型題目用向量法證明的關鍵步驟是建立空間直角坐標系，用坐標表示向量或用基底表示向量，證法的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘運算.,解析答案,跟蹤訓練2 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點.求證：A1O平面GBD.,解析答案,證明 方法一 如圖取D為坐標原點，DA、DC、DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系. 設正方體棱長為2， 則O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，,即OA1OB，OA1BG， 而OBBGB，OA1平面GBD.,方法二 同方法一建系后，設面GBD的一個法向量為n(x，y，z)，,令x1得z2，y1， 平面GBD的一個法向量為(1,1,2)，,解析答案,反思與感悟,題型三 證明面面垂直 例3 如圖，底面ABCD是正方形，AS平面ABCD，且ASAB，E是SC的中點.求證：平面BDE平面ABCD.,證明 設ABBCCDDAAS1，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，,又因為AS平面ABCD，所以OE平面ABCD， 又OE平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.,反思與感悟,反思與感悟,利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個途徑：一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，證明兩個法向量垂直，從而得到兩個平面垂直.,跟蹤訓練3 在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBC，ABBC2，AA11，E為BB1的中點，求證：平面AEC1平面AA1C1C.,解析答案,返回,解析答案,解 由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點B為原點，分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，,設平面AA1C1C的法向量為n1(x，y，z)，,令x1，得y1，故n(1,1,0).,設平面AEC1的法向量為n2(a，b，c)，,令c4，得a1，b1. 故n2(1,1,4). 因為n1n2111(1)040， 所以n1n2. 所以平面AEC1平面AA1C1C.,返回,當堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,1.已知平面的法向量為a(1，2，2)，平面的法向量為b(2，4，k)，若，則k等于( ) A.5 B.4 C.4 D.5 解析 ，ab， ab282k0，k5.,D,1,2,3,4,5,解析答案,2.設直線l1，l2的方向向量分別為a(2,2,1)，b(3,2,m)，若l1l2，則m等于( ) A.2 B.2 C.6 D.10 解析 l1l2，ab0， 2322m0，m10.,D,1,2,3,4,5,解析答案,3.若平面，垂直，則下面可以作為這兩個平面的法向量的是( ) A.n1(1,2,1)，n2(3,1,1) B.n1(1,1,2)，n2(2,1,1) C.n1(1,1,1)，n2(1,2,1) D.n1(1,2,1)，n2(0，2，2) 解析 1(3)21110， n1n20，故選A.,A,1,2,3,4,5,解析答案,4.若直線l的方向向量為a(2,0,1)，平面的法向量為n(4,0,2)，則直線l與平面的位置關系為( ) A.l與斜交 B.l C.l D.l 解析 a(2,0,1)，n(4,0,2)， n2a，an，l.,D,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知平面和平面的法向量分別為a(1,1,2)，b(x,2,3)，且，則x_. 解析 ，ab0， x2230，x4.,4,課堂小結,返回,1.利用空間向量解決立體幾何問題的“三個基本步驟”： (1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題； (2)進行向量運算，研究點、直線、平面之間的關系(距離和夾角等)； (3)根據(jù)運算結果的幾何意義來解釋相關問題. 2.證明線面垂直問題，可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關系來證明.,