3.2 平面向量基本定理,平面向量基本定理與基底 (1)平面向量基本定理： (2)基底：成為基底的條件：向量e1,e2_.,不共線,任一,1e1+2e2,不共線,1判一判 (正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)平面內(nèi)的兩個(gè)向量e1,e2，對(duì)于任一向量a，都有a=1e1+ 2e2(1,2R).( ) (2)基底中可以含有零向量.( ) (3)向量e1-e2，-e1+e2可以作為一組基底.( ),2做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)在平面向量基本定理中,若a=0,則1=2=_. (2)在平面向量基本定理中,若ae1,則2=0；若ae2,則1=_. (3)當(dāng)向量a與b共線時(shí)，這兩向量的夾角=_.,【解析】1.(1)錯(cuò)誤.當(dāng)e1,e2共線時(shí)不一定成立. (2)錯(cuò)誤.零向量與任意向量共線，因此基底中不能含有零向量. (3)錯(cuò)誤.因?yàn)閑1e2=-(e1+e2)，兩向量共線，所以不能作為一組基底. 答案：(1) (2) (3),2.(1)當(dāng)a=0，即1e1+2e2=0時(shí),因?yàn)?e1+0e2=0,所以根據(jù)實(shí)數(shù)1, 2相對(duì)于基底e1,e2唯一性知1=2=0. 答案：0 (2)當(dāng)ae1時(shí),a=e1=1e1+2e2,所以根據(jù)實(shí)數(shù)1, 2相對(duì)于基底e1,e2唯一性知1=,2=0.同理可知當(dāng)ae2時(shí)1=0. 答案：0,(3)當(dāng)向量a與b共線，即兩向量同向時(shí)夾角=0，反向時(shí)夾角=180. 答案：0或180,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn) 平面向量基本定理 對(duì)平面向量基本定理的理解 (1)基底是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量. (2)對(duì)給定的向量a，實(shí)數(shù)1，2相對(duì)于基底e1，e2是唯一的. 但是向量a對(duì)于不同的基底可以有不同的表示，即對(duì)應(yīng)不同的實(shí)數(shù)1,2.,(3)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本結(jié)構(gòu)，即同一平面內(nèi)任意三個(gè)不共線向量之間的關(guān)系是其中任何一個(gè)向量都可以表示為其他兩個(gè)不共線向量的線性組合.根據(jù)需要，只要選取的兩向量不共線都可作為基底.,【知識(shí)拓展】直線方程的向量表示式 如圖，點(diǎn)P在l上， 所以存在t使 所以 = 反過(guò)來(lái)，設(shè)點(diǎn)P滿足 則 即P在l上. 所以滿足 的點(diǎn)P一定在l上.,【微思考】 平面向量基本定理與向量的線性運(yùn)算有何關(guān)系？ 提示：平面向量基本定理體現(xiàn)了向量的線性運(yùn)算，即用兩個(gè)不共線向量的線性運(yùn)算表示平面內(nèi)任一向量.,【即時(shí)練】 1.如圖所示，向量 可用向量e1,e2表示為_.,2.已知e1和e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么下面四 組向量中能作為一組基底的是_. e1和e1+e2； e1+e2和e1-e2； e1-2e2和4e2-2e1； e1和e1-e2. 3.平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，用向量 作為基 底表示向量 =_.,【解析】1.由圖可知， =4e1+3e2. 答案： =4e1+3e2 2.由向量加法的平行四邊形法則可知向量e1，e1e2， e1+e2兩兩不共線，而4e2-2e1=-2(e1-2e2)，所以e1-2e2與4e2-2e1共線，故可以構(gòu)成一組基底的是e1和e1+e2，e1+e2和e1-e2，e1和e1e2. 答案： 3. 答案:,【題型示范】 類型一 向量的分解與作圖 【典例1】 (1)(2013廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a0，關(guān)于向量a的分解，有如下四個(gè)命題： 給定向量b，總存在向量c，使a=b+c； 給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)和，使a=b+c；,給定單位向量b和正數(shù)，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)，使a=b+c； 給定正數(shù)和，總存在單位向量b和單位向量c，使a=b+c. 上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是( ) A1 B2 C3 D4,(2)如圖所示，已知向量e1,e2,a=e1+2e2,b=2e1+e2,作出向量a-b.,【解題探究】1.題(1)中a分解的依據(jù)是什么? 2.題(2)中兩個(gè)向量的差能否直接用向量減法法則作圖？ 【探究提示】1.a向量的分解的依據(jù)是平面向量基本定理. 2.不能.需先作a，b，再利用向量運(yùn)算法則作出a-b.,【自主解答】(1)選B.利用向量加法的三角形法則，易得是真命題；利用平面向量基本定理，易得是真命題；以a的終點(diǎn)為圓心,作半徑為的圓，這個(gè)圓必須和向量b有交點(diǎn)，這個(gè)不一定能滿足，是假命題；由向量加法的三角形法則(不共線兩邊的和大于第三邊)，即|b|+|c|=+|a|，而給定的和不一定滿足此條件，所以是假命題.,(2)根據(jù)題意，可先作a，b，再作a-b. 