2.3 雙 曲 線 2.3.1 雙曲線及其標準方程,一、雙曲線的定義,差的絕對值,小于,定,點F1,F2,兩焦點間,思考:在雙曲線的定義中,若去掉“絕對值”,其軌跡還是雙曲線嗎? 提示:不是.其軌跡是雙曲線的一支.,二、雙曲線的標準方程,(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),a2+b2,判斷:(正確的打“”,錯誤的打“”) (1)在雙曲線標準方程 中,規(guī)定a0,b0時ab.( ) (2)雙曲線標準方程中a,b,c的關(guān)系是a2+b2=c2.( ) (3)雙曲線 的焦點在y軸上.( ),提示:(1)錯誤.在標準方程中,a=b時,也表示雙曲線. (2)正確.雙曲線標準方程中,a,b,c滿足a2+b2=c2. (3)錯誤.根據(jù)標準方程的特點,雙曲線 的焦點應(yīng) 在x軸上. 答案:(1) (2) (3),【知識點撥】 1.對雙曲線定義的兩點說明 (1)距離的差要加絕對值,否則只為雙曲線的一支.若F1,F2表示雙曲線的左、右焦點,且點P滿足|PF1|-|PF2|=2a,則點P在右支上;若點P滿足|PF2|-|PF1|=2a,則點P在左支上. (2)在雙曲線定義中,規(guī)定2a2c時,動點P的軌跡不存在.,2.對雙曲線標準方程的四點認識 (1)只有當雙曲線的兩焦點F1,F2在坐標軸上,并且線段F1F2的垂直平分線也是坐標軸時得到的方程才是雙曲線的標準方程. (2)標準方程中的兩個參數(shù)a和b,確定了雙曲線的形狀和大小,是雙曲線的定形條件,這里b2=c2-a2,與橢圓中b2=a2-c2相區(qū)別,且橢圓中ab0,而雙曲線中a,b大小則不確定.,(3)焦點F1,F2的位置,是雙曲線定位的條件,它決定了雙曲線標準方程的類型.“焦點跟著正項走”,若x2項的系數(shù)為正,則焦點在x軸上,若y2項的系數(shù)為正,則焦點在y軸上. (4)雙曲線的標準方程都可化為一個統(tǒng)一的形式,即Ax2+By2=1(AB0).,類型 一 雙曲線的定義及應(yīng)用 【典型例題】 1.(2013三明高二檢測)若雙曲線 上的一點P到它 的右焦點的距離為8,則點P到它的左焦點的距離是( ) A.4 B.12 C.4或12 D.6,2.(2013大慶高二檢測)已知雙曲線C: 的左、右 焦點分別為F1,F2,P為雙曲線C的右支上一點,且|PF2|=|F1F2|, 則PF1F2的面積等于( ) A.24 B.36 C.48 D.96,【解題探究】1.使用雙曲線的定義解題時,要特別注意什么? 2.題2中利用雙曲線的定義和|PF2|=|F1F2|可知PF1F2具有哪些特征?如何計算其面積? 探究提示: 1.使用雙曲線的定義時,要特別注意“差的絕對值”等于常數(shù). 2.PF1F2是等腰三角形,且|PF1|-|PF2|=2a=6. 可求此等腰三角形的底和底邊上的高計算PF1F2的面積.,【解析】1.選C.設(shè)雙曲線的兩個焦點分別為A,B,由定義, |PA|-|PB|=4,|8-|PB|=4,|PB|=4或|PB|=12. 2.選C.在 中,a=3,b=4,c2=a2+b2=25, c=5. 由條件知,|PF2|=|F1F2|=2c=10. 又P為雙曲線C的右支上一點, |PF1|-|PF2|=2a=6,|PF1|=16.,過F2作F2TPF1于T,則T為PF1的中點. 且|PT|=8,|F2T|=6, 166=48.,【互動探究】若把題2中,“|PF2|=|F1F2|”改為“|PF1|PF2|=32”,其他條件不變,求F1PF2的值. 【解題指南】結(jié)合雙曲線定義及余弦定理解題. 【解析】令|PF1|=r1,|PF2|=r2, 則|r1-r2|=6,且r1r2=32.又2c=10, cosF1PF2= = =0,F1PF2=90.,【拓展提升】 1.雙曲線上點的性質(zhì),2.