課時(shí)作業(yè)46立體幾何中的向量方法1如圖，三棱錐P­ABC中，底面ABC為直角三角形，ABBC2，D為AC的中點(diǎn)，PDDB，PDDB，PBCD.(1)求證：PD平面BCD；(2)求PA與平面PBC所成角的正弦值解：(1)證明：在直角三角形ABC中，ABBC2，D為AC的中點(diǎn)，BDCD，又PBCD，BDPBB，CD平面PBD，CDPD.又PDBD，BDCDD，PD平面BCD.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D­xyz，則A(，0,0)，B(0，0)，C(，0,0)，P(0,0，).(，0，)，(0，)，(，0)設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y，z)，由得取x1，得y1，z1，n(1，1，1)cos，n，直線PA與平面PBC所成角的正弦值為.2(2019·全國(guó)卷)圖1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB1，BEBF2，F(xiàn)BC60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求圖2中的二面角B­CG­A的大小解：(1)證明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE.又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)作EHBC，垂足為H.因?yàn)镋H平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC.由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2，EBC60°，可求得BH1，EH.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H­xyz，則A(1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，)，(1,0，)，(2，1,0)設(shè)平面ACGD的法向量為n(x，y，z)，則即所以可取n(3,6，)又平面BCGE的法向量可取為m(0,1,0)，所以cosn，m.因此二面角B­CG­A的大小為30°.3如圖，三棱臺(tái)ABC­EFG的底面是正三角形，平面ABC平面BCGF，CB2GF，BFCF.(1)求證：ABCG；(2)若BCCF，求直線AE與平面BEG所成角的正弦值解：(1)證明：取BC的中點(diǎn)為D，連接DF，如圖由題意得，平面ABC平面EFG，平面ABC平面BCGFBC，平面EFG平面BCGFFG，從而BCFG.CB2GF，CD綊GF，四邊形CDFG為平行四邊形，CGDF.BFCF，D為BC的中點(diǎn)，DFBC，CGBC.平面ABC平面BCGF，且平面ABC平面BCGFBC，CG平面BCGF，CG平面ABC，又AB平面ABC，CGAB.(2)連接AD.由ABC是正三角形，且D為BC的中點(diǎn)得，ADBC.由(1)知，CG平面ABC，CGDF，DFAD，DFBC，DB，DF，DA兩兩垂直以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，DF，DA所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D­xyz.設(shè)BC2，則A(0,0，)，B(1,0,0)，F(xiàn)(0，0)，G(1，0)，(2，0)CB2GF，2，E，.設(shè)平面BEG的法向量為n(x，y，z)，由可得，令x，則y2，z1，n(，2，1)為平面BEG的一個(gè)法向量設(shè)AE與平面BEG所成的角為，則sin|cos，n|.直線AE與平面BEG所成角的正弦值為.4(2019·北京卷)如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2，BC3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且.(1)求證：CD平面PAD；(2)求二面角F­AE­P的余弦值；(3)設(shè)點(diǎn)G在PB上，且.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由解：(1)證明：因?yàn)镻A平面ABCD，所以PACD.又因?yàn)锳DCD，PAADA，所以CD平面PAD.(2)過A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M.因?yàn)镻A平面ABCD，所以PAAM，PAAD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，則A(0,0,0)，B(2，1，0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以E(0,1,1)所以(0,1,1)，(2,2，2)，(0,0,2)所以，.設(shè)平面AEF的法向量為n(x，y，z)，則即令z1，則y1，x1.于是n(1，1,1)又因?yàn)槠矫鍼AD的法向量為p(1,0,0)，所以cosn，p.由題知，二面角F­AE­P為銳二面角，所以其余弦值為.(3)直線AG在平面AEF內(nèi)因?yàn)辄c(diǎn)G在PB上，且，(2，1，2)，所以，.由(2)知，平面AEF的法向量n(1，1,1)所以·n0.