2.1.2 求曲線的方程,一、坐標(biāo)法和解析幾何 1.坐標(biāo)法:坐標(biāo)法是指借助于_,通過研究方程的性質(zhì) 間接地來研究曲線性質(zhì)的方法. 2.解析幾何:解析幾何是指數(shù)學(xué)中用_研究幾何圖形 的知識(shí)形成的學(xué)科.,坐標(biāo)系,坐標(biāo)法,3.解析幾何研究的主要問題: (1)曲線研究方程:根據(jù)已知條件,求出_. (2)方程研究曲線:通過曲線的方程,研究_. 思考:用坐標(biāo)法研究解析幾何問題的前提條件是什么? 提示:用坐標(biāo)法研究解析幾何問題時(shí)首先要建立適應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系,這樣,點(diǎn)有了坐標(biāo),曲線也就有了方程的形式.,表示曲線的方程,曲線的性質(zhì),二、求曲線方程的一般步驟,有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),M|p(M),坐標(biāo),最簡(jiǎn),曲線上,判斷:(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”) (1)在求曲線方程時(shí),如果點(diǎn)有了坐標(biāo)或曲線有了方程,則說明已經(jīng)建立了平面直角坐標(biāo)系.( ) (2)化簡(jiǎn)方程“|x|=|y|”為“y=x”是恒等變形.( ) (3)按照求曲線方程的步驟求解出的曲線方程不用檢驗(yàn).( ),提示:(1)正確.點(diǎn)有了坐標(biāo)或曲線有了方程是已經(jīng)建系的標(biāo)志. (2)錯(cuò)誤.|x|=|y|化簡(jiǎn)的形式為y=x. (3)錯(cuò)誤.一般情況下,化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的,但是在求解、化簡(jiǎn)過程中極易產(chǎn)生增解或漏解,檢驗(yàn)這一步驟是應(yīng)該有的,故此說法不正確. 答案:(1) (2) (3),【知識(shí)點(diǎn)撥】 1.平面直角坐標(biāo)系的選取原則 (1)以已知定點(diǎn)為原點(diǎn). (2)以已知定直線為坐標(biāo)軸(x軸或y軸). (3)以已知線段所在直線為坐標(biāo)軸(x軸或y軸),以已知線段的中點(diǎn)為原點(diǎn). (4)以已知互相垂直的兩定直線為坐標(biāo)軸.,(5)如果曲線(或軌跡)有對(duì)稱中心,通常以對(duì)稱中心為原點(diǎn). (6)如果曲線(或軌跡)有對(duì)稱軸,通常以對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸(x軸或y軸). (7)盡可能使曲線上的關(guān)鍵點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,或者讓盡量多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.,2.對(duì)求曲線方程的五個(gè)步驟的四點(diǎn)說明 (1)在第一步中,如果原題中沒有確定坐標(biāo)系,首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,坐標(biāo)系建立得當(dāng),可使運(yùn)算過程簡(jiǎn)單,所得的方程也較簡(jiǎn)單. (2)第二步是求方程的重要一環(huán).要仔細(xì)分析曲線的特征,注意揭示隱含條件,抓住與曲線上任意一點(diǎn)M有關(guān)的等量關(guān)系,列出幾何等式.此步驟也可以省略,而直接將幾何條件用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示.,(3)在化簡(jiǎn)的過程中,注意運(yùn)算的合理性與準(zhǔn)確性,盡量避免“失解”或“增解”. (4)第五步的說明可以省略不寫,如有特殊情況,可以適當(dāng)說明.如某些點(diǎn)雖然其坐標(biāo)滿足方程,但不在曲線上,可以通過限定方程中x(或y)的取值予以剔除.,3.對(duì)求曲線方程的三點(diǎn)說明 (1)求曲線方程時(shí),由于建系的方法不同,求得的方程也不同. (2)一般地,求哪個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程,就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,y),而不設(shè)成(x0,y0)或(x1,y1). (3)化簡(jiǎn)方程時(shí),一般將方程f(x,y)=0化成關(guān)于x,y的整式形式,并且要保證化簡(jiǎn)過程的恒等性.,類型 一 直接法求曲線方程 【典型例題】 1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到A(2,0)的距離等于它到直線x=-1的距離的2倍, 則點(diǎn)M的軌跡方程為 . 2.(2013珠海高二檢測(cè))已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),直線AP與 直線BP相交于點(diǎn)P,它們的斜率之積為- ,求點(diǎn)P的軌跡方程.,【解題探究】1.