第56課 立體幾何中的翻折問題 1.（2012東城一模）如圖，在邊長為的正三角形中，分別為，上的點，且滿足.將沿折起到的位置，使平面平面，連結(jié)，.（如圖）（1）若為中點，求證：平面；（2）求證：. 證明：（1）取中點，連結(jié)在中，分別為的中點， ，且 ， ,且， ，且 四邊形為平行四邊形， 又平面，且平面， 平面 （2） 取中點，連結(jié).，而，即是正三角形. 又, . 在圖2中有. 平面平面，平面平面，平面. 又平面，. 2（2012海淀一模）已知菱形中， （如圖1所示），將菱形沿對角線翻折，使點翻折到點的位置（如圖2所示），點，分別是，的中點（1）證明： /平面；（2）證明：；（3）當時，求線段的長證明：（1）點分別是的中點， 又平面，平面， 平面 （2）在菱形中，設為的交點， 則 在三棱錐中，.又 平面 又平面，（3）連結(jié)在菱形中， 是等邊三角形， 為中點， 又 ， 平面，即平面 又 平面， ， 3（2012汕頭二模）如圖，在邊長為4的菱形中，點、分別在邊、上點與點、不重合，沿將翻折到的位置，使平面平面（1）求證：平面；（2）記三棱錐的體積為，四棱錐的體積為，且，求此時線段的長【解析】（1）證明：在菱形中， ， 平面平面，平面平面，且平面，平面， 平面，平面（2）設由（1）知，平面， 為三棱錐及四棱錐的高， ， ， ， ， 4（2012西城一模）如圖，矩形中，分別在線段和上，將矩形沿折起記折起后的矩形為，且平面平面（1）求證：平面；（2）若，求證：； （3）求四面體體積的最大值【解析】（1）證明：四邊形，都是矩形， ， 四邊形是平行四邊形， ， 平面， 平面（2）證明：設平面平面，且， 平面， 又 ， 四邊形為正方形， 平面， （3）設，則，其中由（1）得平面，四面體的體積為 當且僅當，即時，取等號，時，四面體的體積最大