56 帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方法點(diǎn)撥(1)帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中一般做勻變速直線運(yùn)動(dòng)或類平拋運(yùn)動(dòng)；在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)一般做圓周運(yùn)動(dòng)；(2)明確各段運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，特別注意各銜接點(diǎn)的速度方向、大小1如圖1所示，直角坐標(biāo)系xOy位于豎直平面內(nèi)，在 mx0的區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B4.0×104 T、方向垂直于紙面向里的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其左邊界與x軸交于P點(diǎn)；在x>0的區(qū)域內(nèi)有電場(chǎng)強(qiáng)度大小E4 N/C、方向沿y軸正方向的條形勻強(qiáng)電場(chǎng)，其寬度d2 m一帶電粒子從P點(diǎn)以速度v4×104 m/s，沿與x軸正方向成60°角射入磁場(chǎng)，經(jīng)過(guò)y軸時(shí)速度方向垂直y軸當(dāng)電場(chǎng)左邊界與y軸重合時(shí)，帶電粒子經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)最終通過(guò)x軸上的Q點(diǎn)(圖中未標(biāo)出)，不計(jì)粒子重力求：圖1(1)帶電粒子的比荷(電量和質(zhì)量的比值)；(2)Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)若只改變上述電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，要求帶電粒子仍能通過(guò)Q點(diǎn)，討論此電場(chǎng)左邊界的橫坐標(biāo)x與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E的函數(shù)關(guān)系2容器A中裝有大量的質(zhì)量、電荷量不同但均帶正電的粒子，粒子從容器下方的小孔S1不斷飄入加速電場(chǎng)(初速度可視為零)做直線運(yùn)動(dòng)，通過(guò)小孔S2后從兩平行板中央沿垂直電場(chǎng)方向射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)粒子通過(guò)平行板后沿垂直磁場(chǎng)方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，最后打在感光片上，如圖2所示已知加速電場(chǎng)中S1、S2間的加速電壓為U，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)極板長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩板間距也為L(zhǎng)，板間勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度E，方向水平向左(忽略板間外的電場(chǎng))，平行板f的下端與磁場(chǎng)邊界ab相交于點(diǎn)P，在邊界ab上實(shí)線處固定放置感光片測(cè)得從容器A中逸出的所有粒子均打在感光片P、Q之間，且Q距P的長(zhǎng)度為3L，不考慮粒子所受重力與粒子間的相互作用，求：圖2(1)粒子射入磁場(chǎng)時(shí)，其速度方向與邊界ab間的夾角；(2)射到感光片Q處的粒子的比荷(電荷量與質(zhì)量之比)；(3)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間3如圖3所示，在直角坐標(biāo)系第二象限中有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，在第一象限的y>L區(qū)域有磁感應(yīng)強(qiáng)度與區(qū)域相同的磁場(chǎng)區(qū)域；在第一象限的<y<L區(qū)域中有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小未知、方向垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域.在坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一電壓可調(diào)的沿x軸方向的加速電場(chǎng)，電場(chǎng)右側(cè)有一粒子源可產(chǎn)生電荷量為q，質(zhì)量為m、初速度忽略不計(jì)的帶負(fù)電粒子粒子經(jīng)加速電場(chǎng)加速后從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿x軸負(fù)方向射入磁場(chǎng)區(qū)域.圖3(1)若粒子經(jīng)過(guò)坐標(biāo)為的P點(diǎn)時(shí)，速度方向與y軸負(fù)方向成銳角，且已知粒子僅經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域和，求加速電場(chǎng)的電壓U.(2)若調(diào)低加速電場(chǎng)的電壓，粒子會(huì)從磁場(chǎng)區(qū)域垂直y軸進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)為的P點(diǎn)后進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，粒子在P點(diǎn)的速度方向與y軸正方向夾角為，求磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小4如圖4所示，直線yx與y軸之間有垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1，直線xd與yx間有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E1.0×104 V/m，另有一半徑R1.0 m的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度B20.20 