從題1中的條件來看是否需要建立平面直角坐標(biāo)系? 2.在什么情況下可用直接法求曲線的方程? 探究提示: 1.因題1中已知A(2,0),故不需要建立平面直角坐標(biāo)系. 2.一般地,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件非常明顯,可以很容易地建立條件等式,這時(shí)一般可采用直接法求曲線的方程.,【解析】1.設(shè)M(x,y).由題意,得 =2|x+1|, 化簡(jiǎn)得-3x2-12x+y2=0,即y2=3x2+12x. 答案:y2=3x2+12x 2.設(shè)點(diǎn)P(x,y), 直線AP的斜率kAP= (x-2), 直線BP的斜率kBP= (x2), 根據(jù)已知,有: (x2), 化簡(jiǎn)得: +y2=1(x2).,【拓展提升】 1.直接法求點(diǎn)的軌跡方程的兩個(gè)關(guān)鍵 關(guān)鍵一:建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系. 關(guān)鍵二:找到所求動(dòng)點(diǎn)滿足的關(guān)系式.,2.“軌跡方程”與“軌跡”的辨析,【變式訓(xùn)練】已知點(diǎn)M到x軸的距離等于到y(tǒng)軸的距離的2倍,求點(diǎn)M的軌跡方程. 【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)M到x軸、y軸的距離分別為|y|,|x|.由題意知 |y|=2|x|,整理得y=2x. 點(diǎn)M的軌跡方程為y=2x.,類型 二 代入法求曲線的方程 【典型例題】 1.設(shè)圓C:(x-1)2+y2=1,過原點(diǎn)O作圓的任意弦,則所作弦的中點(diǎn)的軌跡方程是 . 2.設(shè)定點(diǎn)M(-3,4),動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),以O(shè)M,ON為兩邊作平行四邊形MONP,求點(diǎn)P的軌跡方程.,【解題探究】1.若已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),則線段P1P2中點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么? 2.題2哪些點(diǎn)的坐標(biāo)已知,哪些點(diǎn)滿足已知曲線的方徎,借助什么方法可用這些點(diǎn)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)? 探究提示: 1.據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式知中點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ). 2.從題目的已知條件可知,點(diǎn)M與點(diǎn)O的坐標(biāo)已知,點(diǎn)N滿足已知曲線的方程,可借助中點(diǎn)坐標(biāo)公式,OP的中點(diǎn)坐標(biāo)與MN的中點(diǎn)坐標(biāo)相同表示出點(diǎn)P的坐標(biāo).,【解析】1.設(shè)OQ為過O的一條弦,P(x,y)為其中點(diǎn), Q(x1,y1), 則 又(x1-1)2+y12=1,(2x-1)2+4y2=1(0x1). 答案:(2x-1)2+4y2=1(0x1),2.如圖所示,設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ),線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為( ). 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分,所以 從而 由N(x+3,y-4)在圓上,得(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求P點(diǎn)的軌跡方程為(x+3)2+(y-4)2=4,但應(yīng)除去兩點(diǎn):( )和( ).,【互動(dòng)探究】若把題2中MN的中點(diǎn)記為Q,試求點(diǎn)Q的軌跡方程. 【解題指南】采用代入法求解. 【解析】設(shè)Q(x,y),N(x0,y0) 則 由N在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng), (2x+3)2+(2y-4)2=4. 故點(diǎn)Q的軌跡方程為(x+ )2+(y-2)2=1.,【拓展提升】 1.適合用代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程的動(dòng)點(diǎn)的特點(diǎn) (1)特點(diǎn):動(dòng)點(diǎn)隨另一點(diǎn)動(dòng)而動(dòng). (2)解釋:如果動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0),點(diǎn)Q動(dòng)則P動(dòng),而點(diǎn)Q又在某已知曲線上,這種情況下可采用代入法(相關(guān)點(diǎn)法),點(diǎn)Q為相關(guān)點(diǎn).,2.