所以直線AG在平面AEF內(nèi)5已知三棱錐P­ABC(如圖1)的平面展開圖(如圖2)中，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)等于的正方形，ABE和BCF均為正三角形在三棱錐P­ABC中：(1)證明：平面PAC平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱PA上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線BM與平面PAC所成的角最大時(shí)，求二面角P­BC­M的余弦值解：(1)證明：如圖，設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO，PO.由題意，得PAPBPC，POBO1.因?yàn)樵赑AC中，PAPC，O為AC的中點(diǎn)，所以POAC.因?yàn)樵赑OB中，PO2OB2PB2，所以POOB.因?yàn)锳COBO，AC，OB平面ABC，所以PO平面ABC.因?yàn)镻O平面PAC，所以平面PAC平面ABC.(2)由(1)知，BOPO，由題意可得BOAC，所以BO平面PAC，所以BMO是直線BM與平面PAC所成的角，且tanBMO，所以當(dāng)線段OM最短，即M是PA的中點(diǎn)時(shí)，BMO最大由PO平面ABC，OBAC，得POOB，POOC，OBOC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OB，OP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)，M，(1，1,0)，(1,0，1)，.設(shè)平面MBC的法向量為m(x1，y1，z1)，由得令x11，得y11，z13，即m(1,1,3)是平面MBC的一個(gè)法向量設(shè)平面PBC的法向量為n(x2，y2，z2)，由得令x21，得y21，z21，即n(1,1,1)是平面PBC的一個(gè)法向量所以cosm，n.結(jié)合圖可知所求二面角為銳角，二面角P­BC­M的余弦值為.6(2019·天津卷)如圖，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求證：BF平面ADE；(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角E­BD­F的余弦值為，求線段CF的長(zhǎng)解：(1)證明：依題意，可以建立以A為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)設(shè)CFh(h>0)，則F(1,2，h)依題意，(1,0,0)是平面ADE的法向量，又(0,2，h)，可得·0，又因?yàn)橹本€BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依題意，(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2,2)設(shè)n(x，y，z)為平面BDE的法向量，則即不妨令z1，可得n(2,2,1)因此有cos，n.所以，直線CE與平面BDE所成角的正弦值為.(3)設(shè)m(x1，y1，z1)為平面BDF的法向量，則即不妨令y11，可得m.由題意，有|cosm，n|，解得h.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意所以，線段CF的長(zhǎng)為.7如圖，在四棱錐P­ABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，PAPD，PAPD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O為AD的中點(diǎn)(1)求證：平面POC平面PAD.(2)線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角Q­AC­D的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)證明：在PAD中，PAPD，O為AD的中點(diǎn)，POAD.在PAD中，PAPD，PAPD，AD2.在直角梯形ABCD中，O為AD的中點(diǎn)，OABC1，OCAD.又OCPOO，AD平面POC，又AD平面PAD，平面POC平面PAD.(2)易知PO，OC，OD兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則O(0,0,0)，P(0,0,1)，A(0，1，0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，假設(shè)存在，且設(shè)(01)連接OQ，(0,1，1)，(0，)，(0，1)，Q(0，1)設(shè)平面CAQ的法向量為m(x1，y1，z1)，則取z11，得m(1，1，1)又平面CAD的一個(gè)法向量為n(0,0,1)，二面角Q­AC­D的余弦值為，|cosm，n|，整理化簡(jiǎn)，得321030，解得或3(舍去)，故線段PD上存在滿足題意的點(diǎn)Q，且.8如圖，在菱形ABCD中，ABC60°，AC與BD交于點(diǎn)O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2.(1)求證：BD平面ACFE；(2)當(dāng)直線FO與平面BED所成的角為45°時(shí)，求異面直線OF與BE所成角的余弦值解：(1)證明：四邊形ABCD是菱形，BDAC.AE平面ABCD，BD平面ABCD，BDAE.又ACAEA，AC，AE平面ACFE，BD平面ACFE.(2)連接OE，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0)，O(0,0,0)，E(1,0,2)，F(xiàn)(1,0，a)(a>0)，則(0，0)，(1,0,2)，(1,0，a)設(shè)平面EBD的法向量為n(x，y，z)，則有即得y0.令z1，則x2，n(2,0,1)是平面EBD的一個(gè)法向量由題意得sin45°|cos，n|，解得a3或a(舍去)(1,0,3)，又(1，2)，cos，故異面直線OF與BE所成角的余弦值為.