2.3.1 離 散 型 隨 機 變量 的 均 值 1、 離 散 型 隨 機 變 量 的 分 布 列 XP 1x ix2x 1p 2p ip 2、 離 散 型 隨 機 變 量 分 布 列 的 性 質(zhì) ：(1)pi0， i 1， 2， ；(2)p1 p2 pi 1 引 入 對 于 離 散 型 隨 機 變 量 ， 可 以 由 它 的 概 率 分布 列 確 定 與 該 隨 機 變 量 相 關(guān) 事 件 的 概 率 。 但 在實 際 問 題 中 ， 有 時 我 們 更 感 興 趣 的 是 隨 機 變 量的 某 些 數(shù) 字 特 征 。 例 如 ， 要 了 解 某 班 同 學(xué) 在 一次 數(shù) 學(xué) 測 驗 中 的 總 體 水 平 ， 很 重 要 的 是 看 平 均分 ； 要 了 解 某 班 同 學(xué) 數(shù) 學(xué) 成 績 是 否 “ 兩 極 分 化 ”則 需 要 考 察 這 個 班 數(shù) 學(xué) 成 績 的 方 差 。 我 們 還 常 常 希 望 直 接 通 過 數(shù) 字 來 反 映 隨 機 變量 的 某 個 方 面 的 特 征 ， 最 常 用 的 有 期 望 與 方 差 . 問 題 ： 某 人 射 擊 10次 ， 所 得 環(huán) 數(shù) 分 別 是 ： 1， 1，1， 1， 2， 2， 2， 3， 3， 4； 則 所 得 的 平 均 環(huán) 數(shù)是 多 少 ？ 210 4332221111 X把 環(huán) 數(shù) 看 成 隨 機 變 量 的 概 率 分 布 列 ：X 1 2 3 4P 104 103 102 101 21014102310321041 X 權(quán) 數(shù) 加權(quán)平均 按 3： 2： 1的 比 例 混 合 18元 /kg 混 合 糖 果 中 每 一 粒 糖 果 的 質(zhì) 量 都相 等24元 /kg 36元 /kg 定 價 為 混 合 糖 果 的 平 均 價 格 才 合 理 按 3： 2： 1的 比 例 混 合 18元 /kg 24元 /kg 36元 /kg m千 克 混 合 糖 果 的 總 價 格 為18 + 24 + 36 36 m 26 m 16 m平 均 價 格 為 3 2 118 24 366 6 63 2 118 366 6 6m m mm 元 3 kg 按 3： 2： 1的 比 例 混 合 18元 /kg 24元 /kg 36元 /kg 把 3種 糖 果 的 價 格 看 成 隨 機 變 量 的 概 率 分 布 列 ：X 18 24 36P 63 62 613 2 118 24 36 23( / )6 6 6X kg 元18 ( 18) 24 ( 24)36 ( 36) 23( / ) X P X P XP X kg 元 離 散 型 隨 機 變 量 取 值 的 平 均 值一 般 地 ， 若 離 散 型 隨 機 變 量 X的 概 率 分 布 為 ： nnii pxpxpxpxEX 2211則 稱為 隨 機 變 量 X的 均 值 或 數(shù) 學(xué) 期 望 。 它 反 映 了 離散 型 隨 機 變 量 取 值 的 平 均 水 平 。P 1x ix2x 1p 2p ip nxnpX 隨 機 變 量 X的 均值 與 X可 能 取 值的 算 術(shù) 平 均 數(shù) 相同 嗎X的 分 布 列 3 2 118 24 36 236 6 6EX 18 24 36 263 可 能 取 值 的 算 術(shù) 平 均 數(shù) 為XX 18 24 36P 612636 隨 機 變 量 x的 均 值 與x可 能 取 值 的 算 術(shù) 平均 數(shù) 何 時 相 等 舉 例 隨 機 拋 擲 一 個 骰 子 ， 求 所 得 骰 子 的 點 數(shù) X的 均 值 。 x 1 2 3 4 5 6P 61 61 61 61 61 611 1 1 71 2 . 