專題能力訓(xùn)練9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、能力突破訓(xùn)練1.(2019全國(guó),文7)tan 255°=()A.-2-3B.-2+3C.2-3D.2+32.若函數(shù)f(x)=sin x+3cos x(xR),又f()=-2,f()=0,且|-|的最小值為34,則正數(shù)的值是()A.13B.32C.43D.233.(2018全國(guó),文10)若f(x)=cos x-sin x在區(qū)間0,a上是減函數(shù),則a的最大值是()A.4B.2C.34D.4.若f(x)=2sin(x+)+m,對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f8+t=f8-t,且f8=-3,則實(shí)數(shù)m的值等于()A.-1B.±5C.-5或-1D.5或15.已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)A>0,>0,|<2的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱,若它的最小正周期為,則函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()A.3,1B.12,0C.512,0D.-12,06.(2019山東濰坊一模,7)若函數(shù)f(x)=2sin(x+2)cos x0<<2的圖象過(guò)點(diǎn)(0,2),則()A.點(diǎn)4,0是y=f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心B.直線x=4是y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸C.函數(shù)y=f(x)的最小正周期是2D.函數(shù)y=f(x)的值域是0,27.已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)A>0,>0,|<2的部分圖象如圖所示,則f(x)=.8.已知函數(shù)f(x)=sin x+cos x的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)3,0,則函數(shù)g(x)=sin xcos x+sin2x的圖象的一條對(duì)稱軸是.(寫(xiě)出其中的一條即可) 9.已知函數(shù)f(x)=sin(x+)>0,2,的部分圖象如圖所示,且f(x)在區(qū)間0,2上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值,則的取值范圍是. 10.已知函數(shù)f(x)=3sin2x+sin xcos x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當(dāng)x0,2時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.11.已知函數(shù)f(x)=2cos xsinx-3+32.(1)求曲線y=f(x)的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間0,m上單調(diào)遞增,求m的最大值.二、思維提升訓(xùn)練12.(2019河北衡水聯(lián)考,10)已知函數(shù)f(x)=sin(x+)(>0,0<<)圖象的一條對(duì)稱軸與相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心的距離為4,將其向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象.若函數(shù)g(x)在區(qū)間34,上單調(diào)遞增,則的取值范圍為()A.6,2B.3,56C.3,23D.4,3413.設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(x+),xR,其中>0,|<,若f58=2,f118=0,且f(x)的最小正周期大于2,則()A.=23,=12B.=23,=-1112C.=13,=-1124D.=13,=72414.已知函數(shù)f(x)=sin x+3cos x,把函數(shù)f(x)的圖象向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度,再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)的圖象.當(dāng)x0,2時(shí),方程g(x)-k=0恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為. 15.如果兩個(gè)函數(shù)的圖象平移后能夠重合,那么稱這兩個(gè)函數(shù)為“互為生成”函數(shù).給出下列四個(gè)函數(shù):f(x)=sin x+cos x;f(x)=2(sin x+cos x);f(x)=sin x;f(x)=2sin x+2.其中為“互為生成”函數(shù)的是.(填序號(hào)) 16.已知函數(shù)f(x)=12sin 2xsin +cos2xcos -12sin2+(0<<),其圖象過(guò)點(diǎn)6,12.(1)求的值;(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,4上的最大值和最小值.專題能力訓(xùn)練9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、能力突破訓(xùn)練1.D解析tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1-tan45°tan30°=1+331-33=2+3.2.D解析因?yàn)閒(x)=2sinx+3(xR),所以函數(shù)f(x)的最大值為2,最小值為-2.由已知f()=-2,f()=0,得(,-2)為函數(shù)f(x)的圖象上的一個(gè)最低點(diǎn),(,0)為一個(gè)對(duì)稱中心,故|-|的最小值等于周期的14,即34=T4,所以T=3,所以=23=23.3.C解析f(x)=cosx-sinx=222cosx-22sinx=2cosx+4,(方法一)作圖如圖所示.易知amax=34.(方法二)當(dāng)2kx+42k+,kZ時(shí),f(x)為減函數(shù),2k-4x2k+34,kZ,令k=0可知x-4,34,amax=34.4.C解析依題意,得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=8對(duì)稱,于是當(dāng)x=8時(shí),函數(shù)f(x)取得最值,因此有±2+m=-3,解得m=-5或m=-1.故選C.5.B解析由題意知T=,則=2.由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱,得2×3+=2+k(kZ),即=-6+k(kZ).