課時(shí)作業(yè)41空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1一個(gè)球的表面積是16，那么這個(gè)球的體積為(B)A. B.C16 D24解析：設(shè)球的半徑為R，則S4R216，解得R2，則球的體積VR3.2已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為(B)A1 cm B2 cmC3 cm D. cm解析：由題意，得S表r2rlr2r·2r3r212，解得r24，所以r2(cm)3現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè)若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為(B)A. B.C2 D3解析：設(shè)新的底面半徑為r，由題意得r2·4r2·8×52×4×22×8，解得r.4已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，該三棱柱的五個(gè)面所在的平面截球面所得的圓大小相同，若球O的表面積為20，則三棱柱的體積為(A)A6 B12C12 D18解析：設(shè)球O的半徑為R，則由4R220得R25，由題意知，此三棱柱為正三棱柱，且底面三角形的外接圓與側(cè)面的外接圓大小相同，故設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，如圖，取三角形ABC的中心O1，四邊形BCC1B1的中心O2，連接OO1，OA，O2B，O1A，由題意可知，在RtAOO1中，OOAOAO2R2，即22R25，又AO1BO2，所以AOBO，即222，由可得a212，h2，所以三棱柱的體積Vh6.故選A.5已知正三棱錐的高為6，內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切)的表面積為16，則其底面邊長(zhǎng)為(B)A18 B12C6 D4解析：如圖，由題意知，球心在三棱錐的高PE上，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則S球4R216，所以R2，所以O(shè)EOF2，OP4.在RtOPF中，PF2.因?yàn)镺PFDPE，所以，得DE2，AD3DE6，ABAD12.故選B.6(多選題)已知A，B，C三點(diǎn)均在球O的表面上，ABBCCA2，且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的，則下列結(jié)論正確的是(AD)A球O的表面積為6B球O的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為1C球O的外切正方體的棱長(zhǎng)為D球O的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為2解析：設(shè)球O的半徑為r，ABC的外接圓圓心為O，半徑為R.易得R.因?yàn)榍蛐腛到平面ABC的距離等于球O半徑的，所以r2r2，得r2.所以球O的表面積S4r24×6，選項(xiàng)A正確；球O的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)a滿足a2r，顯然選項(xiàng)B不正確；球O的外切正方體的棱長(zhǎng)b滿足b2r，顯然選項(xiàng)C不正確；球O的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)c滿足cr×2，選項(xiàng)D正確二、填空題7(2019·江蘇卷)如圖，長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐E­BCD的體積是10.解析：因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1的體積是120，所以CC1·S四邊形ABCD120，又E是CC1的中點(diǎn)，所以三棱錐E­BCD的體積VE­BCDEC·SBCD×CC1×S四邊形ABCD×12010.8如圖所示，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則.解析：由水面高度升高r，得圓柱體積增加了R2r，恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有r3R2r.故.9一個(gè)六棱錐的體積為2，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為12.解析：設(shè)六棱錐的高為h，則VSh，所以××4×6h2，解得h1.設(shè)六棱錐的斜高為h，則h2()2h2，故h2.所以該六棱錐的側(cè)面積為×2×2×612.10如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為菱形，PB底面ABCD，O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，若PB1，APBBAD，則三棱錐P­AOB的外接球的體積是.解析：四邊形ABCD是菱形，ACBD，即OAOB.PB平面ABCD，PBAO，又OBPBB，AO平面PBO，AOPO，即PAO是以PA為斜邊的直角三角形PBAB，PAB是以PA為斜邊的直角三角形，三棱錐P­AOB的外接球的直徑為PA.PB1，APB，PA2，三棱錐P­AOB的外接球的半徑為1，三棱錐P­AOB的外接球的體積為.三、解答題11現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P­A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB6 m，PO12 m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？解：由PO12 m知，O1O4PO18 m因?yàn)锳1B1AB6 m，所以正四棱錐P­A1B1C1D1的體積V錐·A1B·PO1×62×224(m3)；正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的體積V柱AB2·O1O62×8288(m3)，所以倉(cāng)庫(kù)的容積VV錐V柱24288312(m3)故倉(cāng)庫(kù)的容積是312 m3.12如圖，在等腰梯形ABCD中，ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，CD2AB2EF4，M為DF的中點(diǎn)現(xiàn)將四邊形BEFC沿EF折起，使平面BEFC平面AEFD，得到如圖所示的多面體在圖中，(1)證明：EFMC；(2)求三棱錐M­ABD的體積解：(1)證明：由題意，可知在等腰梯形ABCD中，ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，EFCD.折疊后，EFDF，EFCF.DFCFF，EF平面DCF.又MC平面DCF，EFMC.(2)易知AEBE1，DFCF2，DM1，MF1AE.又AEMF，四邊形AEFM為平行四邊形AMEF，故AMDF.平面BEFC平面AEFD，平面BEFC平面AEFDEF，且BEEF，BE平面AEFD.VM­ABDVB­AMD×SAMD×BE××1×2×1.即三棱錐M­ABD的體積為.13已知在四面體ABCD中，ADDBACCB1，則該四面體的體積的最大值為.解析：如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為P，連接PC，PD，因?yàn)锳DDB，ACCB，所以ABPD，ABPC，又PCPDP，所以AB平面PCD.設(shè)AB2x(0<x<1)，則PCPD.于是，V三棱錐A­BCDV三棱錐A­PCDV三棱錐B­PCD·SPCD·AP·SPCD·BP·SPCD·AB·2x·()2sinCPDx·()2.設(shè)函數(shù)f(x)x·()2(xx3)，0<x<1，則f(x)x2，所以當(dāng)0<x<時(shí)，f(x)>0；當(dāng)<x<1時(shí)，f(x)<0.所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f(x)maxf.從而V三棱錐A­BCD，當(dāng)且僅當(dāng)sinCPD1且x，即平面ABD平面ABC且AB時(shí)，不等式取等號(hào)故所求四面體的體積的最大值為.14如圖，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E為CD的中點(diǎn)，將ADE沿AE折到APE的位置(1)證明：AEPB；(2)當(dāng)四棱錐P­ABCE的體積最大時(shí)，求點(diǎn)C到平面PAB的距離解：(1)證明：在等腰梯形ABCD中，連接BD，交AE于點(diǎn)O.ABCE，ABCE，四邊形ABCE為平行四邊形，AEBCADDE，ADE為等邊三角形，在等腰梯形ABCD中，CADE，BDBC，BDAE.如圖，翻折后可得，OPAE，OBAE，又OP平面POB，OB平面POB，OPOBO，AE平面POB，PB平面POB，AEPB.(2)當(dāng)四棱錐P­ABCE的體積最大時(shí)，平面PAE平面ABCE.又平面PAE平面ABCEAE，PO平面PAE，POAE，OP平面ABCE.OPOB，PB，APAB1，SPAB××，連接AC，則VP­ABCOP·SABC××，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為d，VP­ABCVC­PABSPAB·d，d.