2.3.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 第1課時 雙曲線的簡單幾何性質(zhì),一、雙曲線的簡單幾何性質(zhì),F1(-c,0),F2(c,0),F1(0,-c),F2(0,c),|F1F2|=2c,x-a,xa,R,y-a,ya,R,坐標軸,原點,A1(-a,0),A2(a,0),A1(0,-a),A2(0,a),A1A2,2a,B1B2,2b,a,b,(1,+),思考:雙曲線的漸近線確定時,其標準方程能確定嗎? 提示:不能.每條雙曲線對應唯一一組漸近線,但當漸近線確定時,它對應無數(shù)條雙曲線且焦點可能在x軸上,也可能在y軸上.,二、等軸雙曲線 等軸雙曲線是指_的雙曲線. 判斷:(正確的打“”,錯誤的打“”) (1)等軸雙曲線的離心率是 .( ) (2)等軸雙曲線的漸近線方程與雙曲線方程有關.( ) (3)離心率是 的雙曲線為等軸雙曲線.( ),實軸和虛軸等長,提示:(1)正確.a=b,c= a, (2)錯誤.等軸雙曲線中,a=b,漸近線方程為y=x, 與雙曲線方程無關. (3)正確.滿足等軸雙曲線的定義. 答案:(1) (2) (3),【知識點撥】 1.對雙曲線的幾何性質(zhì)的四點說明 (1)雙曲線的范圍反映了其圖象是兩支,且在范圍內(nèi)向兩方無限延伸. (2)雙曲線既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.(0,0)為對稱中心,坐標軸為對稱軸.,(3)雙曲線的離心率對開口大小的影響. 雙曲線的離心率e= 反映了雙曲線開口的大小,e越大,雙曲 線的開口就越大,這可以從離心率對漸近線斜率的影響上得 以理解.(以雙曲線 (a0,b0)為例) (e1),e越大,漸近線y= x斜率 的絕對值越大,即 越大,這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變 得開闊. 由此可見,雙曲線的離心率越大,它的開口就越大.,2.雙曲線與橢圓的六點不同,類型 一 由雙曲線標準方程求幾何性質(zhì) 【典型例題】 1.(2013宜春高二檢測)雙曲線x2- =-1的漸近線方程 為( ) A.y=3x B.y= x C.y= x D.y= x,2.(2013南昌高二檢測)設雙曲線 (0ab)的半 焦距為c,直線l過(a,0),(0,b)兩點,已知原點到直線l的距離 為 c,則雙曲線的離心率為( ) A.2或 B. C. D.2 3.求雙曲線x2-16y2=1的半實軸長和半虛軸長、焦點坐標、頂 點坐標、離心率、漸近線方程.,【解題探究】1.焦點在x軸、y軸上的雙曲線的漸近線方程分別是什么? 2.求雙曲線的離心率與求橢圓的離心率方法可以通用嗎? 3.如何確定雙曲線的焦點的位置?,探究提示: 1.當焦點在x軸上時,漸近線方程為y= x;當焦點在y軸上 時,漸近線方程為y= x. 2.方法是相同的,一是定義法,二是方程法. 3.“焦點跟著正項走”,即根據(jù)x2和y2的系數(shù)的正負確定焦點 位置,如mx2+ny2=1中,m0,n0時焦點 在y軸上.,【解析】1.選D.方法一:把雙曲線方程化為標準方程得 -x2=1,焦點在y軸上,a= ,b=1, 漸近線方程為y= x= x. 方法二:把方程中“-1”化為“0”得x2- =0 即y= x.,2.選D.由條件知l : 即bx+ay-ab=0, 即ab= c2. 16a2(c2-a2)=3c4即3e4-16e2+16=0, 解得e2=4或 . ba0,e= e=2.,3.把方程x2-16y2=1化為標準方程得x2- =1, 由此可知半實軸長a=1,半虛軸長b= ,c= 所以焦點坐標為(- ,0),( ,0),離心率e= 頂點坐標為(-1,0),(1,0),漸近線方程為y= x.,【拓展提升】 1.由雙曲線的標準方程求幾何性質(zhì)的四個步驟,2.求雙曲線離心率的兩種方法,【變式訓練】求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程. 【解題指南】首先把方程化為標準形式,再確定焦點位置,然后研究性質(zhì).,【解析】雙曲線的方程化為標準形式是 a2=9,b2=4,a=3,b=2,c= 又雙曲線的焦點在x軸上,所以頂點坐標為(-3,0),(3,0), 焦點坐標為(- ,0),( ,0). 