66 6 6 2EX 1 2 6 7 6 2. X可 能 取 值 的 算 術(shù) 平 均 數(shù) 為 隨 機 變 量 的 均 值 與 樣 本 的平 均 值 有 何 區(qū) 別 和 聯(lián) 系隨 機 變 量 的 均 值 是 常 數(shù) ， 而 樣 本 的 平 均 值 隨 著 樣 本 的 不 同 而 變 化 ， 因 而 樣 本 的 平 均 值 是 隨 機 變 量 ；對 于 簡 單 隨 機 樣 本 ， 隨 著 樣 本 容 量 的 增 加 ， 樣 本 的 平 均 值 越 來 越 接 近 總 體 的 平 均 值 ， 因 此 ， 我 們 常 用 樣 本 的 平 均 值 來 估 計 總 體 的 平 均 值 。 設(shè) Y aX b， 其 中 a， b為 常 數(shù) ， 則 Y也 是隨 機 變 量 （ 1） Y的 分 布 列 是 什 么 ？（ 2） EY=？思 考 ：P 1x ix2x 1p 2p ip nxnpX nnii pxpxpxpxEX 2211 P 1x ix2x 1p 2p ip nxnpXP 1x ix2x 1p 2p ip nxnpXY bax 1 baxi bax 2 baxn nn pbaxpbaxpbaxEY )()()( 2211 )()( 212211 nnn pppbpxpxpxa baEX 一 、 離 散 型 隨 機 變 量 取 值 的 平 均 值 nnii pxpxpxpxEX 2211P 1x ix2x 1p 2p ip nxnpX二 、 數(shù) 學(xué) 期 望 的 性 質(zhì) baEXbaXE )( 1、 隨 機 變 量 的 分 布 列 是 1 3 5P 0.5 0.3 0.2(1)則 E= . 2、 隨 機 變 量 的 分 布 列 是2.4(2)若 =2+1， 則 E= . 5.8 4 7 9 10P 0.3 a b 0.2E=7.5,則 a= b= .0.40.1 例 1.籃 球 運 動 員 在 比 賽 中 每 次 罰 球 命 中 得 1分 ，罰 不 中 得 0分 已 知 某 運 動 員 罰 球 命 中 的 概 率 為0.7， 則 他 罰 球 1次 的 得 分 X的 均 值 是 多 少 ？X=1或 X=0 P(X=1)=0.7X 1 0P 0.7 0.31 0.7 0 0.3 0.7EX 一 般 地 ， 如 果 隨 機 變量 X服 從 兩 點 分 布 ，那 么 EX=？1 0 (1 )EX p p p 一 般 地 ， 如 果 隨 機 變 量 X服 從 兩 點 分 布 ，X 1 0P p 1 p則 pppEX )1(01小 結(jié) ： 例 2.籃 球 運 動 員 在 比 賽 中 每 次 罰 球 命 中 得 1分 ，罰 不 中 得 0分 已 知 某 運 動 員 罰 球 命 中 的 概 率 為0.7， 他 連 續(xù) 罰 球 3次 ；（ 1） 求 他 得 到 的 分 數(shù) X的 分 布 列 ；（ 2） 求 X的 期 望 。X 0 1 2 3P 33.0解 ： (1) X B（ 3， 0.7）213 3.07.0 C 3.07.0 223 C 37.0(2) 32232133 7.033.07.023.07.013.00 CCEX 1.2EX 7.03 如 果 XB（ n， p） ， 那 么EX=？ 1 110n k k n knknp C p q np 1 1 1 ( 1)10 1n nk k n k k k n kn nk kEX kC p q npC p q 一 般 地 ， 如 果 隨 機 變 量 X服 從 二 項 分 布 ，即 X B（ n,p） ， 則小 結(jié) ： npEX 證 明 ： n),0,1,2,(kqpCk)P( knkkn 0nnnknkkn 1n11nn00n qpnCqpkC qpC1qpC0E )qpCqpC qpCqpnp(C 01n1n 1n1)(k1)(n1k1k 1n 2n11 1n1n00 1n 所 以 若 B(n， p)， 則 E np 證 明 ： 若 B(n， p)， 則 E np 1( ) .nnp p q np 例 3.