焦點三角形問題 雙曲線上的點P與其兩個焦點F1,F2連接而成的三角形PF1F2稱為焦點三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,F1PF2=,因|F1F2|=2c,所以有 定義:|r1-r2|=2a 余弦公式:4c2=r12+r22-2r1r2cos 面積公式: r1r2sin 一般地,在PF1F2中,通過以上三個等式,所求問題就會順利解決.,【變式訓(xùn)練】已知雙曲線方程為 (a0,b0),點A,B 在雙曲線右支上,線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點F2,|AB|=m,F1 為另一個焦點,則ABF1的周長為( ) A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m,【解析】選B.設(shè)ABF1的周長為Z,則 Z=|AF1|+|BF1|+|AB| =(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2|+|AB| =(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB| =2a+2a+2m=4a+2m.,類型 二 求雙曲線的標準方程 【典型例題】 1.(2013上高高二檢測)與橢圓 +y2=1共焦點且過點Q(2,1) 的雙曲線方程是( ) A. -y2=1 B. -y2=1 C. D. 2.已知雙曲線過P1(-2, )和P2( ,4)兩點,求雙曲線 的標準方程.,【解題探究】1.在橢圓和雙曲線的標準方程中,a,b,c的關(guān)系有什么區(qū)別? 2.當雙曲線的焦點位置不確定時,求標準方程有哪兩種常見思路? 探究提示: 1.在橢圓的標準方程中,a2-b2=c2;在雙曲線的標準方程中,a2+b2=c2. 2.思路1:分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論. 思路2:設(shè)雙曲線方程為mx2+ny2=1(mn0).,【解析】1.選A.方法一:橢圓 +y2=1的焦點是 (- ,0)和( ,0), 雙曲線的焦點也在x軸上且c= . 設(shè)雙曲線方程為 (a0,b0),則 且a2+b2=3.解得a2=2,b2=1,故標準方程為 -y2=1.,方法二:橢圓 +y2=1的焦點坐標為(- ,0)和( ,0), 雙曲線的兩個焦點坐標也是(- ,0)和( ,0). 點(2,1)在雙曲線上,則2a=| | = ( +1)- ( -1)=2 ,a= .從而b2=3-2=1. 雙曲線標準方程為 -y2=1.,2.方法一:當雙曲線的焦點在x軸上時,設(shè)雙曲線方程為 (a0,b0). 由P1,P2在雙曲線上,知 解之得 不合題意,舍去;,當雙曲線的焦點在y軸上時,設(shè)雙曲線的方程為 (a0,b0). 由P1,P2在雙曲線上,知 解之得 即a2=9,b2=16. 故所求雙曲線方程為,方法二:雙曲線的焦點位置不確定,可設(shè)雙曲線方程為mx2+ny2=1(mn0). P1,P2在雙曲線上, 解得 故所求雙曲線方程為 即,【拓展提升】 1.求雙曲線標準方程的兩個關(guān)注點,2.待定系數(shù)法求雙曲線標準方程的四個步驟 (1)定位置:根據(jù)條件確定雙曲線的焦點在哪條坐標軸上,還是兩種都有可能. (2)設(shè)方程:根據(jù)焦點位置,設(shè)其方程為 或 (a0,b0),焦點位置不定時,亦可設(shè)為 mx2+ny2=1(mn0). (3)尋關(guān)系:根據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,c(m,n)的方程組. (4)得方程:解方程組,將a,b(m,n)代入所設(shè)方程即可得(求)標準方程.,【變式訓(xùn)練】求適合下列條件的雙曲線的標準方程: (1)a=3,c=4,焦點在x軸上. (2)焦點為(0,-6),(0,6),經(jīng)過點A(-5,6). 【解析】(1)由題設(shè)a=3,c=4, c2=a2+b2得,b2=c2-a2=42-32=7. 因為雙曲線的焦點在x軸上,所以所求雙曲線的標準方程為,(2)由已知得c=6,且焦點在y軸上.