2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 2.3.1 離散型隨機(jī)變量的均值,1.離散型隨機(jī)變量的均值及其性質(zhì) (1)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望: 一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 均值或數(shù)學(xué)期望E(X)=_. 數(shù)學(xué)期望的含義:反映了離散型隨機(jī)變量取值的_.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,平均水平,(2)均值的性質(zhì): 若Y=aX+b,其中a,b為常數(shù),X是隨機(jī)變量, Y也是隨機(jī)變量, E(aX+b)=_. 2.兩點分布、二項分布的均值 (1)兩點分布:若X服從兩點分布,則E(X)=_. (2)二項分布:若XB(n,p),則E(X)=_.,aE(X)+b,p,np,1.判一判(正確的打“”,錯誤的打“”) (1)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個變量,其隨X的變化而變 化. ( ) (2)隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值相同. ( ) (3)若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()=3,則E(4-5)=7. ( ),【解析】(1)錯誤.隨機(jī)變量的均值是常數(shù),其不隨X的變化而變化. (2)錯誤.隨機(jī)變量的均值是常數(shù),而樣本的平均值,隨樣本的不同而變化. (3)正確.E()=3,則E(4-5)=4E()-5=12-5=7. 答案:(1) (2) (3),2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)若隨機(jī)變量的分布列為 則的數(shù)學(xué)期望E()= . (2)設(shè)隨機(jī)變量XB(16,p),且E(X)=4,則p= . (3)(2014上海高二檢測)設(shè)口袋中有黑球、白球共7個,從中 任取2個球,已知取到白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 ,則口袋中白球 的個數(shù)為 .,【解析】(1)由題意可知m=0.5,故的數(shù)學(xué)期望 E()=00.2+10.3+20.5=1.3. 答案:1.3 (2)若隨機(jī)變量XB(16,p),且E(X)=4, 則16p=4,所以p= . 答案:,(3)設(shè)口袋中有白球n個,由題意知口袋中有黑球、白球共7個, 從中任取2個球,取到白球的概率是 ,因為每一次取到白球的 概率是一個定值,且每一次的結(jié)果只有取到白球和取不到白球 兩種結(jié)果,所以符合二項分布,所以2 ,所以n=3. 答案:3,【要點探究】 知識點 離散型隨機(jī)變量的均值及其性質(zhì) 1.對均值概念的四點說明 (1)均值的含義:均值是離散型隨機(jī)變量的一個重要特征數(shù),反映或刻畫的是離散型隨機(jī)變量取值的平均水平. (2)均值的來源:均值不是通過一次或幾次試驗就可以得到的,而是在大量的重復(fù)試驗中表現(xiàn)出來的相對穩(wěn)定的值.,(3)均值與平均數(shù)的區(qū)別:均值是概率意義下的平均值,不同于相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù). (4)均值的單位:隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量本身具有相同的單位.,2.對公式E(aX+b)=aE(X)+b的四點說明 (1)當(dāng)a=0時,E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個常數(shù)本身. (2)當(dāng)a=1時,E(X+b)=E(X)+b,即隨機(jī)變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個常數(shù)的和. (3)當(dāng)b=0時,E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的均值等于這個常數(shù)與隨機(jī)變量均值的乘積. (4)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2),即兩個隨機(jī)變量和的均值等于均值的和.,3.離散型隨機(jī)變量的均值與樣本平均值之間的關(guān)系,【微思考】 根據(jù)離散型隨機(jī)變量均值的定義思考,對于一般的離散型隨機(jī)變量,若要求出它的均值,需要確定的量有哪些? 提示:需要確定兩個量,一是離散型隨機(jī)變量的所有取值,另一個是每一個離散型隨機(jī)變量取值所對應(yīng)的概率.,【即時練】 一射手對靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中后的剩余子彈數(shù)目的期望為 ( ) A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 【解析】選C.由題意知=0,1,2,3, 因為當(dāng)=0時,表示前三次都沒射中,第四次還要射擊,但結(jié)果不計, 所以P(=0)=0.43,因為當(dāng)=1時,表示前兩次都沒射中,第三次射中, 所以P(=1)=0.60.42, 因為當(dāng)=2時,表示第一次沒射中,第二次射中, 所以P(=2)=0.60.4, 因為當(dāng)=3時,表示第一次射中, 所以P(=3)=0.6, 所以E()=00.43+10.60.42+20.60.4+30.6=2.376.,【題型示范】 類型一 求離散型隨機(jī)變量的均值 【典例1】 (1)已知隨機(jī)變量X的分布列如下表,則E(2X+5)=( ) A.1.32 B.2.64 C.6.32 D.7.64,(2)(2014浙江高考)已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍(lán)球(m3,n3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個球放入甲盒中. (a)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為i(i=1,2)； (b)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i=1,2).