一 次 英 語 單 元 測 驗 由 20個 選 擇 題 構(gòu) 成 ，每 個 選 擇 題 有 4個 選 項 ， 其 中 有 且 只 有 一 個選 項 是 正 確 答 案 ， 每 題 選 擇 正 確 答 案 得 5分 ，不 作 出 選 擇 或 選 錯 不 得 分 ， 滿 分 100分 ， 學(xué)生 甲 選 對 任 一 題 的 概 率 為 0.9， 學(xué) 生 乙 則 在測 驗 中 對 每 題 都 從 4個 選 項 中 隨 機 地 選 擇 一個 。 求 學(xué) 生 甲 和 乙 在 這 次 英 語 單 元 測 驗 中 的成 績 的 期 望 。1 (20,0.9)X B 2 (20,0.25)X B 甲 選 對 題 數(shù) 為 1X乙 選 對 題 數(shù) 為 2X 歸 納 求 離 散 型 隨 機 變 量 均 值 的 步 驟 ： 、 確 定 離 散 型 隨 機 變 量 可 能 的 取 值 。 、 寫 出 分 布 列 ， 并 檢 查 分 布 列 的 正 確 與 否 。 、 求 出 均 值 。 學(xué) 生 甲 在 這 次 單 元 測 驗 中的 成 績 一 定 會 是 90分 嗎 ？他 的 成 績 的 均 值 是 90分 的含 義 是 什 么 例 4. 決 策 問 題 ： 決 策 的 準(zhǔn) 則 由 于 結(jié) 果 的 不 確 定 性 ， 原 則 之 一 就 是 ： 比 較各 種 決 策 的 “ 平 均 ” 好 處 ， 哪 種 決 策 的 平 均 好 處大 ， 就 選 哪 一 種 。 即 哪 個 決 策 的 期 望 值 大 ， 就 選擇 哪 一 種 。 例 ： 在 一 個 潮 濕 的 雙 休 日 早 晨 ， 你 想 步 行 會 一 個朋 友 。 由 于 擔(dān) 心 可 能 會 下 雨 ， 準(zhǔn) 備 帶 上 雨 傘 。 可能 采 取 的 行 動 有 兩 種 ： 帶 上 雨 傘 或 把 雨 傘 留 在 家里 ， 決 策 模 型 中 稱 之 為 “ 策 略 或 方 案 ” 。 碰 到 的 天 氣 情 況 也 有 兩 個 ： 下 雨 和 不 下 雨 ，決 策 模 型 中 稱 之 為 “ 狀 態(tài) 或 事 件 ” 。 面 對 以 上 兩 個策 略 和 兩 種 狀 態(tài) ， 有 且 僅 有 四 種 結(jié) 果 ： 帶 了 雨 傘 ， 下 雨 了 ； 帶 了 雨 傘 ， 沒 下 雨 ； 把 雨 傘 留 下 ， 下 雨 了 。 把 雨 傘 留 下 ， 沒 下 雨 。 類 似 這 樣 的 決 策 問 題 ， 我 們 稱 之 為 “ 風(fēng)險 型 ” 決 策 問 題 。 特 點 是 ， 決 策 中 可 能 碰 到 的 各 種 自 然 狀態(tài) （ 為 決 策 者 所 不 可 控 因 素 ） ， 其 發(fā) 生 的 概率 是 已 知 的 ， 或 者 是 可 以 估 算 出 來 。 決 策 的準(zhǔn) 則 就 是 “ 期 望 值 ” 原 則 ， 對 收 益 來 說 ， 期望 值 越 大 越 好 ， 對 損 失 來 說 ， 期 望 值 越 小 越好 。 當(dāng) 然 這 類 決 策 問 題 是 存 在 一 定 的 風(fēng) 險 的 。 例 5.（ 07全 國 ） 某 商 場 經(jīng) 銷 某 商 品 ， 根 據(jù) 以 往 資 料統(tǒng) 計 ， 顧 客 采 用 的 分 起 付 款 期 數(shù) 的 分 布 列 為 ： 1 2 3 4 5P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1商 場 經(jīng) 銷 一 件 該 商 品 ， 采 用 1期 付 款 ， 其 利 潤 為 200元 ， 分 2期 或 3期 付 款 ， 其 利 潤 為 250元 ， 分 4期 或 5期 付 款 ， 其 利 潤 為 300元 ， 表 示 經(jīng) 銷 一 件 該 商 品 的利 潤 。