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第八節(jié) 拋 物 線,【知識梳理】 1.拋物線的定義 滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線: (1)在平面內. (2)與一個定點F和一條定直線l距離_____. (3)l不經(jīng)過點F.,相等,2.拋物線的標準方程與幾何性質,,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,O(0,0),y=0(x軸),x=0(y軸),x≥0,,y∈R,x≤0,,y∈R,y≥0,,x∈R,y≤0,,x∈R,【特別提醒】 拋物線焦點弦的幾個常用結論 設AB是過拋物線y2=2px(p0)焦點F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則 (1)x1x2= ,y1y2=-p2.,(2)弦長|AB|=x1+x2+p= (α為弦AB的傾斜角). (3) 為定值 . (4)以AB為直徑的圓與準線相切. (5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(選修2-1P67練習T3(1)改編)設拋物線y2=8x上一點P 到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是 .,【解析】如圖所示,拋物線的準線l的方程為x=-2,F是 拋物線的焦點,過點P作PA⊥y軸,垂足是A,延長PA交直 線l于點B,則|AB|=2,由于點P到y(tǒng)軸的距離為4,則點P到 準線l的距離|PB|=4+2=6,所以點P到焦點的距離|PF|= |PB|=6. 答案:6,2.(選修2-1P72練習T1(1)改編)已知拋物線的頂點是原點,對稱軸為坐標軸,并且經(jīng)過點P(-2,-4),則該拋物線的標準方程為 .,【解析】很明顯點P在第三象限,所以拋物線的焦點可能在x軸負半軸上或y軸負半軸上. 當焦點在x軸負半軸上時,設方程為y2=-2px(p0),把點P(-2,-4)的坐標代入得(-4)2=-2p(-2), 解得p=4,此時拋物線的標準方程為y2=-8x;,當焦點在y軸負半軸上時,設方程為x2=-2py(p0),把點 P(-2,-4)的坐標代入得(-2)2=-2p(-4),解得p= ,此 時拋物線的標準方程為x2=-y. 綜上可知,拋物線的標準方程為y2=-8x或x2=-y. 答案:y2=-8x或x2=-y,感悟考題 試一試 3.(2016貴陽模擬)已知過拋物線y2=6x焦點的弦長為12,則此弦所在直線的傾斜角是 ( ),【解析】選B.由焦點弦長公式|AB|= ,得 =12, 所以sinθ= ,所以θ= 或 .,4.(2014全國卷Ⅰ)已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準 線為l,P是l上一點,Q是直線PF與C的一個交點,若 則|QF|= ( ) A. B.3 C. D.2,【解析】選B.如圖所示, 因為 所以 過點Q作QM⊥l,垂足為M,則MQ∥x軸, 所以 所以|MQ|=3,由拋物線定義知|QF|=|QM|=3.,5.(2015陜西高考)若拋物線y2=2px(p0)的準線經(jīng)過 雙曲線x2-y2=1的一個焦點,則p= . 【解析】雙曲線x2-y2=1的左焦點為(- ,0),故拋物 線y2=2px的準線為x=- ,所以 = ,所以p=2 . 答案:2,考向一 拋物線的定義及其應用 【典例1】(1)(2014全國卷Ⅰ)已知拋物線C:y2=x的 焦點為F,A(x0,y0)是C上一點,|AF|= x0,則x0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8,(2)(2015浙江高考)如圖,設拋物線y2=4x的焦點為F,不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C,其中點A,B在拋物線上,點C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是 ( ),【解題導引】(1)由y2=x可知,拋物線的準線方程為x= - ,從而可得A到拋物線準線的距離為x0+ ,然后利 用拋物線的定義即可求得x0的值. (2)結合平面幾何中同高的三角形面積比等于底邊比這 一性質以及拋物線的定義即可求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.根據(jù)拋物線的定義可知|AF|=x0+ = x0,解得x0=1. (2)選A.,【母題變式】 1.