第2課時 雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用,類型 一 直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定 【典型例題】 1.(2013汝陽高二檢測)若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的 右支交于不同的兩點(diǎn),那么k的取值范圍是( ) A.(- , ) B.(0, ) C.(- ,0) D.(- ,-1),2.(2013大理高二檢測)已知雙曲線C:2x2-y2=2與點(diǎn)P(1,2).求過點(diǎn)P(1,2)的直線l的斜率的取值范圍,使l與C只有一個交點(diǎn). 【解題探究】1.題1中直線y=kx+2過定點(diǎn)嗎? 2.“當(dāng)直線l與雙曲線有且只有一個交點(diǎn)時,則=0”,這句話對嗎?,探究提示: 1.直線y=kx+2恒過定點(diǎn)(0,2). 2.這句話不正確.當(dāng)直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)時,除了=0的情況,還有直線與漸近線平行的情況.,【解析】1.選D.方法一:直線y=kx+2過定點(diǎn)(0,2)(如圖), 由圖可知,l2漸近線,且 =-1,l1與雙曲線相切,若l1的斜率為 ,那么顯然當(dāng) k-1時,直線與雙曲線的右支有兩個 不同的公共點(diǎn). 由 得(1-k2)x2-4kx-10=0, 令=0可解得 (舍). 故由圖可知k的取值范圍是(- ,-1).,方法二:由 得(k2-1)x2+4kx+10=0. 設(shè)直線與雙曲線的兩交點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2), 兩交點(diǎn)都在雙曲線的右支上, , - k-1.,2.先設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-1), 代入雙曲線C的方程,整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*) 當(dāng)2-k2=0,即k= 時,直線與雙曲線的漸近線平行, 此時只有一個交點(diǎn);,當(dāng)2-k20時,令=0,得k= ,此時只有一個公共點(diǎn). 又點(diǎn)(1,2)與雙曲線的右頂點(diǎn)(1,0)在直線x=1上,而x=1為雙曲 線的一條切線, 當(dāng)斜率不存在時,直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn). 綜上所述,當(dāng)k= 或k= 或斜率不存在時,l與C只有一個交 點(diǎn).,【互動探究】題1中,若直線與雙曲線有兩個不同的公共點(diǎn),k的取值范圍如何? 【解析】由 得(k2-1)x2+4kx+10=0. 當(dāng)k2-10即k1時,由=(4k)2-410(k2-1)0, 得 故k的取值范圍為(- ,-1)(-1,1)(1, ).,【拓展提升】直線與雙曲線交點(diǎn)個數(shù)問題的處理方法 把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,通過消元后化為一元二次方程,在二次項系數(shù)不為零的情況下考察方程的判別式. (1)0時,直線與雙曲線有兩個不同的交點(diǎn). (2)=0時,直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn). (3)0時,直線與雙曲線沒有公共點(diǎn). 另外,當(dāng)直線平行于雙曲線的漸近線時,直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn),故直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要而不充分條件.,【變式訓(xùn)練】已知雙曲線x2-y2=4,直線l:y=k(x-1),試討論實數(shù)k的取值范圍,使: (1)直線l與雙曲線有一個公共點(diǎn). (2)直線l與雙曲線有兩個公共點(diǎn). (3)直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn).,【解析】由 得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. (*) 當(dāng)1-k2=0,即k=1時,直線l與雙曲線的漸近線平行,方程化為2x=5,故此時方程(*)只有一個實數(shù)解; 當(dāng)1-k20,即k1時,=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).,當(dāng) 即 且k1時,方程(*)有 兩個不同的實數(shù)解; 當(dāng) 即k= 時,方程(*)有兩個相同的實數(shù)解; 當(dāng) 即k 時,方程(*)無實數(shù)解.,綜上所述: (1)當(dāng)k=1或k= 時,直線與雙曲線有一個公共點(diǎn). (2)當(dāng)- 時,直線與雙曲線沒有公共點(diǎn).,類型 二 直線與雙曲線的相交弦問題 【典型例題】 1.過點(diǎn)(0,1)且斜率為1的直線交雙曲線 于A,B兩點(diǎn), 則|AB|= . 2.經(jīng)過點(diǎn)M(2,2)作直線l交雙曲線 于A,B兩點(diǎn),且M為 AB中點(diǎn). (1)求直線l的方程. (2)求線段AB的長.,【解題探究】1.弦長公式的內(nèi)容是什么? 2.解決中點(diǎn)弦問題的常用方法是什么? 