則( ) A.p1p2,E(1)E(2) C.p1p2,E(1)E(2) D.p1p2,E(1)E(2),【解題探究】1.題(1)中已知隨機(jī)變量X的分布列,如何計算E(X)?由性質(zhì)如何計算E(2X+5)? 2.題(2)中p1,p2分別等于什么？ 【探究提示】1.直接利用期望公式即可計算E(X),對于E(2X+5)的值,可以根據(jù)E(2X+5)=2E(X)+5計算.,【自主解答】(1)選D.由題意,E(X)=-20.16+10.44 +30.40=1.32, 所以E(2X+5)=2E(X)+5=2.64+5=7.64,故選D. (2)選A. 故p1p2,比較可知E(1)E(2)，故選A.,【方法技巧】求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟 (1)確定取值:根據(jù)隨機(jī)變量X的意義,寫出X可能取得的全部值. (2)求概率:求X取每個值的概率. (3)寫分布列:寫出X的分布列. (4)求均值:由均值的定義求出E(X).其中寫出隨機(jī)變量的分布列是求解此類問題的關(guān)鍵所在.,【變式訓(xùn)練】(2013陜西高考)在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號中隨機(jī)選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中隨機(jī)選3名歌手. (1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率. (2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.,【解題指南】(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式即可得解. (2)先確定隨機(jī)變量X的取值,再求隨機(jī)變量X的分布列,最后求出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.,【解析】(1)設(shè)事件A表示:觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中 3號歌手. 觀眾甲選中3號歌手的概率為 ,觀眾乙未選中3號歌手的概率 為1- . 所以P(A)= 因此，觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為,(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，則X可取 0,1,2,3. 觀眾甲選中3號歌手的概率為 ,觀眾乙、丙選中3號歌手的 概率為 . 當(dāng)觀眾甲、乙、丙均未選中3號歌手時，這時X=0， P(X=0)= . 當(dāng)觀眾甲、乙、丙中只有1人選中3號歌手時，這時X=1，,當(dāng)觀眾甲、乙、丙中只有2人選中3號歌手時，這時 當(dāng)觀眾甲、乙、丙均選中3號歌手時，這時X=3，,X的分布列如下表： 所以數(shù)學(xué)期望E(X)=,【補償訓(xùn)練】(2014徐州高二檢測)袋中有4只紅球,3只黑球,今從袋中隨機(jī)取出4只球.設(shè)取到一只紅球得2分,取到一只黑球得1分,試求得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望. 【解題指南】由題意知直接考慮得分的話,情況較復(fù)雜,可以考慮取出的4只球顏色的分布情況:4紅得(8分),3紅1黑得(7分),2紅2黑得(6分),1紅3黑得(5分),根據(jù)球的顏色列出概率,把概率和得分對應(yīng)起來,得到結(jié)論.,【解析】由題意知直接考慮得分的話，情況較復(fù)雜，可以考慮 取出的4只球顏色的分布情況： 因為4紅得(8分)，3紅1黑得(7分)，2紅2黑得(6分)，1紅3黑得 (5分)， 所以P(=5)= 所以E()=,類型二 兩點分布及二項分布的均值 【典例2】 (1)已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列如圖,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于 ( ),(2)(2013遼寧高考)現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類 題，張同學(xué)從中任取3道題解答. 求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率； 已知所取到的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設(shè)張同學(xué)答 對每道甲類題的概率都是 ，答對每道乙類題的概率都是 ， 且各題答對與否相互獨立.用X表示張同學(xué)答對題的個數(shù)，求X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.,【解題探究】1.題(1)中如何求出m的取值？ 2.對于“至少有一個”等問題，應(yīng)如何求解？求X的數(shù)學(xué)期望應(yīng)注意什么？ 【探究提示】1.根據(jù)分布列的性質(zhì)知m+2m=1，據(jù)此可求出m的值. 2.諸如“至少有一個”等問題，可以結(jié)合對立事件的概率來求解；對于隨機(jī)變量X的研究，需要了解隨機(jī)變量將取哪些值以及取這些值時對應(yīng)的事件及其概率，列出其分布列，正確應(yīng)用均值公式進(jìn)行計算.,【自主解答】(1)選D.由題意可得：m+2m=1，所以m= ，所以 E(X)=0 +1 = .故選D. (2)記事件A=“張同學(xué)所取的3道題至少取到1道乙類題”， 則 =“張同學(xué)所取的3道題全為甲類題”； 事件 =“張同學(xué)所取的3道題全為甲類題”共有 =20種取 法；而“從10道題中任取3道題”共有 =120種取法， 所以 .