專(zhuān)題強(qiáng)化練二 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程一、選擇題1已知函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為()A.，0B2，0C. D0解析：當(dāng)x1時(shí)，由f(x)2x10，解得x0.當(dāng)x1時(shí)，由f(x)1log2x0，解得x，又因?yàn)閤1，所以此時(shí)方程無(wú)解綜上函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0.答案：D2(2018·天津卷)已知alog2e，bln 2，clog，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aabc BbacCcba Dcab解析：cloglog23，alog2e，由ylog2x在(0，)上是增函數(shù)，知ca1.又bln 21，故cab.答案：D3(2018·安徽安慶二模)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x2)f(x)，且x0，1時(shí)，f(x)x，則方程f(x)log3|x|解的個(gè)數(shù)是()A2B3C4D多于4解析：由f(x2)f(x)可得函數(shù)的周期為2，又函數(shù)為偶函數(shù)且當(dāng)x0，1時(shí)，f(x)x，故可作出函數(shù)f(x)得圖象如圖所示所以方程f(x)log3|x|解的個(gè)數(shù)等價(jià)于f(x)與ylog3|x|圖象的交點(diǎn)，由圖象可得它們有4個(gè)交點(diǎn)，故方程f(x)log3|x|解的個(gè)數(shù)為4.答案：C4將甲桶中的a L水緩慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線yaent.假設(shè)過(guò)5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過(guò)m min甲桶中的水只有 L，則m的值為()A5 B8 C9 D10解析：因?yàn)? min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函數(shù)yf(t)aent滿(mǎn)足f(5)ae5na，可得nln ，所以f(t)a·，因此，當(dāng)k min后甲桶中的水只有 L時(shí)，f(k)a·a，則，k10.由題意知，mk55.答案：A5已知函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)k有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A(2，2) B(2，1)C(0，2) D(1，3)解析：當(dāng)x0時(shí)，f(x)x33x，則f(x)3x23，令f(x)0，得x1(舍去正根)，故f(x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1，0)上單調(diào)遞減又f(x)ln(x1)在x0上單調(diào)遞增則函數(shù)f(x)圖象如圖所示所以f(x)極大值f(1)132，且f(0)0.故當(dāng)k(0，2)時(shí)，yf(x)k有三個(gè)不同的零點(diǎn)答案：C二、填空題6已知f(x)2xx1，g(x)log2xx1，h(x)log2x1的零點(diǎn)依次為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是_解析：令函數(shù)f(x)2xx10，可知x0，即a0，令g(x)log2xx10，則0x1，即0b1.令h(x)log2x10，知x2，即c2.因此cba.答案：cba7“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過(guò)廣告宣傳進(jìn)入消費(fèi)者視線的已知某品牌商品靠廣告銷(xiāo)售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿(mǎn)足關(guān)系Ra(a為常數(shù))，廣告效應(yīng)為DaA.那么精明的商人為了取得最大廣告效應(yīng)，投入的廣告費(fèi)應(yīng)為_(kāi)(用常數(shù)a表示)解析：令t(t0)，則At2，所以Datt2a2.所以當(dāng)ta，即Aa2時(shí)，D取得最大值答案：a28(2018·浙江卷改編)已知R，函數(shù)f(x)若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_解析：令f(x)0，當(dāng)x時(shí)，x4.當(dāng)x時(shí)，x24x30，則x1或x3，若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合如圖函數(shù)的圖象知，13或4.答案：(1，3(4，)三、解答題9候鳥(niǎo)每年都要隨季節(jié)的變化而進(jìn)行大規(guī)模的遷徙，研究某種鳥(niǎo)類(lèi)的專(zhuān)家發(fā)現(xiàn)，該種鳥(niǎo)類(lèi)的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為vablog3(其中a、b是實(shí)數(shù))據(jù)統(tǒng)計(jì)，該種鳥(niǎo)類(lèi)在靜止時(shí)其耗氧量為30個(gè)單位，而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，其飛行速度為1 m/s.(1)求出a、b的值；(2)若這種鳥(niǎo)類(lèi)為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，則其耗氧量至少要多少個(gè)單位？解：(1)由題意可知，當(dāng)這種鳥(niǎo)類(lèi)靜止時(shí)，它的速度為0 m/s，此時(shí)耗氧量為30個(gè)單位，故有ablog30，即ab0；當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，速度為1 m/s，故有ablog31，整理得a2b1.解方程組得(2)由(1)知，v1log3.所以要使飛行速度不低于2 m/s，則有v2，即1log32，即log33，解得Q270.所以若這種鳥(niǎo)類(lèi)為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，則其耗氧量至少要270個(gè)單位10(2018·江蘇卷節(jié)選改編)記f(x)，g(x)分別為函數(shù)f(x)，g(x)的導(dǎo)函數(shù)若存在x0R，滿(mǎn)足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，則稱(chēng)x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”(1)證明：函數(shù)f(x)x與g(x)x22x2不存在“S點(diǎn)”；(2)若函數(shù)f(x)ax21與g(x)ln x存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值(1)證明：函數(shù)f(x)x，g(x)x22x2，則f(x)1，g(x)2x2.由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得此方程組無(wú)解，因此，f(x)與g(x)不存在“S點(diǎn)”(2)解：函數(shù)f(x)ax21，g(x)ln x，則f(x)2ax，g(x).設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”，由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，得即(*)得ln x0，即x0e，則a.當(dāng)a時(shí)，x0e滿(mǎn)足方程組(*)，即x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”因此，a的值為.