探究提示: 1.|AB|= |x1-x2|或|AB|= |y1-y2| (其中k是直線的斜率,當(dāng)k=0時用前者). 2.解決中點(diǎn)弦問題的常用方法是點(diǎn)差法,即把兩端點(diǎn)代入曲線方程作差,利用平方差公式得直線斜率再求解.,【解析】1.可知直線的方程為y=x+1. 與雙曲線方程x2- =1聯(lián)立消去y得, 3x2-2x-5=0. 設(shè)方程3x2-2x-5=0的解為x1,x2,則有 x1+x2= ,x1x2=- , |AB|= |x1-x2|= = 答案:,2.(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入雙曲線方程得 兩式相減得 , (x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2)=0. M為AB的中點(diǎn),x1+x2=4,y1+y2=4, 4(x1-x2)-(y1-y2)=0, l的方程為y-2=4(x-2),即y=4x-6.,(2)將y=4x-6代入到 中得3x2-12x+10=0, 故x1+x2=4,x1x2= |AB|=,【拓展提升】 1.直線和雙曲線相交所得弦長的兩種求法,2.中點(diǎn)弦問題的兩種處理方法,【變式訓(xùn)練】雙曲線 A(8,4),過A作直線l交雙 曲線于P,Q,A恰為PQ的中點(diǎn),求直線l的方程. 【解析】設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=16,y1+y2=8. 由 得 =,k= 由點(diǎn)斜式得y-4= (x-8), 即9x-8y-40=0, 把x=8代入 得y2=2742, 點(diǎn)(8,4)在雙曲線的內(nèi)部,即以(8,4)為中點(diǎn)的直線是存在的,故直線l的方程為9x-8y-40=0.,類型 三 與雙曲線有關(guān)的綜合問題 【典型例題】 1.(2013桂林高二檢測)已知圓x2+y2-4x-9=0與y軸的兩個交點(diǎn)A,B都在某雙曲線上,且A,B兩點(diǎn)恰好將此雙曲線的焦距三等分,則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A. B. C. D.,2.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率 為 ,且過點(diǎn)(4,- ). (1)求雙曲線的方程. (2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證: =0. (3)求F1MF2的面積.,【解題探究】1.題1中,雙曲線兩頂點(diǎn)三等分焦距,能得出什么結(jié)論? 2.雙曲線上的點(diǎn)具有什么性質(zhì)?平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式怎樣表達(dá)? 探究提示: 1.結(jié)論是2a= 2c,即c=3a. 2.(1)若點(diǎn)P在雙曲線上,則點(diǎn)P的坐標(biāo)一定適合于雙曲線的方程;點(diǎn)P滿足定義,即|PF1|-|PF2|=2a. (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.,【解析】1.選B.在x2+y2-4x-9=0中,令x=0得y=3,A(0,3),B(0,-3), A,B在雙曲線上, a=3,又A,B兩點(diǎn)恰好將此雙曲線的焦距三等分, 2a= 2c,c=9,從而b2=c2-a2=81-9=72. 雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上, 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,2.(1)e= ,可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=. 過點(diǎn)(4,- ),16-10=,即=6. 雙曲線方程為x2-y2=6. (2)方法一:由(1)可知,雙曲線中a=b= c=2 ,F1(-2 ,0),F2(2 ,0). ,點(diǎn)(3,m)在雙曲線上,9-m2=6,m2=3, 故 =-1,MF1MF2. =0. 方法二:由(1)可知 =(-3-2 ,-m), =(2 -3,-m), =(3+2 )(3-2 )+m2=-3+m2. M點(diǎn)在雙曲線上,9-m2=6,即m2-3=0, =0. (3)F1MF2的底|F1F2|=4 ,由(2)知m= . F1MF2的高h(yuǎn)=|m|= , =6.,【拓展提升】與雙曲線有關(guān)的綜合問題的三點(diǎn)說明,【變式訓(xùn)練】已知雙曲線C: (a0,b0),B是右頂 點(diǎn),F是右焦點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的正半軸上,且滿足 成等比數(shù)列,過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線 l,垂足為P. (1)求證 (2)若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點(diǎn)D,E,求雙曲線C的離心率e的取值范圍.,【解題指南】(1)寫出直線l的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,解得P點(diǎn)坐標(biāo),寫出向量的坐標(biāo)后表示出數(shù)量積,從而得到證明.