因為點A(-5,6)在雙曲線上,所以點A與兩焦點的距離的差的絕對值是常數(shù)2a, 即2a=| | =|13-5|=8,則a=4,b2=c2-a2=62-42=20. 因此,所求雙曲線的標準方程是,類型 三 雙曲線標準方程的應(yīng)用 【典型例題】 1.(2013安陽高二檢測)若kR,則k3是方程 表示雙曲線的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,2.(2013大連高二檢測)方程 表示的曲線為C, 給出下列四個命題: 曲線C不可能為圓;若14;若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓, 則1k ,其中正確的命題是 .,【解題探究】1.如果方程 表示雙曲線,m,n需滿足什么條件? 2.形如mx2+ny2=1的方程,何時表示圓?何時表示橢圓?何時表示雙曲線?,探究提示: 1.根據(jù)雙曲線標準方程的特點,當mn0時,方程mx2+ny2=1表示圓,當m0,n0且mn時,方程mx2+ny2=1表示橢圓,當mn0時,方程mx2+ny2=1表示雙曲線.,【解析】1.選A.當 表示雙曲線時, 有(k-3)(k+3)0,即k3或k3”成立時,方程 表示雙曲線,反過來, 當方程表示雙曲線時,不一定有k3成立.,2.當4-k=k-1時,k= ,這時4-k=k-10,k= 時,方程表示圓, 故錯誤;當4-k0,k-10且4-kk-1即14或kk-10,即1k ,故正確. 答案:,【拓展提升】 1.對方程mx2+ny2=1表示曲線的分析,2.雙曲線標準方程與橢圓標準方程的比較,【變式訓(xùn)練】已知方程kx2+y2=4,其中k為實數(shù),對于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類型. 【解題指南】利用分類討論的思想解決. 【解析】(1)當k=0時,y=2,表示兩條與x軸平行的直線. (2)當k=1時,方程為x2+y2=4,表示圓心在原點,半徑為2的圓.,(3)當k1時,方程為 表示焦點在y軸上的橢圓.,定義法求雙曲線的方程 【典型例題】 1.已知點P(x,y)的坐標滿足下列條件,試判斷下列各條件下點P的軌跡是什么圖形: (1)滿足| |=6的軌跡是 . (2)滿足 =6的軌跡是 .,2.在MNG中,已知|NG|=4.當動點M 滿足條件sinG-sinN= sinM時, 求動點M的軌跡方程. 3.如圖,已知定圓C1:x2+y2+10x+24=0, 定圓C2:x2+y2-10x+9=0,動圓C與定圓C1, C2都外切,求動圓圓心C的軌跡方程.,【解析】1.(1)| |表示點P(x,y) 到兩定點F1(-5,0),F2(5,0)的距離之差的絕對值,|F1F2|=10, |PF1|-|PF2|=6|F1F2|,故點P的軌跡是雙曲線. (2) 表示點P(x,y)到兩定點 F1(-4,0),F2(4,0)的距離之差,|F1F2|=8, |PF1|-|PF2|=6|F1F2|, 故點P的軌跡是雙曲線的右支. 答案:(1)雙曲線 (2)雙曲線的右支,2.在MNG中,sinG-sinN= sinM,|NG|=4, 根據(jù)正弦定理得|MN|-|MG|= |NG|=21).,3.圓C1化為標準方程為(x+5)2+y2=1, 圓心C1(-5,0),半徑r1=1. 圓C2化為標準方程為(x-5)2+y2=42, 圓心C2(5,0),半徑r2=4. 設(shè)動圓C的圓心坐標為C(x,y),半徑為R,則有|CC1|=R+1,|CC2|=R+4, |CC2|-|CC1|=3且|CC2|-|CC1|C1C2|. C點軌跡是以C1,C2為焦點的雙曲線的左支,且a= ,c=5. 動圓圓心C的軌跡方程為 (x- ).,【拓展提升】 1.定義法求雙曲線的標準方程 如果平面內(nèi)的動點P(x,y)滿足條件:|PF1|-|PF2|=2a(定長),那么當02a|F1F2|時,P點的軌跡是雙曲線.當2a=|F1F2|時,P點的軌跡為兩條射線,如果條件中不含絕對值,那么其軌跡是雙曲線的一支或一條射線.,2.