題型練9大題綜合練(一)1.(2019天津,文16)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin(2B+6)的值.2.某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買(mǎi),則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元),n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).(1)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式;(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;(3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)還是20個(gè)易損零件?3.如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC=2,點(diǎn)D,E在線段AC上,且AD=DE=EC=2, PD=PC=4,點(diǎn)F在線段AB上,且EFBC.(1)證明:AB平面PFE;(2)若四棱錐P-DFBC的體積為7,求線段BC的長(zhǎng).4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x-y-2=0,拋物線C:y2=2px(p>0). (1)若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),求拋物線C的方程;(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)P和Q.求證:線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p,-p);求p的取值范圍.5.已知曲線f(x)=lnx+kex在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與y軸垂直,F(x)=xexf'(x).(1)求k的值和F(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)已知函數(shù)g(x)=-x2+2ax(a為正實(shí)數(shù)),若對(duì)于任意x20,1,總存在x1(0,+)使得g(x2)<F(x1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.題型練9大題綜合練(一)1.解(1)在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因?yàn)閎+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22·a·23a=-14.(2)由(1)可得sinB=1-cos2B=154,從而sin2B=2sinBcosB=-158,cos2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+6=sin2Bcos6+cos2Bsin6=-158×3278×12=-35+716.2.解(1)當(dāng)x19時(shí),y=3800;當(dāng)x>19時(shí),y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以y與x的函數(shù)解析式為y=3800,x19,500x-5700,x>19,(xN).(2)由柱狀圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.(3)若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有70臺(tái)在購(gòu)買(mǎi)易損零件上的費(fèi)用為3800,20臺(tái)的費(fèi)用為4300,10臺(tái)的費(fèi)用為4800,因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買(mǎi)20個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有90臺(tái)在購(gòu)買(mǎi)易損零件上的費(fèi)用為4000,10臺(tái)的費(fèi)用為4500,因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為1100(4000×90+4500×10)=4050.比較兩個(gè)平均數(shù)可知,購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件.3.(1)證明由DE=EC,PD=PC知,E為等腰PDC中DC邊的中點(diǎn),故PEAC.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,PEAC,所以PE平面ABC,從而PEAB.因ABC=2,EFBC,故ABEF.從而AB與平面PFE內(nèi)兩條相交直線PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.(2)解設(shè)BC=x,則在RtABC中,AB=AC2-BC2=36-x2,從而SABC=12AB·BC=12x36-x2.由EFBC知,AFAB=AEAC=23,得AFEABC,故SAFESABC=232=49,即SAFE=49SABC.由AD=12AE,SAFD=12SAFE=12·49SABC=29SABC=19x36-x2,從而四邊形DFBC的面積為S四邊形DFBC=SABC-SAFD=12x36-x219x36-x2=718x36-x2.由(1)知,PE平面ABC,所以PE為四棱錐P-DFBC的高.在直角PEC中,PE=PC2-EC2=42-22=23.體積VP-DFBC=13·S四邊形DFBC·PE=13·718x36-x2·23=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=33.所以,BC=3或BC=33.4.解(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為p2,0,由點(diǎn)p2,0在直線l:x-y-2=0上,得p2-0-2=0,即p=4.所以拋物線C的方程為y2=8x.(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點(diǎn)M(x0,y0).因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng),所以直線l垂直平分線段PQ,于是直線PQ的斜率為-1,則可設(shè)其方程為y=-x+b.證明:由y2=2px,y=-x+b消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因?yàn)镻和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn),所以y1y2,從而=(2p)2-4×(-2pb)>0,化簡(jiǎn)得p+2b>0.方程(*)的兩根為y1,2=-p±p2+2pb,從而y0=y1+y22=-p.因?yàn)镸(x0,y0)在直線l上,所以x0=2-p.因此,線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p,-p).因?yàn)镸(2-p,-p)在直線y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<43.因此,p的取值范圍是0,43.5.解(1)f'(x)=1x-lnx-kex,f'(1)=1-ke=0,k=1.F(x)=xexf'(x)=1-xlnx-x,F'(x)=-lnx-2.由F'(x)=-lnx-2>00<x<1e2,由F'(x)=-lnx-2<0x>1e2,F(x)的單調(diào)增區(qū)間為0,1e2,單調(diào)減區(qū)間為1e2,+.(2)對(duì)于任意x20,1,總存在x1(0,+),使得g(x2)<F(x1),g(x)max<F(x)max.由(1)知,當(dāng)x=1e2時(shí),F(x)取得最大值F1e2=1+1e2.對(duì)于g(x)=-x2+2ax,其對(duì)稱(chēng)軸為x=a.當(dāng)0<a1時(shí),g(x)max=g(a)=a2,a2<1+1e2,從而0<a1;當(dāng)a>1時(shí),g(x)max=g(1)=2a-1,2a-1<1+1e2.從而1<a<1+12e2.綜上可知:0<a<1+12e2.