故P(A)= . 所以張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率為 .,張同學(xué)答對題的個數(shù)X的可能值為0，1，2，3. X=0表示張同學(xué)答對0道題，P(X=0)= X=1表示張同學(xué)答對1道題，包含以下兩種可能，“答對1道甲 類題”“答對1道乙類題”， 因此P(X=1)=,X=2表示張同學(xué)答對2道題，包含以下兩種可能，“答對2道甲類題”“答對1道甲類題和1道乙類題”， 因此 X=3表示張同學(xué)所取的3道題全部答對， 因此,所以X的分布列為 故X的數(shù)學(xué)期望為,【方法技巧】兩點分布與二項分布的關(guān)系 (1)相同點:一次試驗中要么發(fā)生要么不發(fā)生. (2)不同點: 隨機(jī)變量的取值不同,兩點分布隨機(jī)變量的取值為0,1,二項分布中隨機(jī)變量的取值x=0,1,2,n. 試驗次數(shù)不同,兩點分布一般只有一次試驗;二項分布則進(jìn)行n次試驗.,【變式訓(xùn)練】(2013山東高考)甲、乙兩支排球隊進(jìn)行比賽, 約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊 獲勝的概率是 外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是 .假設(shè) 每局比賽結(jié)果互相獨立. (1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率. (2)若比賽結(jié)果為30或31,則勝利方得3分,對方得0分;若比 賽結(jié)果為32,則勝利方得2分、對方得1分,求乙隊得分X的分 布列及數(shù)學(xué)期望.,【解題指南】(1)本題考查了相互獨立事件的概率.(2)本題考查的是隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,先列出X的所有值,并求出每個X值所對應(yīng)的概率,列出分布列,然后根據(jù)公式求出數(shù)學(xué)期望.,【解析】(1)記“甲隊以30勝利”為事件A1，“甲隊以31 勝利”為事件A2，“甲隊以32勝利”為事件A3，由題意，各 局比賽結(jié)果相互獨立，故P(A1)= 所以甲隊以30勝利、以31勝利的概率都為 ，甲隊以 32勝利的概率為 .,(2)設(shè)“乙隊以32勝利”為事件A4， 由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立， 所以 由題意，隨機(jī)變量的所有可能的取值為0,1,2,3， 根據(jù)事件的互斥性得,故的分布列為 所以E()=,【補償訓(xùn)練】拋擲兩個骰子,至少有一個4點或5點出現(xiàn)時,就說這次試驗成功,則在10次試驗中,成功次數(shù)的期望是( ) 【解題指南】由題意知試驗中的事件是相互獨立的，事件發(fā)生的概率是相同的，得到成功次數(shù)服從二項分布，根據(jù)二項分布的期望公式得到結(jié)果.,【解析】選D.因為成功次數(shù)服從二項分布， 每次試驗成功的概率為 所以在10次試驗中，成功次數(shù)的期望為 .故選D.,類型三 均值的應(yīng)用 【典例3】 (1)利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，應(yīng)選擇的方案是( ) A.A1 B.A2 C.A3 D.A4,(2)(2013四川高考)某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量x在1,2,3,24這24個整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生.,分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i=1,2,3). 甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復(fù)運行n次后,統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻數(shù).以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分?jǐn)?shù)據(jù).,甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分) 乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分),當(dāng)n=2100時,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示),并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大.,【解題探究】1.題(1)中選擇的方案應(yīng)具備什么特性? 2.題(2)中輸出的y值有幾種可能? 【探究提示】1.被選擇方案的特性是對應(yīng)的均值較大. 2.根據(jù)程序框圖知輸出的y值有3種可能,分別為1,2,3.,【自主解答】(1)選C.A1的均值為500.25+650.30+260.45=43.7; A2的均值為700.25+260.30+160.45=32.5; A3的均值為-200.25+520.30+780.45=45.7; A4的均值為980.25+820.30-100.45=44.6. 所以選方案A3.,(2)變量x是在1,2,3,24這24個整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個數(shù), 共有24種可能. 當(dāng)x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數(shù)中產(chǎn)生時,輸 出y的值為1,故P1= ; 當(dāng)x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數(shù)中產(chǎn)生時,輸出y的值為2, 故P2= ; 當(dāng)x從6,12,18,24這4個數(shù)中產(chǎn)生時,輸出y的值為3,故P3= . 