T，方向垂直坐標(biāo)平面向外，該圓與直線xd和x軸均相切，且與x軸相切于S點(diǎn)一帶負(fù)電的粒子從S點(diǎn)沿y軸的正方向以速度v0進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域B1，且第一次進(jìn)入磁場(chǎng)B1時(shí)的速度方向與直線yx垂直粒子速度大小v01.0×105 m/s，粒子的比荷為5.0×105 C/kg，粒子重力不計(jì)求：圖4(1)坐標(biāo)d的值；(2)要使粒子無(wú)法運(yùn)動(dòng)到x軸的負(fù)半軸，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B1應(yīng)滿足的條件；(3)在第(2)問(wèn)的基礎(chǔ)上，粒子從開始進(jìn)入圓形磁場(chǎng)至第二次到達(dá)直線yx上的最長(zhǎng)時(shí)間(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)5如圖5所示，空間中存在半徑為R的圓形有界磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.平行板電容器極板間距離為R，電容器上極板的延長(zhǎng)線恰好與圓形磁場(chǎng)下邊界相切于P點(diǎn)，兩極板右端豎直連線與磁場(chǎng)左邊相切于Q點(diǎn)一質(zhì)量為m、電荷量大小為q的帶電粒子，以大小為的初速度緊貼負(fù)極板從左側(cè)垂直電場(chǎng)方向射入，并從兩極板右端豎直連線的中點(diǎn)N射出，后恰好由P點(diǎn)射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域不計(jì)粒子的重力求：圖5(1)電容器兩極板間的電勢(shì)差；(2)粒子從進(jìn)入電場(chǎng)到射出磁場(chǎng)的整個(gè)過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間6如圖6所示，在一、二象限內(nèi)RxR范圍內(nèi)有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，電場(chǎng)的上邊界方程為yx2.在三、四象限內(nèi)存在垂直于紙面向里，邊界方程為x2y2R2的勻強(qiáng)磁場(chǎng)現(xiàn)在第二象限中電場(chǎng)的上邊界有許多質(zhì)量為m，電量為q的正離子，在yR處有一熒光屏，當(dāng)正離子打到熒光屏?xí)r會(huì)發(fā)光，不計(jì)重力和離子間相互作用力圖6(1)求在x(RxR)處釋放的離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大?。?2)若僅讓橫坐標(biāo)x處的離子釋放，它最后能經(jīng)過(guò)點(diǎn)(R,0)，求從釋放到經(jīng)過(guò)點(diǎn)(R,0)所需時(shí)間t；(3)若同時(shí)將離子由靜止釋放，釋放后一段時(shí)間發(fā)現(xiàn)熒光屏上只有一點(diǎn)持續(xù)發(fā)出熒光求該點(diǎn)坐標(biāo)和磁感應(yīng)強(qiáng)度B1.答案精析1(1)5×107 C/kg(2)5 m(3)見解析解析(1)軌跡如圖甲，交y軸于C點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作v的垂線交y軸于O1點(diǎn)，甲由幾何關(guān)系得O1為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，設(shè)半徑為r，則圓心角為60°.有：rsin 得r2 m帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：qvBm代入數(shù)據(jù)，解得5×107 C/kg.(2)粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，加速度a2×108 m/s2運(yùn)動(dòng)時(shí)間t15×105 s沿y軸負(fù)方向的分速度vyat11×104 m/s沿y軸負(fù)方向的位移yat0.25 m由幾何知識(shí)可得LOC1 m.粒子出電場(chǎng)后又經(jīng)時(shí)間t2達(dá)x軸上Q點(diǎn)，t27.5×105 s故Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xdvt25 m(3)設(shè)電場(chǎng)左邊界的橫坐標(biāo)為x，當(dāng)0<x<3 m時(shí)，如圖乙，粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度偏向角為，乙則：tan 又：tan 由以上兩式得：E，當(dāng)3 mx5 m時(shí)，如圖丙，丙有LOCat2解得：E.2(1)(2)(3)解析(1)設(shè)質(zhì)量為m，電荷量為q的粒子通過(guò)孔S2的速度為v0qUmv粒子在平行板間：Lv0tvxttan 聯(lián)立解得：tan 1，粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與邊界ab間的夾角(2)由(1)知，粒子均從e板下端與水平方向成45°的角射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)設(shè)質(zhì)量為m0，電荷量為q0的粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，恰能射到感光片Q處，做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r0，則vv02由幾何關(guān)系知：rr(4L)2，得r02L又r0聯(lián)立解得：(3)設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為tmin，在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角為，則tmin半徑為r ·2 聯(lián)立解得：tmin因?yàn)樗辛Ｗ釉诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)的偏轉(zhuǎn)角都為,所以粒子打在P處時(shí)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短.