代入法求曲線方程的步驟,【變式訓(xùn)練】已知點(diǎn)A(0,-1),當(dāng)點(diǎn)B在曲線y=2x2+1上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是 .,【解析】設(shè)M(x,y),B(x0,y0). 由題意知 B在曲線y=2x2+1上, 2y+1=2(2x)2+1. 即y=4x2.這就是點(diǎn)M的軌跡方程. 答案:y=4x2,類型 三 定義法求軌跡方程 【典型例題】 1.由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2+y2=1引兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,APB=60,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 . 2.在RtABC中,|AB|=2a(a0),求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程. 【解題探究】1.過圓外一點(diǎn)向圓引兩切線,切線長(zhǎng)的關(guān)系是什么? 2.到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么?,探究提示: 1.從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,則切線長(zhǎng)相等. 2.到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心,以定長(zhǎng)為半徑的圓. 【解析】1.如圖.|PA|=|PB|,連接PO. 則OPB=30.|OB|=1. |PO|=2. P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心以2為半徑的圓,即x2+y2=4. 答案:x2+y2=4,2.如圖,以AB所在直線為x軸,以線段AB的垂直 平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則A(-a,0), B(a,0). 設(shè)C(x,y)是平面內(nèi)的任意一點(diǎn),連接CO,則由 直角三角形的性質(zhì)知:|OC|= |AB|= 2a=a. 因而點(diǎn)C的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,以a為半徑的圓(除去與x軸的交點(diǎn)),其軌跡方程為x2+y2=a2(xa).,【拓展提升】 1.適用定義法求軌跡的特點(diǎn) 如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可依據(jù)定義寫出軌跡方程. 2.定義法求軌跡方程的策略 (1)要熟悉各種常見的曲線的定義. (2)要善于利用數(shù)形結(jié)合的方法,利用圖形具有的相關(guān)幾何性質(zhì)尋找等量關(guān)系. (3)根據(jù)等量關(guān)系和曲線的定義確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.,【變式訓(xùn)練】長(zhǎng)為2的線段AB的兩端點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線上滑動(dòng),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程. 【解題指南】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知,斜邊上的中線等于斜邊的一半,則點(diǎn)M到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng),由此可知點(diǎn)M的軌跡是圓,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系即可求得其方程.,【解析】如圖,以這兩條直線為坐標(biāo)軸,建立直角坐標(biāo)系, 設(shè)M(x,y). 由題意知,|OM|= |AB|=1, 點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)為圓心,1為半徑的圓, 點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2=1.,參數(shù)法求曲線方程 【典型例題】 1.動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足 (t為參數(shù)),則點(diǎn)P的軌跡方程為 . 2.在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(1,0),B(2,2),若點(diǎn)C滿足 其中tR,則點(diǎn)C的軌跡方程 是 .,【解析】1. 由-得x2-y2=4. 點(diǎn)P的軌跡方程為x2-y2=4. 