在本例(1)中,若A點在x軸上方,且AF的延長線交拋物線于點B,求B點的坐標.,【解析】由例題可知A(1,1), 所以kAF= 所以直線AF的方程為y= 即4x-3y-1=0.,由 即(4y+1)(y-1)=0, 所以y=- 或y=1. 又因為A在x軸上方,所以B在x軸下方,即,2.在本例(1)中,若A點在x軸上方,且AF的延長線交拋物線于點B,求△AOB的面積.,【解析】S△AOB=S△AOF+S△BOF = |OF||yA|+ |OF||yB|,【規(guī)律方法】 1.與拋物線定義有關的兩個線段 拋物線的焦半徑、焦點弦.,2.拋物線定義的作用 將拋物線上的點到焦點的距離轉化為該點到準線的距離;將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離.,【變式訓練】已知A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y2=4x上的兩個動點,且|AB|=8,則x1+x2的最小值是 ( ) A.4 B.6 C.8 D.101,【解析】選B.設拋物線的焦點為F,則|AF|+|BF|≥|AB|,由拋物線的定義,可得x1+x2+p≥|AB|,因為|AB|=8,p=2,所以x1+x2≥6,所以x1+x2的最小值是6.,【加固訓練】 1.(2016昆明模擬)設經(jīng)過拋物線C的焦點的直線l與拋物線C交于A,B兩點,那么拋物線C的準線與以AB為直徑的圓的位置關系為 ( ) A.相離 B.相切 C.相交但不經(jīng)過圓心 D.相交且經(jīng)過圓心,【解析】選B.設圓心為M,過點A,B,M作準線l的垂線,垂 足分別為A1,B1,M1,則|MM1|= (|AA1|+|BB1|).由拋物線 定義可知|BF|=|BB1|,|AF|=|AA1|,所以|AB|=|BB1|+ |AA1|,|MM1|= |AB|,即圓心M到準線的距離等于圓的 半徑,故以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.,2.(2016忻州模擬)已知P為拋物線y2=4x上一個動點, Q為圓x2+(y-4)2=1上一個動點,那么點P到點Q的距離與 點P到拋物線的準線距離之和的最小值是 .,【解析】由題意知,圓x2+(y-4)2=1的圓心為C(0,4),半 徑為1,拋物線的焦點為F(1,0),根據(jù)拋物線的定義,點P 到點Q的距離與點P到拋物線準線的距離之和即點P到點 Q的距離與點P到拋物線焦點的距離之和,因此|PQ|+ |PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1= -1. 答案: -1,3.(2016廈門模擬)已知點P在拋物線y2=4x上,且點P 到y(tǒng)軸的距離與其到焦點的距離之比為 ,則點P到x軸 的距離為 .,【解析】設點P的坐標為(xP,yP),拋物線y2=4x的準線方 程為x=-1,根據(jù)拋物線的定義,點P到焦點的距離等于點 P到準線的距離,故 解得xP=1,所以 yP2=4, 所以|yP|=2. 答案:2,考向二 拋物線的標準方程及其性質 【典例2】(1)(2016泉州模擬)如圖,過拋物線y2=2px (p0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A,B,C, 若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則拋物線的方程為 ( ),(2)若雙曲線C:2x2-y2=m(m0)與拋物線y2=16x的準線交 于A,B兩點,且|AB|=4 ,則m的值是 .,【解題導引】(1)分別過點A,B作準線的垂線,分別交準 線于點E,D,設|BF|=a,根據(jù)拋物線定義可知|BD|=a,進 而推斷出∠BCD的值,在直角三角形中求得a,利用比例 線段的性質可求得p,則拋物線方程可得. (2)求出y2=16x的準線l:x=-4,由C與拋物線y2=16x的準 線交于A,B兩點,且|AB|=4 ,即可求出m的值.,【規(guī)范解答】(1)選B.如圖,分別過點A,B作準線的垂線,分別交準線于點E,D,,設|BF|=a,則由已知得:|BC|=2a, 由定義得:|BD|=a,故∠BCD=30, 在直角三角形ACE中,因為|AF|=3,|AC|=3+3a, 所以2|AE|=|AC|, 所以3+3a=6,從而得a=1,,因為BD∥FG,所以 求得p= , 因此拋物線方程為y2=3x.,(2)y2=16x的準線l:x=-4,因為C與拋物線y2=16x的準線 l:x=-4交于A,B兩點,|AB|=4 ,所以A(-4,2 ), B(-4,-2 ),將A點坐標代入雙曲線方程得2(-4)2- (2 )2=m,所以m=20. 