由幾何關(guān)系知：r2r2L2，得rL聯(lián)立解得tmin.3(1)(2)B解析(1)設(shè)帶電粒子經(jīng)加速電場(chǎng)加速后的速度大小為v，由動(dòng)能定理有qUmv2帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，洛倫茲力提供向心力，有qvBm由幾何關(guān)系有(LR)22R2聯(lián)立解得U(2)設(shè)調(diào)低加速電場(chǎng)電壓后，帶電粒子經(jīng)加速電場(chǎng)加速后的速度大小為v1帶電粒子在磁場(chǎng)區(qū)域中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有qv1Bm在磁場(chǎng)區(qū)域中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有qv1B1m可得B1B又由幾何關(guān)系有R2cos L由L>，可知粒子在區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心的縱坐標(biāo)值大于L2R1R2R2sin L聯(lián)立解得B1B.4(1)4 m(2)B10.1 T或B10.24 T(3)6.2×105 s解析(1)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B2和勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖甲所示，甲則qv0B2m解得r1 m粒子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)以后，做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)水平方向的位移為x0，豎直方向的位移為y0.水平方向：x0v0t豎直方向：y0at2atan 45°聯(lián)立解得：x02 m，y01 m由圖甲中幾何關(guān)系可得dx0y0r4 m.(2)設(shè)當(dāng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1時(shí)，粒子垂直打在y軸上，此時(shí)粒子無(wú)法運(yùn)動(dòng)到x軸的負(fù)半軸，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為r1，如圖乙所示，乙由幾何關(guān)系得：r1dx0解得r12 mB10.1 T故B10.1 T.設(shè)當(dāng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1時(shí)，粒子從電場(chǎng)垂直邊界進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，軌跡與y軸相切，此時(shí)粒子也無(wú)法運(yùn)動(dòng)到x軸負(fù)半軸，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為r2，如圖乙所示，由幾何關(guān)系可得r2r2cos 45°x0d解得r2(42) mB10.24 T故B10.24 T即要使粒子無(wú)法運(yùn)動(dòng)到x軸的負(fù)半軸，磁感應(yīng)強(qiáng)度B10.1 T或B10.24 T.(3)設(shè)粒子在B2中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1，電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2，磁場(chǎng)B1中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t3，則tt1t2t3××6.2×105 s.5(1)(2)解析(1)設(shè)粒子從N點(diǎn)射出的速度與極板的夾角為，設(shè)極板間距為d，如圖所示，由幾何關(guān)系可解得：tan ，即30°vyv0tan 粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，則：v2a·由牛頓第二定律得a粒子在電場(chǎng)中受力：FqE平行板電容器兩極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度：E聯(lián)立解得：U(2)設(shè)粒子在電場(chǎng)中勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1，則t1設(shè)粒子飛出電場(chǎng)后做勻速運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間為t2，則Rv0t2由幾何關(guān)系得，粒子飛出電場(chǎng)后的速度：v粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的軌跡如圖所示，設(shè)粒子從M點(diǎn)射出磁場(chǎng)，由洛倫茲力提供向心力得：qvBm解得粒子運(yùn)動(dòng)的半徑：rR粒子運(yùn)動(dòng)的周期：T如圖，O為軌跡圓圓心，O為圓形磁場(chǎng)的圓心，OOP中OPR，OPrR，OPO30°，由余弦定理得：OO2R2r22Rrcos 30°解得：OORr可得偏轉(zhuǎn)角為240°則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t3T粒子整個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間tt1t2t3解得t.6(1) |x|(2)見解析(3)2解析(1)于x處釋放離子，由動(dòng)能定理得Eq·x2mv2得離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v |x|(2)由(1)得在x處釋放的離子到達(dá)x軸時(shí)速度為v 從釋放到到達(dá)x軸時(shí)間為t1 第一種情況：離子直接從x經(jīng)磁場(chǎng)達(dá)xR處在磁場(chǎng)中經(jīng)歷半圓時(shí)間t22 總時(shí)間T1t1t2 第二種情況：離子直接從x經(jīng)磁場(chǎng)達(dá)x處進(jìn)入電場(chǎng)再返回磁場(chǎng)到xR處易得在磁場(chǎng)中時(shí)間仍然為t22 在電場(chǎng)中時(shí)間為3t1 總時(shí)間為T23t1t2(21) (3)在磁場(chǎng)B中qvB所以運(yùn)動(dòng)半徑r |x|可以看出，B一定時(shí)，必有r|x|，當(dāng)|x|0時(shí)，r0(離子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)從逼近原點(diǎn)處出磁場(chǎng))因此，所有離子都從原點(diǎn)(0,0)點(diǎn)處出磁場(chǎng)，擊中熒光屏上則有2r1|x|，因?yàn)閝vB1所以B12.