突破點(diǎn)2解三角形(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第167頁(yè))提煉1常見(jiàn)解三角形的題型及解法(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解(4)已知三邊，利用余弦定理求解.提煉2三角形形狀的判斷(1)從邊出發(fā)，全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷(2)從角出發(fā)，全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，然后進(jìn)行恒等變形，再判斷注意：要靈活選用正弦定理或余弦定理，且在變形的時(shí)候要注意方程的同解性，如方程兩邊同除以一個(gè)數(shù)時(shí)要注意該數(shù)是否為零，避免漏解.提煉3三角形的常用面積公式設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c ，其面積為S.(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)(2)Sabsin Cbcsin Acasin B.(3)Sr(abc)(r為三角形ABC內(nèi)切圓的半徑)回訪1正、余弦定理的應(yīng)用1(2016·山東高考)ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，則A()A.B.C.D.Cbc，BC.又由ABC得B.由正弦定理及a22b2(1sin A)得sin2A2sin2B(1sin A)，即sin2A2sin2(1sin A)，即sin2A2cos2(1sin A)，即4sin2cos22cos2(1sin A)，整理得cos20，即cos2(cos Asin A)0.0<A<，0<<，cos 0，cos Asin A.又0<A<，A.2(2013·山東高考)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B2A，a1，b，則c()A2B2 C.D1B由正弦定理得：，B2A，a1，b，.A為三角形的內(nèi)角，sin A0，cos A.又0A，A，B2A.CAB，ABC為直角三角形由勾股定理得c2.3(2016·全國(guó)甲卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.又，b.回訪2三角形的面積問(wèn)題4(2014·全國(guó)卷)鈍角三角形ABC的面積是，AB1，BC，則AC()A5B. C2D1BSAB·BCsin B×1×sin B，sin B，B或.當(dāng)B時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22AB·BCcos B1225，AC，此時(shí)ABC為鈍角三角形，符合題意；當(dāng)B時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22AB·BCcos B1221，AC1，此時(shí)AB2AC2BC2，ABC為直角三角形，不符合題意故AC.5(2014·全國(guó)卷)已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC面積的最大值為_(kāi)2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化為(ab)(ab)(cb)·c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.cos A，A60°.ABC中，4a2b2c22bc·cos 60°b2c2bc2bcbcbc(“”當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取得)，SABC·bc·sin A×4×.回訪3正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用6(2014·全國(guó)卷)如圖2­1，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN60°，C點(diǎn)的仰角CAB45°以及MAC75°；從C點(diǎn)測(cè)得MCA60°.已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_m.圖2­1150根據(jù)圖示，AC100 m.在MAC中，CMA180°75°60°45°.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60°，MN100×150(m)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第167頁(yè))熱點(diǎn)題型1正、余弦定理的應(yīng)用題型分析：利用正、余弦定理解題是歷年高考的熱點(diǎn)，也是必考點(diǎn)，求解的關(guān)鍵是合理應(yīng)用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的互化.(2016·四川高考)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且.(1)證明：sin Asin Bsin C；(2)若b2c2a2bc，求tan B.解(1)證明：根據(jù)正弦定理，可設(shè)k(k>0)則aksin A，bksin B，cksin C，代入中，有，2分即sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB).4分在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C，所以sin Asin Bsin C6分(2)由已知，b2c2a2bc，根據(jù)余弦定理，有cos A，8分所以sin A.9分由(1)知sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos B sin B，11分故tan B4.12分關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見(jiàn)的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問(wèn)題獲得解決的突破口變式訓(xùn)練1(1)(2016·威海二模)已知等腰ABC滿足ABAC，BC2AB，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)且ADBD，則sinADB的值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722013】A.B.C.D.C如圖，設(shè)ABACa，ADBDb，由BC2AB，得BCa，在ABC中，由余弦定理得，cosABC.ABAC，ABC是銳角，則sinABC，在ABD中，由余弦定理得AD2AB2BD22·AB·BD·cosABD，b2a2b22·a·b·，解得ab，由正弦定理得，解得sinADB.(2)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acos Bbcos(BC)0.