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2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.1.2《橢圓的幾何性質(zhì)》教案（4）湘教版選修1-1 教學(xué)目標(biāo) n 1、進(jìn)一步理解并掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程 n 2、能根據(jù)條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 n 3、進(jìn)一步理解a、b、c、e的幾何意義，會(huì)用幾何性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題 n 4、在坐標(biāo)法的基礎(chǔ)上掌握點(diǎn)的軌跡條件滿足某曲線的定義時(shí)，用待定系數(shù)法求其方程 教學(xué)過(guò)程 1、復(fù)習(xí)回顧 A組　橢圓的定義運(yùn)用： ⑴ΔABC的周長(zhǎng)為20，且B(－4,0),C(4,0)，則點(diǎn)A的軌跡方程是_____________. x2/36+y2/20=1(y≠0) ⑵已知A(－1,0),B(1,0)，線段CA、AB、CB的長(zhǎng)成等差數(shù)列，則點(diǎn)C的軌跡方程是_____________. x2/4+y2/3=1 ⑶過(guò)點(diǎn)A(0,2)，且與圓B：x2＋(y＋2)2＝36內(nèi)切的動(dòng)圓圓心C的軌跡方程是__________. x2/5+y2/9=1 ⑷一動(dòng)圓與圓A：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓B：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程。 x2/25+y2/16=1 ⑸橢圓x2/12＋y2/3＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。 ⑹P是橢圓x2/100＋y2/64＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是焦點(diǎn).①如果∠F1PF2＝60，求ΔF1PF2的周長(zhǎng)及面積；②|PF1|?|PF2|的最大值。 分析：①考慮到∠F1PF2＝60和三角形的面積S＝absinC/2，只要求出|PF1|?|PF2|問(wèn)題就可以解決了.|PF1|?|PF2|如何求？如果設(shè)P(x,y)，由點(diǎn)P在橢圓上且∠F1PF2＝60，利用這兩個(gè)條件，列出關(guān)于x、y的兩個(gè)方程，解出x、y，再求ΔF1PF2的面積，雖然思路清晰，但運(yùn)算量過(guò)大，考慮到這是一個(gè)幾何問(wèn)題，能否利用圖形的幾何性質(zhì)呢？橢圓的定義。 ②考慮到|PF1|＋|PF2|＝20，要求|PF1|?|PF2|的最大值，應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理即可。 解：①∵|F1F2|＝12，|PF1|＋|PF2|＝20，∴ΔF1PF2的周長(zhǎng)為32 設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n,根據(jù)橢圓定義有m＋n＝20， 在ΔF1PF2中，∠F1PF2＝60，由余弦定理得：m2＋n2－2mncos60＝144 ∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，∴mn＝256/3 又SΔF1PF2＝|PF1|?|PF2|sin60/2， ②∵|PF1|＋|PF2|＝20 當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝10時(shí)等號(hào)成立， ∴|PF1|?|PF2|的最大值是100。 ⑺已知點(diǎn)P為橢圓x2/25＋y2/9＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn)，點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為d1, 點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d2。 ①若|PF1|＝3.5，則d2＝______；②若|PF1|∶|PF2|＝2∶3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_______；③若d2＝4.5，則d1＝_______；④若P(3,y)，則|PF1|＝______；⑤若|PF1|⊥|PF2|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_______；⑥若點(diǎn)M(3,－2)在橢圓內(nèi)部，則|PM|＋5|PF2|/4的最小值是_________。 小結(jié)：①點(diǎn)P(x0,y0)是橢圓x2/a2＋y2/b2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn)，點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為d1, 點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d2，則d1＝a2/c＋x0, d2＝a2/c－x0,|PF1|＝ed1＝a＋ex0，|PF1|＝ed2＝a－ex0。 ②充分利用定義 ⑻設(shè)橢圓x2/a2＋y2/b2＝1的兩焦點(diǎn)為F1、F2，A1、A2為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。 ①P是橢圓上的一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60，求ΔF1PF2的面積； ②若橢圓上存在一點(diǎn)Q，使∠A1QA2＝120，求橢圓離心率的范圍。 分析：①在ΔF1PF2中，∠F1PF2＝60，∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60 即4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2｜，又|PF1|＋|PF2|＝＝2a.∴|PF1||PF2|＝4(a2－c2)/3＝4b2/3 ②設(shè)Q(x0,y0)，則x02/a2＋y02/b2＝1，∵∠A1QA2＝120，不妨設(shè)A1(－a.0),A2(a,0),點(diǎn)Q在x軸上方 ，又，　，∵y0≤b,,即 解得，∴e2=1-(b/a)2≥2/3,。 ⑼求經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2)，以y軸為準(zhǔn)線，離心率為1/2的橢圓左頂點(diǎn)的軌跡方程。 分析：設(shè)左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y)，則由橢圓的第二定義可得左焦點(diǎn)為(3x/2,y), 又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2)，以y軸為準(zhǔn)線，離心率為1/2 ， 整理得： B組　利用圖形及圖形性質(zhì)解題 ⑴若橢圓兩準(zhǔn)線間的距離等于焦距的4倍，則這個(gè)橢圓的離心率是（?。〥 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑵已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是y＝9/2,則m等于（?。〢 A、1　　　　　　　　B、2　　　　　　　　　　C、3　　　　　　　　D、7 ⑶橢圓兩焦點(diǎn)和中心將兩準(zhǔn)線間的距離四等分，則一焦點(diǎn)與短軸連線的夾角是（?。〤 A、45　　　　　　　B、60　　　　　　　　　C、90　　　　　　　D、120 ⑷橢圓x2/100＋y2/36＝1上的點(diǎn)P到它的左準(zhǔn)線的距離是10，則點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的 距離是（?。〣 A、15　　　　　　　　B、12　　　　　　　　　C、10　　　　　　　D、8 ⑸中心在原點(diǎn)，離心率為，且一條準(zhǔn)線的方程是y＝3的橢圓方程是__________。x2/2＋y2/6＝1 ⑹點(diǎn)M與定點(diǎn)F(8,0)的距離和它到定直線x＝25/2的距離之比為4∶5，則點(diǎn)M的軌跡方程是_________。 　　　　 x2/100＋y2/36＝1 歸納總結(jié) ? 數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、類比的思想、特殊到一般 ? 數(shù)學(xué)方法：圖象法、化歸法、待定系數(shù)法、換元法、輔助圓法 ? 知識(shí)點(diǎn)：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的最值問(wèn)題 作業(yè)　 　　設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率，已知點(diǎn)P(0，3/2)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離為的點(diǎn)的坐標(biāo)。 　　　　　　 第五課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1、掌握橢圓的幾何性質(zhì)，掌握用坐標(biāo)法研究直線與橢圓的位置關(guān)系 2、熟練地求弦長(zhǎng)、面積、對(duì)稱等問(wèn)題 3、培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力 教學(xué)過(guò)程 1、復(fù)習(xí)回顧 橢圓的定義、幾何性質(zhì) 判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法 2、探索研究 直線與橢圓的位置關(guān)系：坐標(biāo)法(圍繞直線與橢圓的公共點(diǎn)展開(kāi)的)，將直線方程與橢圓方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ＞0時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ＜0時(shí)，直線與橢圓相離。 3、反思應(yīng)用 例1　當(dāng)m為何值時(shí)，直線l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144相切、相交、相離？ 分析：將直線方程y＝x＋m代入橢圓9x2＋16y2＝144中，得9x2＋16(x＋m)2＝144， 整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∵Δ＝(32m)2―425(16m2―144)＝－576m2＋14400 當(dāng)Δ＝0即m＝5時(shí)，直線與橢圓相切； 當(dāng)Δ＞0即－5＜m＜5時(shí)，直線與橢圓相交； 當(dāng)Δ＜0即m＜－5或m＞5時(shí)，直線與橢圓相離。 例2　已知斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)橢圓x2＋4y2＝4的右焦點(diǎn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|。 