所以,輸出y的值為1的概率P1= ,輸出y的值為2的概率P2= , 輸出y的值為3的概率P3= .,當(dāng)n=2100時,甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率如下: 比較頻率趨勢與概率,可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大.,【方法技巧】解答概率模型的三個步驟 (1)審題,確定實際問題是哪一種概率模型,可能用到的事件類型,所用的公式有哪些. (2)確定隨機(jī)變量的分布列,計算隨機(jī)變量的均值. (3)對照實際意義,回答概率、均值等所表示的結(jié)論.,【變式訓(xùn)練】(2013福建高考)某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動,舉 辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為 ,中獎可 以獲得2分;方案乙的中獎率為 ,中獎可以獲得3分;未中獎則 不得分.每人有且只有一次抽獎機(jī)會,每次抽獎中獎與否互不影 響,晚會結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎品. (1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累 計得分為X,求X3的概率. (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎, 問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數(shù)學(xué)期望較大?,【解析】(1)由已知得：小明中獎的概率為 ，小紅中獎的概 率為 ，且兩人中獎與否互不影響，記“這2人的累計得分 X3”的事件為A，則A事件的對立事件為“X=5”， 因為P(X=5)= 所以P(A)=1-P(X=5)= ， 所以這兩人的累計得分X3的概率為 ,(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數(shù)為X1，都選擇 方案乙抽獎中獎的次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得 分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望 為E(3X2)，由已知：X1B ，X2B ， 所以E(X1)= 所以E(2X1)=2E(X1)= ，E(3X2)=3E(X2)= ， 因為E(2X1)E(3X2)， 所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎時，累計得分的數(shù)學(xué)期望最 大,【補償訓(xùn)練】(2013海淀高二檢測)某公司準(zhǔn)備將100萬元資 金投入代理銷售業(yè)務(wù),現(xiàn)有A,B兩個項目可供選擇: 投資A項目一年后獲得的利潤X1(萬元)的分布列如下表所示: 且X1的均值E(X1)=12.,投資B項目一年后獲得的利潤X2(萬元)與B項目產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān),B項目產(chǎn)品價格根據(jù)銷售情況在4月和8月決定是否需要調(diào)整,兩次調(diào)整相互獨立且在4月和8月進(jìn)行價格調(diào)整的概率分別為p(0p1)和1-p.經(jīng)專家測算評估:B項目產(chǎn)品價格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次)與X2的關(guān)系如下表所示:,(1)求a,b的值. (2)求X2的分布列. (3)若E(X1) E(X2),則選擇投資B項目,求此時p的取值范圍.,【解析】(1)由題意得: 解得:a=0.5,b=0.1. (2)X2的可能取值為4.12,11.76,20.40. P(X2=4.12)=(1-p)1-(1-p)=p(1-p), P(X2=11.76)=p1-(1-p)+(1-p)(1-p)=p2+(1-p)2, P(X2=20.40)=p(1-p). 所以X2的分布列為:,(3)由(2)可得: E(X2)=4.12p(1-p)+11.76p2+(1-p)2+20.40p(1-p) =-p2+p+11.76. 因為E(X1)E(X2),所以12-p2+p+11.76. 所以0.4p0.6. 當(dāng)選擇投資B項目時,p的取值范圍是(0.4,0.6).,【易錯誤區(qū)】誤判的所有可能取值致錯 【典例】某同學(xué)參加科普知識競賽,需回答三個問題,競賽規(guī)則規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分.假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8,且各題回答正確與否相互之間沒有影響. 則這名同學(xué)回答這三個問題的總得分的數(shù)學(xué)期望為 .,【解析】的可能取值為-300，-100，100，300. P(=-300)=0.23=0.008，P(=-100)=30.220.8=0.096， P(=100)=30.20.82=0.384，P(=300)=0.83=0.512， 所以的分布列為 根據(jù)的分布列，可得的期望 E()=(-300)0.008+(-100)0.096+1000.384+3000.512 =180. 答案：180,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 注意題設(shè)信息的提取 合理分析題設(shè)信息可以避免因?qū)忣}帶來的不必要的失誤.如本例中的條件及待求問題都需要仔細(xì)研讀.,【類題試解】已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球得2分,取出一個黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機(jī)會均等)3個球,記隨機(jī)變量X為取出3球所得分?jǐn)?shù)之和.則X的數(shù)學(xué)期望E(X)= .,【解析】X的可能取值有：3，4，5，6. 故X的分布列為 故所求X的數(shù)學(xué)期望E(X)= . 答案：,