定義法求軌跡的三個關(guān)注點 關(guān)注點一:條件中是否含絕對值,當不含絕對值時,軌跡只能是其一支. 關(guān)注點二:直接求參數(shù)a,b,而不是利用距離公式寫出方程,避免復(fù)雜的運算. 關(guān)注點三:當差為常數(shù)時,要注意常數(shù)是否小于兩定點間的距離.,【易錯誤區(qū)】將雙曲線與橢圓定義混淆導(dǎo)致錯誤 【典例】(2012遼寧高考)已知雙曲線x2-y2=1,點F1,F2為其兩個焦點,點P為雙曲線上一點,若PF1PF2,則|PF1|+|PF2|的值為 .,【解析】不妨設(shè)|PF1|PF2|.由雙曲線方程x2-y2=1知 a=b=1,c= .由雙曲線定義得|PF1|-|PF2|=2a=2. 由已知條件PF1PF2及勾股定理得|PF1|2+|PF2|2 =|F1F2|2=(2c)2=8,上述兩式聯(lián)立,解得|PF1|= +1, |PF2|= -1,故|PF1|+|PF2|=2 . 答案:2,【誤區(qū)警示】,【防范措施】 1.正確理解定義 若點在橢圓上,則|PF1|+|PF2|=2a;若點在雙曲線上,則|PF1|-|PF2|=2a.要注意區(qū)分其差別,本例中可結(jié)合雙曲線的對稱性設(shè)|PF1|PF2|得到|PF1|-|PF2|=2a=2.,2.正確處理焦點三角形 處理焦點三角形時,一定要結(jié)合定義、勾股定理和余弦定理求解,在求解過程中要注意配方技巧,即|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|,如本例中,可由PF1PF2,結(jié)合勾股定理解決.,【類題試解】已知F1,F2為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點, 點P在C上,F1PF2=60,則|PF1|PF2|等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8,【解析】選B.由余弦定理得cosF1PF2 = cos60 = = |PF1|PF2|=4.,1.雙曲線方程為x2-2y2=1,則它的右焦點坐標為( ) A.( ,0) B.( ,0) C.( ,0) D.( ,0) 【解析】選C.雙曲線方程化為標準形式為x2- =1, c2=1+ = ,c= , 右焦點坐標為( ,0).,2.雙曲線 的兩個焦點分別是F1,F2,雙曲線上一點 P到F1的距離是12,則P到F2的距離是( ) A.17 B.7 C.7或17 D.2或22 【解析】選D.由 得a=5,b=3. 由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a=10. |PF2|=2或22,經(jīng)檢驗都滿足.,3.“k9”是“方程 表示雙曲線”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選A.方程表示雙曲線時(k-4)(9-k)0,解得k9或k9”是“方程 表示雙曲線”的充分不 必要條件.,4.下列方程表示焦點在y軸上的雙曲線的有 (把序號填在橫線上). x2- y2=1; =1(a0);y2-2x2=1; x2cos+y2sin=1( ). 【解析】根據(jù)雙曲線的標準方程形式,方程表示焦點在y軸上的雙曲線的有. 答案:,5.雙曲線的焦點為(-2,0)和(2,0),且b=1,則雙曲線的標準方程是 . 【解析】由條件知,雙曲線焦點在x軸上,且c=2,b=1, a2=c2-b2=22-12=3,雙曲線的標準方程為 -y2=1. 答案: -y2=1,6.焦點在x軸上的雙曲線過點P(4 ,-3),且點Q(0,5)與兩 焦點的連線互相垂直,求此雙曲線的標準方程. 【解析】因為雙曲線焦點在x軸上,所以設(shè)雙曲線的標準方 程為 (a0,b0). 因為雙曲線過點P(4 ,-3), 所以 .,又因為點Q(0,5)與兩焦點的連線互相垂直, 所以 =0,即-c2+25=0. 解得c2=25 . 又c2=a2+b2 , 所以由可解得a2=16或a2=50(舍去).所以b2=9,所以所 求的雙曲線的標準方程是,