|<2,=-6,f(x)=Asin2x-6.令2x-6=k(kZ),則x=12+k2(kZ).函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為12,0.故選B.6.D解析函數(shù)f(x)=2sin(x+2)cosx0<<2的圖象過(guò)點(diǎn)(0,2),2sin2=2,即sin2=1,2=2,=4,f(x)=2sin(x+2)cosx=2cos2x=cos2x+1,當(dāng)x=4時(shí),f(x)=1,故A,B都不正確;f(x)的最小正周期為22=,故C不正確;顯然,f(x)=cos2x+10,2,故D正確.7.2sin8x+4解析由題意,得A=2,函數(shù)f(x)的周期為T(mén)=16.T=2,=8,此時(shí)f(x)=2sin8x+.由f(2)=2,即sin8×2+=sin4+=1,則4+=2k+2,kZ,解得=2k+4,kZ.|<2,=4,函數(shù)的解析式為f(x)=2sin8x+4.8.x=-3(答案不唯一)解析將點(diǎn)3,0代入f(x)=sinx+cosx,得=-3,則g(x)=-3sinxcosx+sin2x=-32sin2x+1212cos2x=12-sin2x+6,令2x+6=k+2,kZ,得x=k2+6,kZ.令k=-1,得x=-3.9.1112,1712解析由題意,得f(x)=sin(x+).f(0)=32,=23+2k(kZ).2,=23.x0,2,23x+232+23.f(x)在區(qū)間0,2上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值,522+23<72,1112<1712.10.解(1)f(x)=3sin2x+sinxcosx=31212cos2x+12sin2x=sin2x-3+32,則函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)=.由2k-22x-32k+2,kZ,解得-12+kxk+512,kZ,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-12+k,512+k,kZ.(2)當(dāng)x0,2時(shí),2x-3-3,23,則sin2x-3-32,1,故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閒(x)0,1+32.11.解(1)f(x)=2cosx12sinx-32cosx+32=sinxcosx-3cos2x+32=12sin2x-3×1+cos2x2+32=sin2x-3,所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=22=.所以曲線y=f(x)的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為T(mén)2,即2.(2)由(1)可知f(x)=sin2x-3,當(dāng)x0,m時(shí),2x-3-3,2m-3.因?yàn)閥=sinx在區(qū)間-2,2上單調(diào)遞增,且f(x)在區(qū)間0,m上單調(diào)遞增,所以2x-3-3,2m-3-2,2,即m>0,2m-32,解得0<m512,故m的最大值為512.二、思維提升訓(xùn)練12.B解析由題意,得T4=4,所以T=,所以=2=2,所以f(x)=sin(2x+).從而g(x)=sin2x-6+=sin2x+-3.由-2+2k2x+-32+2k,kZ,得-122+kx5122+k,kZ.要使g(x)在區(qū)間34,上單調(diào)遞增,則需滿足-12-2+k34,512-2+k,kZ,即-53+2k,-76+2k,kZ,解得-53+2k-76+2k,kZ.又0<<,當(dāng)k=1時(shí),可得356,符合條件.13.A解析由題意可知,2>2,1185814·2,所以23<1.所以排除C,D.當(dāng)=23時(shí),f58=2sin58×23+=2sin512+=2,所以sin512+=1.所以512+=2+2k,即=12+2k(kZ).因?yàn)閨<,所以=12.故選A.14.1,2)解析函數(shù)f(x)=sinx+3cosx=2sinx+3,把函數(shù)f(x)的圖象向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度,得到f1(x)=2sinx+6的圖象,再把函數(shù)f1(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)=2sin2x+6的圖象.因?yàn)閤0,2,所以2x+66,76.令62x+62,解得0x6,即函數(shù)g(x)在區(qū)間0,6上單調(diào)遞增;令22x+676,解得6x2,即函數(shù)g(x)在區(qū)間6,2上單調(diào)遞減,且g(0)=2sin6=1,g6=2sin2=2,g2=2sin76=-1.要使方程g(x)-k=0恰好有兩個(gè)不同的實(shí)根,即y=g(x)的圖象與y=k的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),結(jié)合圖象(圖略),可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是1k<2,即1,2).15.解析首先化簡(jiǎn)題中的四個(gè)解析式可得:f(x)=2sinx+4,f(x)=2sinx+4,f(x)=sinx,f(x)=2sinx+2.可知f(x)=sinx的圖象要與其他的函數(shù)圖象重合,單純經(jīng)過(guò)平移不能完成,必須經(jīng)過(guò)伸縮變換才能實(shí)現(xiàn),所以f(x)=sinx不能與其他函數(shù)成為“互為生成”函數(shù);同理f(x)=2sinx+4的圖象與f(x)=2sinx+4的圖象也必須經(jīng)過(guò)伸縮變換才能重合,而f(x)=2sinx+2的圖象可以向左平移4個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位即可得到f(x)=2sinx+4的圖象,所以為“互為生成”函數(shù).16.解(1)f(x)=12sin2xsin+cos2xcos-12sin2+(0<<),f(x)=12sin2xsin+1+cos2x2cos-12cos=12sin2xsin+12cos2xcos=12(sin2xsin+cos2xcos)=12cos(2x-).又函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)6,12,12=12cos2×6-,即cos3-=1.0<<,=3.(2)由(1)知f(x)=12cos2x-3,將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,可知g(x)=f(2x)=12cos4x-3.x0,4,4x0,4x-3-3,23,即-12cos4x-31.故g(x)在區(qū)間0,4上的最大值和最小值分別為12和-14.