八年級(jí)數(shù)學(xué) 勾股定理及其常考題型勾股定理也稱畢達(dá)哥拉斯定理，文字表述：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.結(jié)合直角三角形圖形，用字母可表示為：，如下圖，a、b為直角邊，c為斜邊。勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，完美地體現(xiàn)了“數(shù)形統(tǒng)一”的數(shù)學(xué)思想，將初中幾何與代數(shù)很好的聯(lián)系起來。因此，學(xué)好勾股定理這一知識(shí)點(diǎn)對(duì)于我們解決數(shù)學(xué)問題有很大的幫助，下面我們具體來看看初中數(shù)學(xué)有關(guān)勾股定理的一些常見題型及其解答方法。一、邊的計(jì)算1、在RtABC中，C90，若a=6，b=8，則c= 解：因?yàn)?，所以c=10。評(píng)論：直接由勾股定理所以得2、在RtABC中，C90，AC3，BC4，則斜邊上的高CD的長為（ ）ABCD解：由勾股定理知：AB=5，又因?yàn)镾ABC =ACBC=ABCD 即：34=5CD,所以CD=評(píng)論：通過勾股定理求出斜邊，再利用面橋關(guān)系求出斜邊上的高。3、若一直角三角形兩邊的長為12和5，則第三邊的長為（ ）A13 B13或 C13或15 D15解：當(dāng)12對(duì)應(yīng)的邊為斜邊時(shí)，此時(shí)由勾股定理得第三邊為當(dāng)12對(duì)應(yīng)的邊是直角邊時(shí)，則第三邊為斜邊，由得第三邊的長為13評(píng)論：勾股定理結(jié)合分類討論思想，學(xué)生要注意這類試題的多解性。4Rt一直角邊的長為11，另兩邊為自然數(shù)，則Rt的周長為（） A、121B、120C、132D、不能確定解：設(shè)該Rt的三邊分別為a、b、c，a、b為直角邊，c為斜邊由勾股定理知：，即：112b2 = c2 所以（b+c）（cb）=121因?yàn)閎、c都為自然數(shù)，所以b+c，cb，都為正自然數(shù)。又因?yàn)?21只有1、11、121這三個(gè)正整數(shù)因式，所以b+c=121，cb=1。所以b=60，c=61評(píng)論，本題以直角三角形為載體，同過勾股定理將初中幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)很好地串聯(lián)起來考察學(xué)生的能力。二、直角三角形的判定5、 在ABC中中，a、b、c為A、B、C的對(duì)邊，給出如下的命題：若A：B：C1：2：3，則ABC為直角三角形；若AC一B，則ABC為直角三角形；若，則ABC為直角三角形；若a：b：c5：3：4，則ABC為直角三角形；若（ac）（ac）b2，則ABC為直角三角形；若(ac)22acb2，則ABC為直角三角形；若12,9,B15, 則ABC為直角三角形。上面的命題中正確的有（）A6 B7 C8 D9解：對(duì)，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180度，所以A+B+C180，因?yàn)锳：B：C1：2：3，所以C=180 所以C=90則ABC為直角三角形，正確。對(duì)，因?yàn)锳+B+C180，而AC一B，所以C一B+B+C180所以C=90，即ABC為直角三角形，正確。對(duì)，設(shè)a=5k，因?yàn)?，則c=4k， C2b2 = a2 所以為ABC直角三角形. 正確，同理易知正確，對(duì)，因?yàn)椋╝c）（ac）b2 所以a2 c2 = b2 ，所以ABC為直角三角形正確，對(duì)，因?yàn)?ac)22acb2，所以a2 +c2+2ac=2acb2 所以a2 +c2=b2 正確，對(duì)，因?yàn)?2,9,15，所以AB2 +AC2=BC2所以正確。答案選B評(píng)論：直角三角形的評(píng)定可以從角和邊兩方面來進(jìn)行，從角來判定需結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，從邊來判定需結(jié)合勾股定理。一般是驗(yàn)證最大邊的平方是否等于兩小邊的平方和。三、翻折6、矩形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖18-1方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則DE=_cm解：設(shè)DE為x，因?yàn)镈E是由BE翻折過來的，所以DE=BE=x,則AE=10x，在RtABD中：AD2 +AE2=DE2 所以：42 +（10x） 2= x 2 解得x=5.8 cm評(píng)論：翻折和旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學(xué)常見的題型，解答這類題的關(guān)鍵在于把握翻折和旋轉(zhuǎn)前后的聯(lián)系，主要是看清哪些量沒變，抓住這些不變的量，以此為突破口便可以順利解決。