最新考綱 1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并 能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；2.能畫出簡單空 間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖， 能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的 直觀圖；3.會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的 三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；4.會畫某些建筑 物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不 做嚴格要求)；5.了解球、柱、錐、臺的表面積和體積的計算公 式,第1講 空間幾何體的三視圖、直觀圖、表面積與體積,1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,知 識 梳 理,平行且相等,全等,相似,矩形,直角邊,直角腰,直徑,2.空間幾何體的三視圖 空間幾何體的三視圖是用_得到，這種投影下與投影 面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是 _的，三視圖包括_、_、_ 3空間幾何體的直觀圖 空間幾何體的直觀圖常用_畫法來畫，其規(guī)則是： (1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、 y軸的夾角為_，z軸與x軸、y軸所在 平面_,正投影,完全相同,正視圖,側(cè)視圖,俯視圖,斜二測,45(或135),垂直,(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別_坐標軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度_，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)開 4柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積,平行于,不變,原來的一半,2rh,Sh,rl,Ch,Sh,4R2,5.幾何體的表面積 (1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是_ (2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是_、_、_；它們的表面積等于_與底面面積之和,各面面積之和,矩形,扇形,扇環(huán)形,側(cè)面積,1判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱 ( ) (2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐 ( ) (3)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同 ( ) (4)圓柱的側(cè)面展開圖是矩形 ( ),診 斷 自 測,2(2014福建卷)某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是 ( ) A圓柱 B圓錐 C四面體 D三棱柱 解析 由三視圖知識知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不可能為三角形，故選A. 答案 A,3以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于 ( ) A2 B C2 D1 解析 由題意得圓柱的底面半徑r1，母線l1.所以圓柱的側(cè)面積S2rl2，故選A. 答案 A,4(2014浙江卷)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的表面積是 ( ) A90 cm2 B129 cm2 C132 cm2 D138 cm2,答案 D,5(人教A必修2P28練習2改編)一個棱長為2 cm的正方體的頂點都在球面上，則球的體積為_cm3.,考點一 空間幾何體的三視圖與直觀圖 【例1】 (1)(2014湖北卷)在如圖所示的空間直角坐標系Oxyz中，一個四面體的頂點坐標分別是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)給出編號為的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為 ( ),A和 B和 C和 D和,(2)正AOB的邊長為a，建立如圖所 示的直角坐標系xOy，則它的直觀圖 的面積是_ 解析 (1)在空間直角坐標系中構(gòu)建棱 長為2的正方體，設A(0，0，2)， B(2，2，0)，C(1，2，1)，D(2，2，2)，則ABCD即為滿足條件的四面體，得出正視圖和俯視圖分別為和，故選D.,規(guī)律方法 (1)三視圖中，正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬即“長對正，寬相等，高平齊”(2)解決有關(guān)“斜二測畫法”問題時，一般在已知圖形中建立直角坐標系，盡量運用圖形中原有的垂直直線或圖形的對稱軸為坐標軸，圖形的對稱中心為原點，注意兩個圖形中關(guān)鍵線段長度的關(guān)系,【訓練1】 (1)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是 ( ) A棱柱 B棱臺 C圓柱 D圓臺,(2)如圖，矩形OABC是水平放置的 一個平面圖形的直觀圖，其中OA 6 cm，CD2 cm，則原圖形是( ) A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四邊形 解析 (1)(排除法)由正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體不可能是圓柱，排除選項C；又由俯視圖可知，該幾何體不可能是棱柱或棱臺，排除選項A，B，故選D.,(2)如圖，在原圖形OABC中， 答案 (1)D (2)C,考點二 空間幾何體的表面積 【例2】 (1)(2014安徽卷)一個多面 體的三視圖如圖所示，則該多 面體的表面積為 ( ),(2)(2014大綱全國卷)正四棱錐的頂點都在同一球面上若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為 ( ),答案 (1)A (2)A,規(guī)律方法 (1)已知幾何體的三視圖求其表面積，一般是先根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)與幾何體的表面積公式，求其表面積(2)多面體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積應注意重合部分的處理(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展開成平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和,【訓練2】 (1)設三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為 ( ),(2)一個幾何體的三視圖及其相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則這個幾何體的表面積為_,解析 (1)由題意知，該三棱柱為正三棱柱， 且側(cè)棱與底面邊長相等，均為a. 如圖，設O，O1分別為下、上底面中心，且 球心O2為O1O的中點，,(2)這個幾何體是一個圓臺被軸截面割出來的一半,考點三 空間幾何體的體積,(2)(2014遼寧卷)某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ( ),答案 (1)C (2)B 規(guī)律方法 (1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進行求解，其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解,【訓練3】 (1)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1 中，側(cè)棱AA1與側(cè)面BCC1B1的距離為2， 側(cè)面BCC1B1的面積為4，此三棱柱 ABCA1B1C1的體積為_ (2)(2014湖南卷改編)一塊石材表示的幾 何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的體積等于 ( ),解析 (1)(補形法)將三棱柱補成四棱柱，如圖所示 記A1到平面BCC1B1的距離為d，則d2.,第(1)題解析圖 第(2)題解析圖,(2)由三視圖可知該幾何體是一個直三棱柱，底面為直角三角形，高為12，如圖所示，其中AC6，BC8，ACB90，則AB10. 由題意知，當打磨成的球的大圓恰好與三棱柱底面直角三角形的內(nèi)切圓相同時，該球的半徑最大 答案 (1)4 (2)B,微型專題 空間幾何體表面上的最值問題 所謂空間幾何體表面上的最值問題，是指空間幾何體表面上的兩點之間的最小距離或某些點到某一個定點的距離之和的最值問題將空間幾何體表面進行展開是化解該難點的主要方法，對于多面體可以把各個面按照一定的順序展開到一個平面上，將旋轉(zhuǎn)體(主要是圓柱、圓錐、圓臺)可以按照某條母線進行側(cè)面展開，這樣就把本來不在一個平面上的問題轉(zhuǎn)化為同一個平面上的問題，結(jié)合問的具體情況在平面上求解最值即可,【例4】 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1 中，AB3，BC4，CC15，則沿著 長方體表面從A到C1的最短路線長為 _ 點撥 求幾何體表面上兩點間的最短距 離，可以將幾何體的側(cè)面展開，利用平 面內(nèi)兩點之間線段最短來解答 解析 在長方體的表面上從A到C1有三種不同的展開圖 (1)將平面ADD1A1繞著A1D1折起，得到的平面圖形如圖1所示,(2)將平面ABB1A1繞著A1B1折起， 得到的平面圖形如圖2所示則BC1549，AB3，連接AC1，,點評 本題的難點在于如何將長方體的表面展開，將其表面上的最短距離轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩點間距離來解決因為長方體的表面展開圖形狀比較多，其表面展開圖因展開的方式不同，會得到不同的結(jié)果，應將這些結(jié)果再進行比較才能確定最值本題易出現(xiàn)的問題是只利用一種表面展開圖得出數(shù)據(jù)就誤以為是最小值,思想方法 1棱柱、棱錐要掌握各部分的結(jié)構(gòu)特征，計算問題往往轉(zhuǎn)化到一個三角形中進行解決 2旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”特點，弄清底面、側(cè)面及展開圖形狀 3與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑,易錯防范 1臺體可以看成是由錐體截得的，但一定強調(diào)截面與底面平行 2同一物體放置的位置不同，所畫的三視圖可能不同 3在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實、不見為虛”在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中的虛線 4對于簡單的組合體的表面積，一定要注意其表面積是如何構(gòu)成的，在計算時不要多算也不要少算 5在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變，平行于y軸的線段平行性不變，長度減半”,