答案:x2-y2=4,2.設(shè)C(x,y), (x,y)=(1,0)+t(1,2), 消去t得2x-y-2=0, 故點(diǎn)C的軌跡方程為2x-y-2=0. 答案:2x-y-2=0,【拓展提升】參數(shù)法的定義及消參法 (1)參數(shù)法的定義 求曲線方程時(shí),若x,y的關(guān)系不明顯或難以尋找,可借助中間量(即參數(shù))使x和y建立起聯(lián)系,然后再從式子中消去參數(shù)得到曲線方程,這種方法叫做參數(shù)法求曲線的方程. (2)消去參數(shù)的常見方法 用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)后,消參時(shí)可靈活應(yīng)用式子的加、減、乘、除、平方等運(yùn)算,最后注意參數(shù)的值對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)范圍的限制.,【規(guī)范解答】直接法在求點(diǎn)的軌跡中的應(yīng)用,【典例】,【條件分析】,【規(guī)范解答】如圖,過M作圓的切線MN,N為切點(diǎn),設(shè)M(x,y). 由題意知|MN|=|MQ|+|ON|.3分 由于|MN|= ， |MQ|= |ON|=1，, (1)6分 兩邊平方整理得2x-3= (2) 再兩邊平方整理得3x2-y2-8x+5=0. (3) 即:9(x- )2-3y2=1. 10分 2x-3= 中2x-30 ,x 點(diǎn)M的軌跡方程為9(x- )2-3y2=1(x ) 12分,【失分警示】,【防范措施】 1.數(shù)形結(jié)合的意識(shí) 在解決平面幾何問題時(shí),要注意數(shù)形結(jié)合思想的使用,如本例中切線長(zhǎng)的表示. 2.隱含條件的挖掘 在對(duì)方程的化簡(jiǎn)整理過程中要注意隱含條件的挖掘,確保變形 的每步都為恒等變形,如本例中的限制條件x .,【類題試解】已知ABC的周長(zhǎng)為18,|AB|=8,求頂點(diǎn)C的軌跡 方程.,【解析】以線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn),線段AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,如圖所示. |AB|=8,A(-4,0),B(4,0). 設(shè)C(x,y),則|AC|+|BC|=10, 整理,得9x2+25y2=225. 點(diǎn)C不在x軸上,y0,頂點(diǎn)C的軌跡方程為9x2+25y2=225(y0).,1.已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足 則點(diǎn)P的軌跡方程是( ) A.x+y2=1 B.x-y2=1 C.x2+y2=1 D.x2-y2=1 【解析】選C.由題意得 =(-1-x,-y), =(1-x,-y), 由 得(-1-x)(1-x)+(-y)2=0.即x2+y2=1.,2.到A(2,-3)和B(4,-1)的距離相等的點(diǎn)M的軌跡方程是( ) A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=0 【解析】選C.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y).由|MA|=|MB|得 整理得x+y-1=0.,3.直角坐標(biāo)系內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離之差等于1的點(diǎn)的軌跡方程 是( ) A.|x|-|y|=1 B.|x-y|=1 C.|x|-|y|=1 D.|xy|=1 【解析】選C.設(shè)動(dòng)點(diǎn)(x,y),由題意知|x|-|y|=1或|y|-|x|=1,即|x|-|y|=1.,4.點(diǎn)P是曲線2x2+y2=2上的動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),M是OP的中點(diǎn),則點(diǎn)M的軌跡方程是 . 【解析】設(shè)M(x,y),P(x0,y0),則x0=2x,y0=2y. 點(diǎn)P在2x2+y2=2上,2x02+y02=2,代入整理得4x2+2y2=1. 答案:4x2+2y2=1,5.已知兩點(diǎn)A(-2,0),B(6,0),ABC的面積為16,則C點(diǎn)的軌跡方程為 . 【解析】A,B兩點(diǎn)都在x軸上,ABC的面積為16, |AB|h=16,解得h=4. 點(diǎn)C在平行于x軸且與x軸距離為4的直線上,即軌跡方程為y=4. 答案:y=4,6.已知ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2,0),B(0,-2),第三個(gè)頂點(diǎn)C在曲線y=3x2-1上移動(dòng).求ABC的重心的軌跡方程. 【解析】設(shè)重心坐標(biāo)為(x,y),頂點(diǎn)C(x0,y0), 依題意有 解得 因?yàn)辄c(diǎn)C在y=3x2-1上移動(dòng),所以y0=3x02-1. 將代入,得y=9x2+12x+3,即為重心的軌跡方程.,