(2)利用根的判別式且x1x20建立不等式,通過解不等式求得e的取值范圍.,【解析】(1)設(shè)直線l:y=- (x-c), 由 得P( ). 成等比數(shù)列,A( ,0). ,(2)聯(lián)立方程組 整理,得b2x2- (x-c)2=a2b2, 即 x1x2= a4, 即b2a2,c2-a2a2,e22,即e .,【規(guī)范解答】設(shè)而不求的思想在解雙曲線綜合問題中的應(yīng)用,【典例】,【條件分析】,【規(guī)范解答】(1)設(shè)雙曲線方程為 (a0,b0). 由已知得a= ,c=2,再由a2+b2=22,得b2=1. 故雙曲線C的方程為 -y2=1.3分 (2)將y=kx+ 代入 -y2=1得(1-3k2)x2-6 kx-9=0. 由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得 即k2 且k21.(*)6分,設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),則xA+xB= ,xAxB= 7分 由 2得xAxB+yAyB2, 9分 于是 即 解此不等式得 k23.(*) 由(*)(*)得 k21.11分 故k的取值范圍為(-1,- )( ,1).12分,【失分警示】,【防范措施】 1.關(guān)注題目中的每個條件 做雙曲線的綜合題要養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣,題中的任何條件都不要遺漏,當(dāng)然也包括隱含條件,如本例中“恒有兩個不同交點(diǎn)”,意思是“0”. 2.設(shè)而不求思想的應(yīng)用 解決雙曲線的綜合問題,常涉及等價轉(zhuǎn)化及方程的思想,以及整體的思想和設(shè)而不求的思想,“設(shè)而不求”是解決問題的常見方法,如本例中設(shè)出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),但并不需要求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo).,【類題試解】已知直線kx-y+1=0與雙曲線 相交于 兩個不同點(diǎn)A,B. (1)求k的取值范圍. (2)若x軸上的點(diǎn)M(3,0)到A,B兩點(diǎn)的距離相等,求k的值. 【解析】(1)由 得(1-2k2)x2-4kx-4=0. 解得:-1k1且k .,(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2= ,設(shè)P為AB中點(diǎn), 則P( ), 即P( ).點(diǎn)M(3,0)到A,B兩點(diǎn)的距離相等,MPAB,kMPkAB=-1, 即k =-1,解得k= 或k=-1(舍去),k= .,1.已知雙曲線9y2-m2x2=1(m0)的一個頂點(diǎn)到它的一條漸近線 的距離為 ,則m=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選D.雙曲線的頂點(diǎn)為(0,- )和(0, ),漸近線方程 為3ymx=0.由點(diǎn)到直線的距離公式得 m0,解得m=4.,2.過點(diǎn)A(4,3)作直線l,如果它與雙曲線 只有一 個公共點(diǎn),則直線l的條數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選C.把點(diǎn)A代入雙曲線方程可知,點(diǎn)A在雙曲線上,所以過A且與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線有3條,其中一條為切線,另兩條分別平行于漸近線.經(jīng)驗證切線所在的直線與漸近線不平行,故直線l的條數(shù)為3.,3.過雙曲線 (a0,b0)的一個焦點(diǎn)F作一條漸近線 的垂線,若垂足恰在線段OF(O為原點(diǎn))的垂直平分線上,則雙 曲線的離心率為( ) A. B. C. D.,【解析】選B.如圖,不妨設(shè)F為右焦點(diǎn), 向漸近線y= x所作垂線的垂足為P, 則由題知|PO|=|PF|, POF=45, 即 =1, 雙曲線的離心率 故選B.,4.直線2x-3y=0被雙曲線2x2-3y2=6截得的弦長是 . 【解析】由 得 和 弦長為 答案:2,5.雙曲線 與 的離心率分別為e1與e2, 則e1+e2的最小值為 . 【解析】e1= ,e2= (e1+e2)2= 2+2+22=8.e1+e2 =2 (當(dāng)且僅當(dāng)b=a時“=”成立). 答案:2,6.雙曲線的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,兩條漸近線分別為 l1,l2,經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線分別交l1,l2于A,B兩點(diǎn),已知 雙曲線離心率為 ,設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為4,求 雙曲線的方程.,【解析】 即a=2b.又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上, 可以設(shè)雙曲線的方程為x2-4y2=4b2. 不妨令l1的斜率為 ,c= b知, 直線AB的方程為y=-2(x- b) 將代入并化簡,得15x2-32 bx+84b2=0. 設(shè)直線AB與雙曲線的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2= ,x1x2= 于是AB被雙曲線截得的線段長為 |x1-x2| = = 由已知,得 b=4,解得b=3,a=6,故雙曲線的方程為,