答案:20,【規(guī)律方法】 1.求拋物線的標準方程的方法 (1)先定位:根據(jù)焦點或準線的位置. (2)再定形:即根據(jù)條件求p.,2.拋物線性質的應用技巧 (1)利用拋物線方程確定及應用其焦點、準線時,關鍵是將拋物線方程化成標準方程. (2)要結合圖形分析,靈活運用平面圖形的性質以形助數(shù).,【變式訓練】(2016北京模擬)已知拋物線y2=2px(p 0)的焦點為F,準線為l,P為拋物線上一點,PA⊥l,垂足為 A,如果△APF是邊長為4的正三角形,那么此拋物線的焦 點坐標為 ,點P的橫坐標xP= .,【解析】如圖所示,設 則|PA|= =4.① 又在Rt△AMF中,∠AFM=∠FAP=60, 故tan∠AFM= ② 聯(lián)立①②式,得p=2,|y0|=2 . 故焦點坐標為(1,0),點P的橫坐標為xp= =3. 答案:(1,0) 3,【加固訓練】 1.(2016安慶模擬)拋物線y=- x2的焦點坐標是 ( ) A.(0,-1) B.(0,1) C.(1,0) D.(-1,0),【解析】選A.拋物線y=- x2的標準方程為x2=-4y,開 口向下,p=2, =1,故焦點為(0,-1).,2.已知m,n,m+n成等差數(shù)列,m,n,mn成等比數(shù)列,則拋物線mx2=ny的焦點坐標是 ( ),【解析】選A.由題意知,2n=m+m+n且n2=mmn,解得 m=2,n=4,故拋物線為x2=2y,其焦點坐標為,3.已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px(p0)的準線上,記C的焦點為F,則直線AF的斜率為 ( ),【解析】選C.由已知,得準線方程為x=-2,所以F的坐標 為(2,0).又A(-2,3),所以直線AF的斜率為k=,考向三 直線與拋物線的綜合問題 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:直線與拋物線的交點問題 【典例3】(2015浙江高考)如圖,已知拋物線C1:y= x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過點P(t,0)(t0)作不過原點O 的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點.,(1)求點A,B的坐標. (2)求△PAB的面積. 注:直線與拋物線有且只有一個公共點,且與拋物線的對稱軸不平行,則該直線與拋物線相切,稱該公共點為切點.,【解題導引】(1)設出直線PA的方程,通過聯(lián)立方程,判別式為零,得到點A的坐標;根據(jù)圓的性質,利用點關于直線對稱,得到點B的坐標;(2)利用兩點間距離公式及點到直線的距離公式,得到三角形的底邊長與底邊上的高,由此計算三角形的面積.,【規(guī)范解答】(1)由題意可知,直線PA的斜率存在,故可 設直線PA的方程為y=k(x-t),所以 消去y 整理得:x2-4kx+4kt=0. 因為直線PA與拋物線相切,所以Δ=16k2-16kt=0,解得 k=t. 所以x=2t,即點A(2t,t2).,設圓C2的圓心為D(0,1),點B的坐標為(x0,y0),由題意知, 點B,O關于直線PD對稱, 故有 解得 即點,(2)由(1)知,|AP|= 直線AP的方程為tx-y-t2=0, 所以點B到直線PA的距離為d= 所以△PAB的面積S=,命題方向2:與拋物線弦的中點有關的問題 【典例4】(2016鄭州模擬)已知拋物線C:y=mx2(m0),焦點為F,直線2x-y+2=0交拋物線C于A,B兩點,P是線段AB的中點,過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q.,(1)求拋物線C的焦點坐標. (2)若拋物線C上有一點R(xR,2)到焦點F的距離為3,求此時m的值. (3)是否存在實數(shù)m,使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.,【解題導引】(1)將拋物線方程化成標準形式,直接求 出焦點坐標.(2)利用拋物線的定義求解.(3)只需證明 =0即可.,【規(guī)范解答】(1)因為拋物線C:x2= 所以它的焦點 (2)因為|RF|=yR+ 所以2+ =3,得m= .,(3)存在,聯(lián)立方程 消去y得mx2-2x-2=0, 依題意,有Δ=(-2)2-4m(-2)0恒成立.,設A(x1,mx12),B(x2,mx22), 則 因為P是線段AB的中點, 所以 即 所以,得 若存在實數(shù)m,使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形, 則 =0, 即,結合(*)化簡得 =0, 即2m2-3m-2=0, 所以m=2或m=- , 而2∈(0,+∞),- ?