本題的不變量是DE和BE的長度，抓住這個(gè)關(guān)系，再通過勾股定理建立等式，在直角三角形中便可解出邊長的長度。四、爬行7如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm，在圓柱下底面的點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點(diǎn)相對(duì)的點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程是 cm（取3）解：螞蟻要沿圓柱體側(cè)面爬，將圓柱體的側(cè)面沿螞蟻所在的垂直于底面的直線切開，展開后是一個(gè)長為8，寬為16的長方形，螞蟻所在的是一個(gè)頂點(diǎn)，而相對(duì)的點(diǎn)則是對(duì)面那條長為8的邊的中點(diǎn)。所以根據(jù)勾股定理，兩點(diǎn)之間的距離為d，d2 =(8)2 +(16)2從而解出d。評(píng)論：爬行問題是勾股定理的一大重要應(yīng)用，關(guān)鍵在于將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，從而簡單便捷地找出最短距離，然后再利用勾股定理求出邊長。8已知長方體的長為2cm、寬為1cm、高為4cm，一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn),那么沿哪條路最近,最短的路程是多少? 解：將長方體的側(cè)面B BCC展開到與長方體的正面AC CA在同一平面內(nèi)，得到長方形AB BA,長AB=3 cm,寬A A=4，螞蟻沿長方體的表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)最短距離即為長方形AB BA的對(duì)角線A B長。由勾股定理易知A B=5.五、圖形變換 9如圖2（1），是小紅用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c，如圖2（2）是以c為直角邊的等腰直角三角形，她想將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形，可以嗎？（1）如果能，請你畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，寫出它是什么圖形？（2）用這個(gè)圖形證明勾股定理（3）假設(shè)圖2（1）中的圖有若干個(gè)，你能運(yùn)用（1）中所示的直角三角形拼出另一個(gè)能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖（無需證明）23，（1）如圖是直角梯形.（2）因?yàn)镾梯形(a+b)(a+b)(a+b)2，S2ab+c2ab+c2，所以(a+b)2ab+c2，即a2+b2c2.（3）如圖所示.評(píng)論：這是一道圖形換的題，具體涉及到圖形的拼湊，解決勾股定理這方面的試題關(guān)鍵是要對(duì)課本勾股定理證明涉及到的幾種常見的圖形以及證明過程和原理要熟練掌握，再利用適當(dāng)?shù)倪w移便可以解答了。六、實(shí)際應(yīng)用10，某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開辟為生物園，如圖5所示，ACB90，AC80米，BC60米，若線段CD是一條小渠，且D點(diǎn)在邊AB上，已知水渠的造價(jià)為10元/米，問D點(diǎn)在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處時(shí)，水渠的造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？解：當(dāng)CD為斜邊上的高時(shí)，CD最短，從而水渠造價(jià)最低.因?yàn)镃DABACBC ，所以CD48米，所以AD64米.所以，D點(diǎn)在距A點(diǎn)64米的地方，水渠的造價(jià)最低，其最低造價(jià)為480元.11有一只小鳥在一棵高4m的小樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高20m的一棵大樹的樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以4m/s的速度飛向大樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達(dá)大樹和伙伴在一起？ 解：如圖所示，根據(jù)題意，得AC=20-4=16，BC=12根據(jù)勾股定理，得AB=20則小鳥所用的時(shí)間是204=5（s）評(píng)論：解答勾股定理的實(shí)際應(yīng)用題，首先要審清題意，然后找出試題情景中涉及到的直角三角形，再結(jié)合勾股定理便可以求出了。在該題中，我們關(guān)鍵是要根據(jù)題意畫出勾股定理涉及到的直角三角形圖形，只需求得AB的長根據(jù)已知條件，得BC=12，AC=20-4=16，再根據(jù)勾股定理就可求解補(bǔ)充：