實軸長2a=6,虛軸長2b=4. 離心率e= 漸近線方程為y= x.,類型 二 利用幾何性質(zhì)求雙曲線標準方程 【典型例題】 1.(2013唐山高二檢測)已知雙曲線的漸近線為y= x,焦點 坐標為(-4,0),(4,0),則雙曲線方程為( ) A. B. C. D. 2.(2013汝陽高二檢測)雙曲線的離心率等于2,且與橢圓 有相同的焦點,求此雙曲線的標準方程.,【解題探究】1.只根據(jù)漸近線方程能確定雙曲線焦點的位置嗎? 2.求雙曲線的標準方程常用的方法是什么? 探究提示: 1.不能.因為漸近線確定時,雙曲線不確定. 2.求雙曲線的標準方程常用的方法是待定系數(shù)法.,【解析】1.選D.雙曲線的漸近線為y= x,焦點在x軸上, 雙曲線方程可設為x2- =(0), 即 =1,a2=,b2=3, 焦點坐標為(-4,0),(4,0), c=4. c2=a2+b2=4=16=4, 雙曲線方程為,2.橢圓 的焦點坐標為(-4,0)和(4,0), 則可設雙曲線方程為 (a0,b0), c=4,又雙曲線的離心率等于2,即 =2, a=2,b2=c2-a2=12. 故所求雙曲線方程為,【互動探究】題2中,把“相同的焦點”改為“相同的頂點”, 雙曲線的方程如何? 【解析】橢圓 的頂點為(-5,0),(5,0), (0,-3),(0,3), 當頂點為(-5,0),(5,0)時,焦點在x軸上,且a=5,又 =2, c=10, 從而b2=75,標準方程為,當頂點為(0,-3),(0,3)時, 焦點在y軸上,且a=3,又e= =2, c=6,b2=c2-a2=36-9=27, 標準方程為 綜上可知,雙曲線的標準方程為 或,【拓展提升】待定系數(shù)法求雙曲線標準方程的步驟 當雙曲線的焦點不明確時,方程可能有兩種形式,此時應注意 分類討論,為了避免討論,也可設雙曲線方程為mx2-ny2=1(mn0), 從而直接求得.,【變式訓練】(2013亳州高二檢測)雙曲線與橢圓 有相同焦點,且經(jīng)過點( ,4),求雙曲線的方程. 【解題指南】橢圓的焦點在y軸上,可以直接設雙曲線方 程為 也可以直接設成 再列方程(組) 求解.,【解析】方法一:由題意知雙曲線焦點為F1(0,-3),F2(0,3), 可設雙曲線方程為 點( ,4)在曲線上,代入得a2=4或a2=36(舍), 雙曲線的方程為,方法二:由題意知雙曲線的焦點為F1(0,-3),F2(0,3), 可設雙曲線的方程為 (a0,b0). 由條件知,點( ,4)在雙曲線上, 2a= a=2,b2=c2-a2=32-22=5, 雙曲線的方程為,類型 三 與雙曲線的漸近線有關的問題 【典型例題】 1.(2013黃岡高二檢測)已知雙曲線 的一條漸近 線方程為y= x,則該雙曲線的離心率e為 . 2.已知雙曲線中心在原點,對稱軸為坐標軸,且過點P(3,-1), 一條漸近線與直線3x-y=10平行,求雙曲線的標準方程.,【解題探究】1.根據(jù) 能確定焦點的位置嗎? 2.由雙曲線上的點及漸近線能確定焦點的位置嗎? 探究提示: 1.因為m,n的符號不定,所以由 不能確定焦點的 位置. 2.能.可根據(jù)點與漸近線的位置關系確定焦點的位置.,【解析】1.當雙曲線的焦點在x軸上時, 漸近線方程為y= x, 離心率 當雙曲線的焦點在y軸上時,漸近線方程為y= x, 這時 離心率 故雙曲線的離心率為 或 . 答案: 或,2.由已知,雙曲線中心在原點,坐標軸為對稱軸,由于其中一 條漸近線與直線l:3x-y=10平行, 所以,雙曲線的一條漸近線方程為3x-y=0,即y=3x. 可設雙曲線方程為9x2-y2=(0).由于雙曲線過點 P(3,-1),所以932-(-1)2=,即=80. 所求雙曲線的標準方程為,【拓展提升】 1.求雙曲線漸近線方程的兩種方法,2.根據(jù)漸近線方程求雙曲線方程 (1)若雙曲線的漸近線方程為y= x,則雙曲線方程可表 示為 (0). (2)與雙曲線 (a0,b0)共漸近線的雙曲線方程 可表示為 (a0,b0,0);與雙曲線 (a0,b0)共漸近線的雙曲線方程可表示為 (a0,b0,0).,【變式訓練】求一條漸近線方程是3x+4y=0,一個焦點是(4,0)的雙曲線的標準方程. 