（ 1） 求 事 件 A： ” 購 買 該 商 品 的 3位 顧 客 中 ， 至 少 有一 位 采 用 1期 付 款 ” 的 概 率 P(A)；（ 2） 求 的 分 布 列 及 期 望 E 。 6(07 .20) 13 6 28 6 2. . ( E;P( E) 例 ： 安 徽 （ 本 小 題 分 ）在 醫(yī) 學(xué) 生 物 學(xué) 試 驗 中 ， 經(jīng) 常 以 果 蠅 作 為 試 驗 對 象 ， 一個 關(guān) 有 只 果 蠅 的 籠 子 里 ， 不 慎 混 入 了 只 蒼 蠅 （ 此 時 籠內(nèi) 有 只 蠅 子 ： 只 果 蠅 和 只 蒼 蠅 ） ， 只 好 把 籠 子 打 開 一個 小 孔 ， 讓 蠅 子 一 只 一 只 地 往 外 飛 ， 直 到 兩 只 蒼 蠅 都 飛出 ， 再 關(guān) 閉 小 孔 以 表 示 籠 內(nèi) 還 剩 下 的 果 蠅 的 只 數(shù) 寫出 的 分 布 列 ； 不 要 求 寫 計 算 過 程 ） 求 數(shù) 學(xué) 期 望 求 概 率 析 :審 清 題 意 是 解 決 該 題 的 關(guān) 鍵 . 1.抓 住 蠅 子 一 個 個 有 順 序 地 飛 出 ,易 聯(lián) 想 到 把 8只 蠅 子 看 作 8個 元 素 有 序 排 列 . ， 由 于 =0“表 示 ” ， 最 后 一 只 必 為果 蠅 ， 所 以 有 =1“表 示 ” P （ =0 ）= ， 同 理 有 P （ =1 ） = =2“表 示 ” 有 P （ =2） = =3“表 示 ” 有 P （ =3） =4“表 示 ” 有 P （ =4） = =5“表 示 ” 有 P （ =5） =6“表 示 ” 有 P （ =6） =1 72 788 728A AA 1 1 62 6 688 628A A AA 2 1 56 2 588 528A A AA 3 1 46 2 488 428A A AA 0 1 2 3 4 5 6p 的 分 布 列7 6 5 4 3 2 10 1 2 3 4 5 628 28 28 28 28 28 28 2E 728 628 528 428 328 228 128( ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) 15 28p E pp p p p p 例 7、 （ 07， 重 慶 ） 某 單 位 有 三 輛 汽 車 參 加 某 種 事 故保 險 ， 單 位 年 初 向 保 險 公 司 交 納 900元 的 保 險 金 ， 對在 一 年 內(nèi) 發(fā) 生 此 種 事 故 的 每 輛 汽 車 ， 單 位 可 獲 9000元 的 賠 償 （ 假 設(shè) 每 輛 車 最 多 只 賠 償 一 次 ） 。 設(shè) 這 三 輛車 在 一 年 內(nèi) 發(fā) 生 此 種 事 故 的 概 率 分 別 為 1/9、 1/10、1/11， 且 各 車 是 否 發(fā) 生 事 故 相 互 獨 立 ， 求 一 年 內(nèi) 該單 位 在 此 保 險 中 ：（ 1） 獲 賠 的 概 率 ；（ 2） 獲 賠 金 額 的 分 布 列 與 期 望 。 一 、 離 散 型 隨 機 變 量 取 值 的 平 均 值 nnii pxpxpxpxEX 2211P 1x ix2x 1p 2p ip nxnpX二 、 數(shù) 學(xué) 期 望 的 性 質(zhì) baEXbaXE )( 三 、 如 果 隨 機 變 量 X服 從 兩 點 分 布 ，X 1 0P p 1 p則 pEX 四 、 如 果 隨 機 變 量 X服 從 二 項 分 布 ， 即X B（ n,p） ， 則 npEX