7、角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，b≠c，且sin2C－sin2B＝sin Bcos B－sin Ccos C.
(1)求角A的大??；
(2)若a＝，sin C＝，求△ABC的面積．
[解] (1)由題意得－＝sin 2B－sin 2C，2分
整理得sin 2B－cos 2B＝sin 2C－cos 2C，
即sin＝sin，4分
由b≠c，得B≠C，又B＋C∈(0，π)，得2B－＋2C－＝π，
即B＋C＝π，所以A＝.6分
(2)因?yàn)閍＝，sin C＝，由正弦定理＝，得c＝.
由c＜a，得C＜A，從而cos C＝，8分
故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos
8、C＋cos Asin C
＝×＋×＝，10分
所以△ABC的面積為S＝acsin B＝×××＝(＋).12分
10．(2016·東北三省四市聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知＝.
(1)求的值；
(2)若角A是鈍角，且c＝3，求b的取值范圍．
[解] (1)由題意及正弦定理得sin Ccos B－2sin Ccos A＝2sin Acos C－sin Bcos C，1分
∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2(sin Ccos A＋sin A cos C)，
∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C).3分
∵A＋B＋C＝π，4分
∴sin
9、A＝2sin B，∴＝2.5分
(2)由余弦定理得cos A＝＝＝<0，
∴b>.①8分
∵b＋c>a，即b＋3>2b，∴b<3，②10分
由①②得b的取值范圍是(，3).12分
[B組 名校沖刺]
一、選擇題
1．(2016·濰坊模擬)已知△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acos B＋bcos A＝3ccos C，則cos C的值為( )
A. B.
C. D.
B [由acos B＋bcos A＝3ccos C得sin Acos B＋cos Asin B＝3sin Ccos C，
即sin(A＋B)＝3sin Ccos C
10、，即sin C＝3sin Ccos C，
所以cos C＝.]
2．(2016·全國(guó)丙卷)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cos A＝
( )
A. B.
C．－ D．－
C [法一：設(shè)△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，
則由題意得S△ABC＝a·a＝acsin B，∴c＝a.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a.
∴cos A＝＝＝－.故選C.
法二：同法一得c＝a.
由正弦定理得sin C＝sin A, 又B＝，∴sin C＝sin＝sin A，即cos A＋sin A＝sin A，∴t
11、an A＝－3，∴A為鈍角．
又∵1＋tan2A＝，∴cos2A＝，
∴cos A＝－.故選C.]
3．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>B>C,3b＝20acos A，則sin A∶sin B∶sin C＝( )
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7
C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
D [∵A>B>C，∴a>b>c.
又∵a，b，c為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，
∴設(shè)a＝n＋1，b＝n，c＝n－1(n≥2，n∈N*)．
∵3b＝20acos A，∴＝cos A，
∴＝，
＝，
即＝，
化簡(jiǎn)得7n2－27n－40＝0，(n－5)
12、(7n＋8)＝0，
∴n＝5.
又∵＝＝，
∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4.
故選D.]
4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足csin A＝acos C，則sin A＋sin B的最大值是( )
A．1 B.
C．3 D.
D [∵csin A＝acos C，∴sin Csin A＝sin Acos C.
∵sin A≠0，∴tan C＝，
∵0＜C＜π，∴C＝，
∴sin A＋sin B＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＝sin.
∵0＜A＜，∴＜A＋＜，
∴＜sin≤，
∴sin A＋sin
13、B的最大值為.故選D.]
二、填空題
5．(2016·忻州聯(lián)考)已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分線CD把三角形分成面積比為4∶3的兩部分，則cos A＝__________.
[由題意可知S△ACD∶S△BCD＝4∶3，
∴AD∶DB＝4∶3，AC∶BC＝4∶3，在△ABC中，由正弦定理得
sin B＝sin A，
又B＝2A，∴sin 2A＝sin A，∴cos A＝.]
6．(2016·太原二模)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若∠B＝∠C，且7a2＋b2＋c2＝4，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722016】
14、
[法一：由∠B＝∠C得b＝c，代入7a2＋b2＋c2＝4，得7a2＋2b2＝4，則2b2＝4－7a2，由余弦定理得cos C＝＝，所以sin C＝＝＝，則△ABC的面積為S＝absin C＝ab×＝＝≤×＝×4＝，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝時(shí)取等號(hào)，則△ABC的面積的最大值為.
法二：由∠B＝∠C得b＝c，所以7a2＋b2＋c2＝4，即為7a2＋2c2＝4，則△ABC面積為a ＝≤×＝，所以最大值為.]
三、解答題
7．(2016·威海二模)已知f(x)＝cos x(λsin x－cos x)＋cos2＋1(λ＞0)的最大值為3.
(1)求函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸；
(2)在△ABC中，內(nèi)角A
15、，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且＝，若不等式f(B)＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解] (1)f(x)＝cos x(λsin x－cos x)＋cos2＋1
＝λsin xcos x－cos2x＋sin2x＋1＝λsin 2x－cos 2x＋1
≤＋1.2分
由題意知：＋1＝3，λ2＝12.
∵λ＞0，∴λ＝2，4分
∴f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1.5分
令2x－＝＋kπ，解得x＝＋(k∈Z)，
∴函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x＝＋(k∈Z).6分
(2)∵＝，由正弦定理得，＝，
可變形得，sin(A＋B)＝2cos Asin C，即sin C＝
16、2cos Asin C．8分
∵sin C≠0，∴cos A＝，又0＜A＜π，∴A＝，9分
∴f(B)＝2sin＋1，只需f(B)max＜m.
∵0＜B＜，∴－＜2B－＜，10分
∴－＜sin≤1，即0＜f(B)≤3，11分
∴m＞3.12分
8．(2016·福州模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足(2b－c)cos A＝acos C.
(1)求角A的大??；
(2)若a＝3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．
[解] (1)由(2b－c)cos A＝acos C及正弦定理，
得(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，3分
∴2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C，
∴2sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B.
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0.
∵A∈(0，π)，cos A＝，∴A＝.6分
(2)由(1)得A＝，由正弦定理得＝＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C.
△ABC的周長(zhǎng)l＝3＋2sinB＋2sin9分
＝3＋2sinB＋2
＝3＋3sin B＋3cos B
＝3＋6sin.
∵B∈，∴當(dāng)B＝時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)取得最大值為9.12分
高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題1 三角函數(shù)與平面向量 突破點(diǎn)2 解三角形專題限時(shí)集訓(xùn) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題