【解析】方法一:雙曲線的漸近線方程可寫成 因此雙曲線的方程可寫成 (0). 由焦點在x軸上,知0,雙曲線的方程可寫成 由c=4,知16+9=16,即= 故所求雙曲線的標準方程為,方法二:由已知條件知雙曲線的焦點在x軸上且 解得a= ,b= ,c=4, 所以雙曲線的標準方程為,【易錯誤區(qū)】混淆雙曲線的位置關系導致列錯方程致誤 【典例】(2012湖北高考)如圖,雙曲線 (a,b0)的兩頂點為A1,A2,虛 軸兩端點為B1,B2,兩焦點為F1,F2.若以A1A2 為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2,切點分別為A,B,C,D,則 (1)雙曲線的離心率e= . (2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值 = .,【解析】(1) = ,化簡得: a2+ac-c2=0,即e2-e-1=0.又e1,則 (2)由題意知:S1=2bc,在OF2B2中連接OA,則|AF2|=b, 矩形ABCD邊長|AD|= ,|AB|= ,S2= , 則 答案:(1) (2),【誤區(qū)警示】,【防范措施】 1.位置關系不要混亂 解決解析幾何問題,常常在復雜的圖形中,容易混淆位置關系,解題時,要搞清a,b,c的幾何意義,從而準確地列出方程,本例中,圓的半徑是a,也是原點到菱形F1B1F2B2的四邊的距離.,2.轉(zhuǎn)化思想不要忘記 解題中,往往第(1)問的結(jié)論對第(2)問的影響很大,所以做題時要把第(2)問的解題靠攏第(1)問的結(jié)論,如本例中,離心率在第(1)問中已求出,要善于借用,把(2)中的比例關系轉(zhuǎn)化為離心率的關系. 3.數(shù)形結(jié)合協(xié)助解題 解題時,要強化數(shù)形結(jié)合的作用,“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微”,了解數(shù)與形結(jié)合的重要性,對解題有很大的幫助.如本例,若要借助圖形,轉(zhuǎn)化結(jié)果就會輕松求解.,【類題試解】(2013唐山高二檢測)已知雙曲線的方程為 (a0,b0),雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距 離為 c(c為雙曲線的半焦距長),則雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 【解析】選B.漸近線取y= x即bx-ay=0.焦點取F2(c,0), 則 從而3b= c,解得e=,1.雙曲線 的焦點到漸近線的距離為( ) A.2 B.2 C. D.1 【解析】選A.雙曲線的焦點是(-4,0)和(4,0),漸近線方程為 y= x,焦點到漸近線的距離是,2.雙曲線2x2-y2=8的實軸長是( ) A.2 B.2 C.4 D.4 【解析】選C.將雙曲線方程2x2-y2=8化為 a=2,實軸長2a=4.,3.與橢圓 +y2=1共焦點且過點P(2,1)的雙曲線方程是( ) A. -y2=1 B. -y2=1 C. D.x2- =1 【解析】選B.橢圓 +y2=1的焦點為( ,0),因為雙曲線與 橢圓共焦點,所以排除A,C.又雙曲線 -y2=1經(jīng)過點(2,1), 故選B.,4.已知等軸雙曲線的焦距為4,則該等軸雙曲線的方程為 . 【解析】當焦點在x軸上時,方程設為 則2a2=4, a2=2,即雙曲線方程為 同理焦點在y軸上時, 雙曲線方程為 答案: 或,5.雙曲線 (a0,b0)的一條漸近線方程為y= x, 則該雙曲線的離心率的值為 . 【解析】由已知得 所以 故 即 所以e= 答案:,6.中心在原點,焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦 點F1,F2,且|F1F2|=2 ,橢圓的長半軸與雙曲線半實軸之差 為4,離心率之比為37.求這兩條曲線的方程.,【解析】由已知:c= ,設橢圓長、短半軸長分別為a,b, 雙曲線半實軸、半虛軸長分別為m,n, 則 解得a=7,m=3.b=6,n=2. 橢圓方程為 雙曲線方程為,