課時(shí)作業(yè)56　定點(diǎn)、定值、探究性問題 1．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，且點(diǎn)(2，)在橢圓C上． (1)求橢圓C的方程及離心率； (2)過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)(直線不與x軸垂直)，已知點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，證明：直線PB恒過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)． 解：(1)由已知得解得 ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1， ∴橢圓C的離心率e＝＝＝. (2)證明：設(shè)P(x1，y1)，B(x2，y2)，則A(x1，－y1)， 可設(shè)PB的直線方程為y＝kx＋m， 聯(lián)立方程整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∵kAF＝kFB，∴＝， 整理得，2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－4m＝0， ∴2k·＋(m－k)·－4m＝0， 解得m＝－4k， ∴PB的直線方程為：y＝kx－4k＝k(x－4)，直線PB恒過定點(diǎn)(4,0)． 2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A為橢圓C上一點(diǎn)，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過A1，A2分別作x軸的垂線l1，l2，橢圓C的一條切線l：y＝kx＋m與l1，l2分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：∠MF1N為定值． 解：(1)由AF2⊥F1F2，|AF2|＝，得＝. 又e＝＝，a2＝b2＋c2， 所以a2＝9，b2＝8， 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)證明：由題意可知，l1的方程為x＝－3， l2的方程為x＝3. 直線l分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，所以＝(－2，－3k＋m)，＝(4,3k＋m)， 所以·＝－8＋m2－9k2. 聯(lián)立得， 得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0. 因?yàn)橹本€l與橢圓C相切， 所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0， 化簡得m2＝9k2＋8. 所以·＝－8＋m2－9k2＝0， 所以⊥， 故∠MF1N為定值. (注：可以先通過k＝0計(jì)算出此時(shí)∠MF1N＝，再驗(yàn)證一般性結(jié)論) 3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，短軸長為2. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若kOM·kON＝，求證：點(diǎn)(m，k)在定圓上． 解：(1)橢圓C的焦距為2c，由已知e＝＝，2b＝2，a2＝b2＋c2，得b＝1，a＝2， ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)證明：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立得， (4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 依題意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0， 化簡得m2<4k2＋1.① 由根與系數(shù)的關(guān)系得， x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， 若kOM·kON＝，則＝，即4y1y2＝5x1x2， ∴4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2， ∴(4k2－5)×＋4km·＋4m2＝0， 即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0， 化簡得m2＋k2＝.② 由①②得0≤m2<，<k2≤， ∴點(diǎn)(m，k)在定圓x2＋y2＝上．(沒求k的范圍不扣分) 4．在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓P與圓Q：(x－2)2＋y2＝1外切，且圓P與直線x＝－1相切，記動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的軌跡方程． (2)設(shè)過定點(diǎn)S(－2,0)的動(dòng)直線l與曲線C分別相交于A，B兩點(diǎn)，試問：在曲線C上是否存在點(diǎn)M(與A，B兩點(diǎn)相異)，當(dāng)直線MA，MB的斜率存在時(shí)，直線MA，MB的斜率之和為定值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r，因?yàn)閯?dòng)圓P與圓Q：(x－2)2＋y2＝1外切，所以＝r＋1.?、佟∮謩?dòng)圓P與直線x＝－1相切，所以r＝x＋1.?、凇∮散佗谙得y2＝8x，所以曲線C的軌跡方程為y2＝8x. (2)假設(shè)曲線C上存在點(diǎn)M滿足題設(shè)條件， 不妨設(shè)M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y＝8x0，y＝8x1，y＝8x2. kMA＝＝，kMB＝＝， 所以kMA＋kMB＝＋ ＝.?、? 顯然動(dòng)直線l的斜率存在且非零，設(shè)l：x＝ty－2， 聯(lián)立方程組消去x，得y2－8ty＋16＝0， 由Δ>0，得t>1或t<－1， 所以y1＋y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2. 代入③式得kMA＋kMB＝. 令＝m(m為常數(shù))， 整理得(8my0－64)t＋(my－16y0＋16m)＝0.?、? 因?yàn)棰苁綄?duì)任意t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)恒成立， 所以解得或 即M(2,4)或M(－2，－4)， 即曲線C上存在點(diǎn)M(2,4)或M(－2，－4)滿足題意． 5．已知F為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(2，)在橢圓C上，且PF⊥x軸． (1)求橢圓C的方程． (2)如圖，過點(diǎn)F的直線l分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交直線x＝4于點(diǎn)M.判定直線PA，PM，PB的斜率是否構(gòu)成等差數(shù)列？請(qǐng)說明理由． 解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(2，)在橢圓C上，且PF⊥x軸，所以c＝2.設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為E，則|EF|＝2c＝4，|PF|＝.在Rt△EFP中，|PE|2＝|PF|2＋|EF|2＝18，所以|PE|＝3.所以2a＝|PE|＋|PF|＝4，a＝2. b2＝a2－c2＝4，故橢圓C的方程為＋＝1. (2)由題意可設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)， 令x＝4得y＝2k，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,2k)． 聯(lián)立得(2k2＋1)x2－8k2x＋8(k2－1)＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1＋x2＝，x1x2＝.① 設(shè)直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3， 從而k1＝，k2＝，k3＝＝k－. 因?yàn)橹本€AB的方程為y＝k(x－2)， 所以y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)， 所以k1＋k2＝＋ ＝＋－ ＝2k－·.② 將①代入②得 k1＋k2＝2k－·＝2k－. 又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3， 故直線PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列． 6．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，若直線PA與PB的斜率之積為－，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn). (1)求橢圓C的方程． (2)若PB，PA分別交直線x＝－1于M，N兩點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F作以線段MN為直徑的圓的切線，切線長是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由． 解：(1)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，由題意知A(－a,0)，B(a,0)，且＋＝1，則kPA·kPB＝·＝＝·＝－＝－，即3a2＝4b2，① 又因?yàn)闄E圓C經(jīng)過點(diǎn)，故＋＝1，② 由①②可知，b2＝3，a2＝4， 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)由(1)可知A(－2,0)，B(2,0)，設(shè)kPA＝k(k≠0)． 由k·kPB＝－，得kPB＝－， 所以直線PB的方程為y＝－(x－2)，令x＝－1，得y＝，故M. 直線PA的方程為y＝k(x＋2)， 令x＝－1，得y＝k，故N(－1，k)． 因?yàn)閥MyN＝k·＝>0， 所以以線段MN為直徑的圓在x軸同側(cè)． 設(shè)FT為圓的一條切線，切點(diǎn)為T，連接MT，NT， 可知△FTN∽△FMT，故＝，|FT|2＝|FM|·|FN|＝|k|·＝，故|FT|＝，所以過左焦點(diǎn)F作以線段MN為直徑的圓的切線，切線長為定值.