分析：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，由橢圓方程知：a2=4,b2=1,∴c2=3,∴右焦點(diǎn), ∴直線l的方程為，代入橢圓得 小結(jié)：弦長(zhǎng)公式 例3　過(guò)橢圓x2/16＋y2/4＝1內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)引一條弦AB，使AB被點(diǎn)M平分，求弦AB所在直線的方程。 解一：當(dāng)弦AB的斜率不存在時(shí)，弦AB的方程為x=2，不合題意舍去 　　　設(shè)弦AB所在直線的方程為：y－1＝k(x－2)，代入橢圓方程并整理得 　　　(4k2＋1)x2―8(2k2―k)x＋4(k2―1)2―16＝0，又設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1、x2為方程的兩個(gè)根， 于是，又M為AB的中點(diǎn)，，解之得k＝－1/2，故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0 解二：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，∵M(jìn)(2,1)為AB的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝4,y1＋y2＝2 又∵A、B兩點(diǎn)在橢圓上，∴x12＋4y12＝16，x,22＋4y22＝16，兩式相減得x12－x22＋4(y12－y22)＝0, ,故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0 解三：設(shè)A(x,y)，由M(2,1)為AB的中點(diǎn)得B(4―x,2―y) ∵A、B兩點(diǎn)在橢圓上，∴x2＋4y2＝16，(4－x)2＋4(2－y)2＝16，兩式相減得x＋2y－4＝0, 由于過(guò)A、B的直線只有一條，故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0 小結(jié)：解一常規(guī)解法；解二是解決有關(guān)中點(diǎn)弦問(wèn)題的常用方法；解三利用曲線系解題。 例4　試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使橢圓x2/4＋y2/3＝1上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y＝2x＋m對(duì)稱。 解一：設(shè)存在A(x1,y1),B(x2,y2) 關(guān)于直線l：y＝2x＋m對(duì)稱，故可設(shè)直線AB的方程為y＝2x＋t，代入橢圓方程x2/4＋y2/3＝1，并整理得x2―tx＋t2―3＝0，則Δ＝t2―4(t2―3)＞0。解得－2＜t＜2。 ∵x1＋x2＝t，∴AB的中點(diǎn)M為(t/2,3t/4),∵M(jìn)在直線l上，∴3t/4＝2t/2＋m,即m＝－t/4,從而－1/2＜m＜1/2. 解二：設(shè)存在A(x1,y1),B(x2,y2) 關(guān)于直線l：y＝2x＋m對(duì)稱，,則AB⊥l，且AB的中點(diǎn)M在l上， 設(shè)AB的中點(diǎn)M(x0,y0)，則x1＋x2＝2x0,y1＋y2＝2y0， 又∵A、B兩點(diǎn)在橢圓上，∴3x12＋4y12＝12，3x,22＋4y22＝12， 兩式相減得3(x12－x22)＋4(y12－y22)＝0, 即y0＝3x0/2,又y0＝2x0＋m，解得x0＝－2m，y0＝－3m， ∵點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，，即m2＋3m2＜1，解得－1/2＜m＜1/2. 例5　橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且|PQ|＝20/9，OP⊥OQ，求此橢圓的方程。 解：設(shè)橢圓方程為x2/a2＋y2/b2＝1(a＞b＞0)，左焦點(diǎn)F(－c,0) 當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，|FP|＝|FQ|＝b2/a，由OP⊥OQ知|FO|＝|FQ|，即c＝b2/a, ∴ac＝a2－c2，即e2＋e－1＝0，解得， 這與條件不符，∴PQ不垂直x軸 設(shè)PQ：y＝k(x＋c)，P(x1,y1),Q(x2,y2)，∵，∴設(shè)a＝2t,，則b＝t ∴橢圓方程可化為x2＋4y2＝4t2(t＞0)，將直線PQ的方程代入橢圓方程得 ，則x1、x2為方程的根 ∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0，即 整理得： ，整理得k2＝4/11， 此時(shí) ∵|PQ|＝20/9， 即 所以所求橢圓方程為x2/4＋y2＝1 4、歸納總結(jié) 數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程 知識(shí)點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、中點(diǎn)弦問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題 作業(yè)： 1、直線l與橢圓方程為4x2＋9y2＝36交于A、B兩點(diǎn)，并且AB的中點(diǎn)M(1,1)，求直線l的方程。 2、求焦點(diǎn)，截直線l：y＝2x－1所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2/7的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 答案：4x＋9y－13＝0； x2/75＋y2/25＝1