作法： 如圖所示，任取一點(diǎn)O，作 作平行四邊形OAEC，連接OF，OE， 則 連接EF，則 就是所求的向量a-b.,【方法技巧】平面向量基本定理在作圖中的應(yīng)用 (1)利用向量共線定理畫出與基向量共線的向量. (2)利用向量的平行四邊形法則合成待求向量.,【變式訓(xùn)練】如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量 其中 與 的夾角為150， 與 的夾角為60，| |= | |=2，| |=2 ，若 (,R)， 則-的值是_,【解析】過(guò)C分別作OA,OB的平行線交OB,OA于E,D，則四邊形 EODC為平行四邊形， 在COD中，OC= ，COD=60，OCD=EOC=90，所以 OD=2OC= ，而OA=2，所以 在COE中，OC= ，OCE=60，EOC=90，所以O(shè)E= OCtan 60=6，而OB=2，所以 所以 所以= ，=3，所以-= -3. 答案： -3,【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示，已知基向量a，b，求作向量3a-2b.,【解析】作法：(1)如圖所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 (2)作平行四邊形OACB，連接OC，則 就是求作的向量.,類型二 用基底表示向量 【典例2】 (1)(2014商洛高一檢測(cè))如圖，在平行四邊形ABCD中， 則 =_(用a,b表示).,(2)如圖，已知梯形ABCD中，ABCD，且AB=2CD，E，F(xiàn)分別是 DC，AB的中點(diǎn)，設(shè) 試用a,b表示,【解題探究】1.題(1)中向量 與 的關(guān)系是什么？ 2.題(2)中四邊形AFCD是什么四邊形？ 【探究提示】1. 2.四邊形AFCD是平行四邊形.,【自主解答】(1) 答案：,(2)因?yàn)镈CAB，AB=2DC，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點(diǎn)，所以四邊形AFCD為平行四邊形， 所以 所以,【延伸探究】本例(1)中，若 其他條件不變， 則 =_. 【解析】 答案：,【方法技巧】應(yīng)用平面向量基本定理時(shí)的關(guān)注點(diǎn) (1)充分利用向量的加法、減法的法則，在平行四邊形、三角 形中確定向量的關(guān)系. (2)應(yīng)用數(shù)乘向量時(shí)特別注意線段的比例關(guān)系，如中點(diǎn)、三等 分點(diǎn)等. (3)一個(gè)重要結(jié)論：設(shè)a，b是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向 量，若x1a+y1b=x2a+y2b,則有,【變式訓(xùn)練】如圖所示，D，E是ABC中AB，AC邊的中點(diǎn)，M， N分別是DE，BC的中點(diǎn)，已知 =a， =b，試用a，b分別表 示 和,【解題指南】因?yàn)镈,E是ABC中AB,AC邊的中點(diǎn)，所以DE BC，故 可表達(dá)； 和 在ABC中，由向量的共線 和三角形法則表達(dá)即可.,【解析】由三角形中位線定理，知DE BC 故 即 =-a+b+ a=- a+b,【誤區(qū)警示】在利用向量加法的三角形法則表示向量時(shí)，容易將向量的方向弄反，解題時(shí)要特別注意.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】在平行四邊形ABCD中， 已知 則 =( ),【解析】選C.如圖，在三角形ABE中，有 其中 所以 故選C.,【規(guī)范解答】平面向量基本定理的綜合應(yīng)用 【典例】(12分)在ABC中，AMAB=13,ANAC=14,BN 與CM交于點(diǎn)E， 用a,b表示,【審題】抓信息，找思路,【解題】明步驟，得高分,【點(diǎn)題】警誤區(qū)，促提升 失分點(diǎn)1：未能設(shè)出處的比例關(guān)系，從而無(wú)法表示出 則會(huì)導(dǎo)致不得分. 失分點(diǎn)2：處 的表達(dá)式不準(zhǔn)確導(dǎo)致,t值求錯(cuò)，考試時(shí)最多得5分. 失分點(diǎn)3：未能根據(jù)向量表示的唯一性列出處的方程組，導(dǎo)致無(wú)法求出參數(shù),t的值，考試時(shí)最多得7分.,【悟題】提措施，導(dǎo)方向 1.強(qiáng)化待定系數(shù)法在表示向量中的應(yīng)用 當(dāng)圖中某些點(diǎn)位置關(guān)系不明確時(shí)，應(yīng)先設(shè)出系數(shù)關(guān)系，表示出 向量后再確定系數(shù).如本例中交點(diǎn)E的比例關(guān)系未知，需先設(shè)出 后再求. 2.向量表示的唯一性是確定參數(shù)的重要方法 當(dāng)a,b不共線時(shí)，若xa+yb=ma+nb,則x=m,y=n，常用來(lái)確定相 關(guān)參數(shù)的值，如本例中利用 表示的唯一性求,t的值.,【類題試解】已知三角形OBC中，點(diǎn)A是 BC的中點(diǎn)，D是OB上的點(diǎn)，且OD=2DB， DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè) (1)用a,b表示向量 (2)若 求實(shí)數(shù)的值.,【解析】(1)因?yàn)锳是BC的中點(diǎn)，所以 因?yàn)?所以 所以 所以,(2)設(shè) 因?yàn)?又因?yàn)?因?yàn)?=2a-b,故 解得,