2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.1.5 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示教案 北師大版選修2-1課題向量的坐標(biāo) 教學(xué)目的要求1理解空間向量與有序數(shù)組之間的1-1對(duì)應(yīng)關(guān)系 2掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐標(biāo)表示主要內(nèi)容與時(shí)間分配1投影與投影定理 25分鐘2分向量與向量的坐標(biāo) 30分鐘3模與方向余弦的坐標(biāo)表示 35分鐘重點(diǎn)難點(diǎn)1投影定理2分向量3方向余弦的坐標(biāo)表示教學(xué)方法和手段啟發(fā)式教學(xué)法，使用電子教案1幾個(gè)概念(1) 軸上有向線段的值：設(shè)有一軸，是軸上的有向線段，如果數(shù)滿足，且當(dāng)與軸同向時(shí)是正的，當(dāng)與軸反向時(shí)是負(fù)的，那么數(shù)叫做軸上有向線段的值，記做AB，即。設(shè)e是與軸同方向的單位向量，則(2) 設(shè)A、B、C是u軸上任意三點(diǎn)，不論三點(diǎn)的相互位置如何，總有(3) 兩向量夾角的概念：設(shè)有兩個(gè)非零向量和b，任取空間一點(diǎn)O，作，規(guī)定不超過(guò)的稱為向量和b的夾角，記為(4) 空間一點(diǎn)A在軸上的投影：通過(guò)點(diǎn)A作軸的垂直平面，該平面與軸的交點(diǎn)叫做點(diǎn)A在軸上的投影。(5) 向量在軸上的投影：設(shè)已知向量的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸上的投影分別為點(diǎn)和，那么軸上的有向線段的值叫做向量在軸上的投影，記做。2投影定理性質(zhì)1：向量在軸上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦：性質(zhì)2：兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量在該軸上的投影的和，即 性質(zhì)3：向量與數(shù)的乘法在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘法。即二、向量在坐標(biāo)系上的分向量與向量的坐標(biāo)1向量在坐標(biāo)系上的分向量與向量的坐標(biāo)通過(guò)坐標(biāo)法，使平面上或空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，同樣地，為了溝通數(shù)與向量的研究，需要建立向量與有序數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。設(shè)a =是以為起點(diǎn)、為終點(diǎn)的向量，i、j、k分別表示 圖75沿x，y，z軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量，由圖75，并應(yīng)用向量的加法規(guī)則知：i + j+k或a = ax i + ayj + azk上式稱為向量a按基本單位向量的分解式。有序數(shù)組ax、ay、az與向量a一一對(duì)應(yīng)，向量a在三條坐標(biāo)軸上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐標(biāo)，并記為 a ax，ay，az。上式叫做向量a的坐標(biāo)表示式。于是，起點(diǎn)為終點(diǎn)為的向量可以表示為特別地，點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)O的向徑注意：向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影有本質(zhì)區(qū)別。向量a在坐標(biāo)軸上的投影是三個(gè)數(shù)ax、ay、az，向量a在坐標(biāo)軸上的分向量是三個(gè)向量ax i 、 ayj 、 azk.2向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)，即，則(1) 加法： 減法： 乘數(shù)： 或 平行：若a0時(shí)，向量相當(dāng)于，即也相當(dāng)于向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例即三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式設(shè)，可以用它與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角（均大于等于0，小于等于）來(lái)表示它的方向，稱為非零向量a的方向角，見(jiàn)圖76，其余弦表示形式稱為方向余弦。圖761 模2 方向余弦由性質(zhì)1知，當(dāng)時(shí)，有 任意向量的方向余弦有性質(zhì)： 與非零向量a同方向的單位向量為：3 例子：已知兩點(diǎn)M1(2,2,)、M2(1,3,0)，計(jì)算向量的模、方向余弦、方向角以及與同向的單位向量。解：1-2，3-2，0-=-1，1，-，設(shè)為與同向的單位向量，由于即得