專(zhuān)題強(qiáng)化練五 函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、選擇題1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(1)3，對(duì)任意xR，f(x)3，則f(x)3x6的解集為()Ax1x1Bx|x1Cx|x1 DR解析：設(shè)g(x)f(x)(3x6)，則g(x)f(x)30，所以g(x)為減函數(shù)，又g(1)f(1)30，所以g(x)0的解集為x|x1答案：C2(2018·貴陽(yáng)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，4，部分對(duì)應(yīng)值如下表：x10234f(x)12020f(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示當(dāng)1a2時(shí)，函數(shù)yf(x)a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4解析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，知2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù)yf(x)的大致圖象如圖所示由于f(0)f(3)2，1a2，所以yf(x)a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.答案：D3(2018·廣東二模)已知函數(shù)f(x)exln x，則下面對(duì)函數(shù)f(x)的描述正確的是()Ax(0，)，f(x)2Bx(0，)，f(x)2C x0(0，)，f(x0)0Df(x)min(0，1)解析：因?yàn)閒(x)exln x的定義域?yàn)?0，)，且f(x)ex，令g(x)xex1，x0，則g(x)(x1)ex0在(0，)上恒成立，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又g(0)·g(1)(e1)0，所以x0(0，1)，使g(x0)0，則f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，則f(x)minf(x0)ex0ln x0，又ex0，x0ln x0，所以f(x)minx02.答案：B4若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足f(x)xf(x)0，則()A3f(1)f(3) B3f(1)f(3)C3f(1)f(3) Df(1)f(3)解析：由于f(x)xf(x)，則0恒成立，因此y在R上是單調(diào)減函數(shù)，所以，即3f(1)f(3)答案：B5(2018·佛山市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)若mn，且f(m)f(n)，則nm的最小值是()A32ln 2 Be1C2 De1解析：作出函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示若mn，且f(m)f(n)，則當(dāng)ln x1時(shí)，得xe，因此1ne，1m1.又ln nm，即m2ln n1.所以nmn2ln n1，設(shè)h(n)n2ln n1(1ne)，則h(n)1.當(dāng)h(n)0，得2ne；當(dāng)h(n)0，得1n2.故當(dāng)n2時(shí)，函數(shù)h(n)取得最小值h(2)32ln 2.答案：A二、填空題6做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27 dm3，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_(kāi)dm.解析：設(shè)圓柱的底面半徑為R dm，母線長(zhǎng)為l dm，則VR2l27，所以l，要使用料最省，只需使圓柱形水桶的表面積最小S表R22RlR22·，所以S表2R.令S表0，得R3，則當(dāng)R3時(shí)，S表最小答案：37對(duì)于x(0，2)，不等式kxexx32x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：對(duì)于x(0，2)，kxexx32x2恒成立則kx22x對(duì)x(0，2)恒成立，設(shè)f(x)x22x，x(0，2)，則f(x)2(x1)(x1)·.令f(x)0，得x1，當(dāng)x(1，2)時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，所以kf(x)minf(1)e1.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(，e1)答案：(，e1)8(2018·江蘇卷改編)若函數(shù)f(x)2x3ax21(aR)在(0，)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)在0，1上的最大值是_解析：f(x)6x22ax2x(3xa)(aR)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0在(0，)上恒成立，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞增又f(0)1，所以此時(shí)f(x)在(0，)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，不滿足題意，因此a0.當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0得x.當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)為增函數(shù)，所以x0時(shí)，f(x)有極小值，為f1.因?yàn)閒(x)在(0，)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以f0，所以a3.所以f(x)2x33x21，則f(x)6x(x1)當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)0，故f(x)在x0，1上是減函數(shù)，所以f(x)maxf(0)1.答案：1三、解答題9已知函數(shù)f(x)ln x.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：ln .(1)解：f(x)ln x1ln x，f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)，令f(x)00x1，令f(x)0x1，所以f(x)1ln x在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減(2)證明：要證ln ，即證2ln x1，即證1ln x0.由(1)可知，f(x)1ln x在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，)上的最大值為f(1)11ln 10，即f(x)0，所以1ln x0恒成立原不等式得證10已知函數(shù)f(x)ex1，g(x)x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e2.718 28(1)證明：函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間(1，2)上有零點(diǎn)；(2)求方程f(x)g(x)的根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由(1)證明：由題意可得h(x)f(x)g(x)ex1x，所以h(1)e30，h(2)e230，所以h(1)·h(2)0，所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1，2)上有零點(diǎn)(2)解：由(1)可知，h(x)f(x)g(x)ex1x.由g(x)x知x0，)，而h(0)0，則x0為h(x)的一個(gè)零點(diǎn)又h(x)在(1，2)內(nèi)有零點(diǎn)，因此h(x)在0，)上至少有兩個(gè)零點(diǎn)h(x)exx1，記(x)exx1.則(x)exx，當(dāng)x(0，)時(shí)，(x)0，則(x)在(0，)上遞增易知(x)在(0，)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以h(x)在0，)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程f(x)g(x)的根的個(gè)數(shù)為2.11已知函數(shù)f(x)x(a1)ln x(aR且ae)，g(x)x2exxex.(1)當(dāng)x1，e時(shí)，求f(x)的最小值；(2)當(dāng)a1時(shí)，若存在x1e，e2，使得對(duì)任意的x22，0，f(x1)g(x2)恒成立，求a的取值范圍解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x).若a1，當(dāng)x1，e時(shí)，f(x)0，則f(x)在1，e上為增函數(shù)，f(x)minf(1)1a.若1ae，當(dāng)x1，a)時(shí)，f(x)0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)xa，e時(shí)，f(x)0，f(x)為增函數(shù)所以f(x)minf(a)a(a1)ln a1.綜上，當(dāng)a1時(shí)，f(x)min1a；當(dāng)1ae時(shí)，f(x)mina(a1)ln a1.(2)由題意知，f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2，0)的最小值由(1)知，當(dāng)a1時(shí)，f(x)在e，e2上單調(diào)遞增，f(x)minf(e)e(a1)，又g(x)(1ex)x.當(dāng)x2，0時(shí)，g(x)0，g(x)為減函數(shù)，則g(x)ming(0)1，所以e(a1)1，解得a，所以a的取值范圍為.