證明：ABC為等腰三角形；若2(b2c2a2)bc，求cos Bcos C的值解證明：acos Bbcos (BC)0，由正弦定理得sin Acos Bsin Bcos(A)0，即sin Acos Bsin Bcos A0，3分sin(AB)0，ABk，kZ.4分A，B是ABC的兩內(nèi)角，AB0，即AB，5分ABC是等腰三角形.6分由2(b2c2a2)bc，得，7分由余弦定理得cos A，8分cos Ccos(2A)cos 2A12cos2 A.10分AB，cos Bcos A，11分cos Bcos C.12分熱點(diǎn)題型2三角形面積的求解問(wèn)題題型分析：三角形面積的計(jì)算及與三角形面積有關(guān)的最值問(wèn)題是解三角形的重要命題點(diǎn)之一，本質(zhì)上還是考查利用正、余弦定理解三角形，難度中等.(2015·山東高考)設(shè)f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若f0，a1，求ABC面積的最大值【解題指導(dǎo)】(1)(2)解(1)由題意知f(x)sin 2x.2分由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.4分所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k，k(kZ)；單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ).6分(2)由fsin A0，得sin A，7分由題意知A為銳角，所以cos A.8分由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，10分即bc2，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立因此bcsin A，所以ABC面積的最大值為.12分1在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)常先將函數(shù)的解析式利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為yAsin(x)B(或yAcos(x)B，yAtan(x)B)的形式，進(jìn)而利用函數(shù)ysin x(或ycos x，ytan x)的圖象與性質(zhì)解決問(wèn)題2在三角形中，正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有a2c2和ac兩項(xiàng)，二者的關(guān)系a2c2(ac)22ac經(jīng)常用到，有時(shí)還可利用基本不等式求最值變式訓(xùn)練2(2016·淄博模擬)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a4cos C，b1.(1)若sin C，求a，c；(2)若ABC是直角三角形，求ABC的面積解(1)sin C，cos2C1sin2C，cos C.1分4cos Ca，a，解得a或a.3分又a4cos C4×4×，a212(a21c2)，即2c2a21.5分當(dāng)a時(shí)，c2；當(dāng)a時(shí)，c.6分(2)由(1)可知2c2a21.又ABC為直角三角形，C不可能為直角若角A為直角，則a2b2c2c21，2c21c21，c，a，8分Sbc×1×.9分若角B為直角，則b2a2c2，a2c21.2c2a21(1c2)1，c2，a2，即c，a，11分Sac××.12分專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)(二)解三角形建議A、B組各用時(shí)：45分鐘A組高考達(dá)標(biāo)一、選擇題1(2016·煙臺(tái)模擬)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則cos B()AB.CD.B由正弦定理，得，即sin Bcos B，tan B.又0<B<，故B，cos B.2在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若bsin Aacos B0，且b2ac，則的值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722014】A.B.C2D4C由正弦定理得sin Bsin Asin Acos B0.sin A0，sin Bcos B0，tan B.又0B，B.由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，即b2(ac)23ac.又b2ac，4b2(ac)2，解得2.故選C.3(2016·臨沂模擬)在ABC中，cos A，3sin B2sin C，且ABC的面積為2，則邊BC的長(zhǎng)度為()A2B3C2D.B由cos A得sin A，由SABCbcsin A2，得bc6，又由3sin B2sin C，得3b2c.解方程組得由余弦定理得a2b2c22bccos A22322×6×9，a3，即BC3.4(2016·河北武邑中學(xué)期中)在ABC中，c，b1，B，則ABC的形狀為()A等腰直角三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰三角形或直角三角形D根據(jù)余弦定理有1a233a，解得a1或a2，當(dāng)a1時(shí)，三角形ABC為等腰三角形，當(dāng)a2時(shí)，三角形ABC為直角三角形，故選D.5(2016·海口調(diào)研)如圖2­2，在ABC中，C，BC4，點(diǎn)D在邊AC上，ADDB，DEAB，E為垂足若DE2，則cos A()圖2­2A.B.C.D.CDE2，BDAD.BDC2A，在BCD中，由正弦定理得，×，cos A，故選C.二、填空題6(2016·石家莊一模)已知ABC中，AC4，BC2，BAC60°，ADBC于點(diǎn)D，則的值為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722015】6在ABC中，由余弦定理可得BC2AC2AB22AC·ABcosBAC，即2816AB24AB，解得AB6或AB2(舍)，則cos ABC，BDAB·cosABC6×，CDBCBD2，所以6.7(2016·湖北七州聯(lián)考)如圖2­3，為了估測(cè)某塔的高度，在同一水平面的A，B兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量，在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂C在西偏北20°的方向上，仰角為60°；在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂C在東偏北40°的方向上，仰角為30°.若A，B兩點(diǎn)相距130 m，則塔的高度CD_m.圖2­310分析題意可知，設(shè)CDh，則AD，BDh，在ADB中，ADB180°20°40°120°，由余弦定理AB2BD2AD22BD·AD·cos 120°，可得13023h22·h··，解得h10，故塔的高度為10 m8(2016·合肥二模)如圖2­4，ABC中，AB4，BC2，ABCD60°，若ADC是銳角三角形，則DADC的取值范圍是_圖2­4(6,4在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22AB·BCcosABC12，即AC2.