(0,+∞). 所以存在實數(shù)m=2,使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形.,【技法感悟】 1.直線與拋物線交點問題的解題思路 (1)求交點問題,通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組. (2)與交點相關的問題通常借助根與系數(shù)的關系或用向量法解決.,2.解決拋物線的弦及弦中點問題的常用方法 (1)有關直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點,若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點,則必須用一般弦長公式.,(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時,一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等解法. 提醒:涉及弦的中點、斜率時,一般用“點差法”求解.,【題組通關】 1.(2016長沙模擬)已知拋物線y2=2px(p0)的焦點弦 AB的兩端點坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則 的值 一定等于 ( ) A.-4 B.4 C.p2 D.-p2,【解析】選A.①若焦點弦AB⊥x軸,則x1=x2= ,則 x1x2= ; ②若焦點弦AB不垂直于x軸,可設AB:y= 聯(lián)立y2=2px得k2x2-(k2p+2p)x+ =0, 則x1x2= .則y1y2=-p2.故 =-4.,2.(2016欽州模擬)過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋 物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,如果x1+x2=6,那么|AB|= ( ) A.6 B.8 C.9 D.10,【解析】選B.由題意,p=2,故拋物線的準線方程是x=-1, 因為過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A(x1,y1), B(x2,y2)兩點,所以|AB|=x1+x2+2,又x1+x2=6,所以|AB|= x1+x2+2=8.,3.(2016珠海模擬)已知拋物線C:y=x2-2,過原點的動 直線l交拋物線C于A,B兩點,P是AB的中點,設動點P(x,y), 則4x-y的最大值是 ( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4,【解析】選A.設直線l的方程為y=kx,與拋物線C的方程 y=x2-2聯(lián)立,消去y,得x2-kx-2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=k,所以x= ,y= ,所以4x-y=2k- =- (k -2)2+2.故當k=2時,4x-y取最大值2.,4.(2016衡水模擬)如圖所示,拋物線關于x軸對稱,它的頂點在坐標原點,點P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上.,(1)寫出該拋物線的方程及其準線方程. (2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時,求y1+y2的值及直線AB的斜率.,【解析】(1)由已知條件,可設拋物線的方程為y2=2px(p0). 因為點P(1,2)在拋物線上,所以22=2p1,解得p=2. 故所求拋物線的方程是y2=4x,準線方程是x=-1.,(2)設直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB, 則kPA= (x1≠1),kPB= (x2≠1), 因為PA與PB的斜率存在且傾斜角互補, 所以kPA=-kPB.,由A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上,得 y12=4x1,① y22=4x2,② 所以,所以y1+2=-(y2+2). 所以y1+y2=-4. 由①-②得,y12-y22=4(x1-x2), 所以kAB= =-1(x1≠x2).,