設(shè)ACD(30°<<90°)，則在ADC中，由正弦定理得，則DADC4sin sin(120°)44sin(30°)，而60°<30°<120°，4sin 60°<DADC4sin 90°，即6<DADC4.三、解答題9(2016·煙臺(tái)二模)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，bc，且sin2Csin2Bsin Bcos Bsin Ccos C.(1)求角A的大小；(2)若a，sin C，求ABC的面積解(1)由題意得sin 2Bsin 2C，2分整理得sin 2Bcos 2Bsin 2Ccos 2C，即sinsin，4分由bc，得BC，又BC(0，)，得2B2C，即BC，所以A.6分(2)因?yàn)閍，sin C，由正弦定理，得c.由ca，得CA，從而cos C，8分故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C××，10分所以ABC的面積為Sacsin B×××().12分10(2016·東北三省四市聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若角A是鈍角，且c3，求b的取值范圍解(1)由題意及正弦定理得sin Ccos B2sin Ccos A2sin Acos Csin Bcos C，1分sin Ccos Bsin Bcos C2(sin Ccos Asin A cos C)，sin(BC)2sin(AC).3分ABC，4分sin A2sin B，2.5分(2)由余弦定理得cos A<0，b>.8分bc>a，即b3>2b，b<3，10分由得b的取值范圍是(，3).12分B組名校沖刺一、選擇題1(2016·濰坊模擬)已知ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acos Bbcos A3ccos C，則cos C的值為()A. B. C. D.B由acos Bbcos A3ccos C得sin Acos Bcos Asin B3sin Ccos C，即sin(AB)3sin Ccos C，即sin C3sin Ccos C，所以cos C.2(2016·全國(guó)丙卷)在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則cos A()A.B.CDC法一：設(shè)ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則由題意得SABCa·aacsin B，ca.由余弦定理得b2a2c22accos Ba2a22×a×a×a2，ba.cos A.故選C.法二：同法一得ca.由正弦定理得sin Csin A, 又B，sin Csinsin A，即cos Asin Asin A，tan A3，A為鈍角又1tan2A，cos2A，cos A.故選C.3設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>B>C,3b20acos A，則sin Asin Bsin C()A432B567C543D654DA>B>C，a>b>c.又a，b，c為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，設(shè)an1，bn，cn1(n2，nN*)3b20acos A，cos A，即，化簡(jiǎn)得7n227n400，(n5)(7n8)0，n5.又，sin Asin Bsin Cabc654.故選D.4在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足csin Aacos C，則sin Asin B的最大值是()A1B.C3D.Dcsin Aacos C，sin Csin Asin Acos C.sin A0，tan C，0C，C，sin Asin Bsin Asinsin Acos Asin.0A，A，sin，sin Asin B的最大值為.故選D.二、填空題5(2016·忻州聯(lián)考)已知在ABC中，B2A，ACB的平分線CD把三角形分成面積比為43的兩部分，則cos A_.由題意可知SACDSBCD43，ADDB43，ACBC43，在ABC中，由正弦定理得sin Bsin A，又B2A，sin 2Asin A，cos A.6(2016·太原二模)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若BC，且7a2b2c24，則ABC面積的最大值為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722016】法一：由BC得bc，代入7a2b2c24，得7a22b24，則2b247a2，由余弦定理得cos C，所以sin C，則ABC的面積為Sabsin Cab×××4，當(dāng)且僅當(dāng)a2時(shí)取等號(hào)，則ABC的面積的最大值為.法二：由BC得bc，所以7a2b2c24，即為7a22c24，則ABC面積為a ×，所以最大值為.三、解答題7(2016·威海二模)已知f(x)cos x(sin xcos x)cos21(0)的最大值為3.(1)求函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸；(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，若不等式f(B)m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)cos x(sin xcos x)cos21sin xcos xcos2xsin2x1sin 2xcos 2x11.2分由題意知：13，212.0，2，4分f(x)sin 2xcos 2x12sin1.5分令2xk，解得x(kZ)，函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x(kZ).6分(2)，由正弦定理得，可變形得，sin(AB)2cos Asin C，即sin C2cos Asin C8分sin C0，cos A，又0A，A，9分f(B)2sin1，只需f(B)maxm.0B，2B，10分sin1，即0f(B)3，11分m3.12分8(2016·福州模擬)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足(2bc)cos Aacos C.(1)求角A的大??；(2)若a3，求ABC周長(zhǎng)的最大值解(1)由(2bc)cos Aacos C及正弦定理，得(2sin Bsin C)cos Asin Acos C，3分2sin Bcos Asin Ccos Asin Acos C，2sin Bcos Asin(CA)sin B.B(0，)，sin B0.A(0，)，cos A，A.6分(2)由(1)得A，由正弦定理得2，b2sin B，c2sin C.ABC的周長(zhǎng)l32sinB2sin9分32sinB233sin B3cos B36sin.B，當(dāng)B時(shí)，ABC的周長(zhǎng)取得最大值為9.12分